對面積的曲面積分

1、第四節(jié)對面積的曲面積分4.1學(xué)習(xí)目標(biāo)了解對面積的曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握對面積的曲面積分的計算方法，會用曲面積分求一些幾何量與物理量.4.2內(nèi)容提要定義設(shè)函數(shù)fx,y,z在光滑曲面上有界，將曲面任意分成n小塊si(S也表示第i小塊曲面的面積)，在§上任取一點Mi(i,i,i)，作乘積f(i,i,i)Sin(i1,2,L,n)，并作和fi,i,i記各小曲面直徑的最大值為，如果對曲面的任一分法和點(i,i,i)的任意取法，當(dāng)0時，上述和式的極限都存在且相等，貝U稱此極限值為函數(shù)fx,y,z在曲面上對面積的曲面積分或第一類曲面積分，記nf(x,y,z)dSlim0j1f(i,i,i)S.

2、【注】定義中的“5”是面積元素，因此，Si0.1. 性質(zhì)關(guān)于曲面具有可加性，若12,且1與2沒有公共的內(nèi)點，貝Uf(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS;當(dāng)被積函數(shù)為1時，積分結(jié)果在數(shù)值上等于曲面的面積S,即f(x,y,z)dSS.2. 對面積的曲面積分的計算設(shè)曲面由zzx,y給出，在xoy面上的投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)zzx,y在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)f(x,y,z)在上連續(xù)，則，z2z2_f(x,y,z)dSf(x,y,z(x,y)1dxdyDXyixy同樣地:xxy,z22f(x,y,z)dSfxy,z,y,z寸-y七dydz,:yyz,xf(x,y,z)dS

3、fx,yz,x,zDxz2dzdx設(shè)曲面上任意一點x,y,z處的面密度是x,y,z3. 對面積的曲面積分的應(yīng)用曲面的質(zhì)量x,y,zdS.曲面的質(zhì)心x,y,zx,y,zdS,x,y,zdSzx,y,zdS曲面的轉(zhuǎn)動慣量Ixx,y,zdSIyx,y,zdS,Izx,y,zdS,Io2zx,y,zdS.4.3典型例題與方法基本題型I:計算對面積的曲面積分例1填空題解由積分區(qū)域的對稱性知/2則o(x2、_y)dS.2_乙xdS2._ydS?z2dS22_223：xy)dS-(x而積分在上進行,z24,代入上式得,128故應(yīng)填M例2選擇題設(shè)：22:xy22za(z0),1為在第一卦限中的部分，則有()(

4、A)xdS4xdS.(B)ydS4xdS.11(C)zdS4xdS；(D)xyzdS4xyzdS解因為曲面是上半球面,關(guān)于yoz面對稱且被積函數(shù)f1(x,y,z)x,f2(x,y,z)xyz都是變量x的奇函數(shù)，于是xdSxyzdS0.類似地，關(guān)于xoz面對稱且f3(x,y,z)y是變量y的奇函數(shù)，于是ydS0.而xdS0,xyzdS0,故應(yīng)選(C).事實上，由對稱性，zdS4zdS,zdSxdS,(Q正確.【方法點擊】在計算對面積的曲面積分時，應(yīng)注意下列技巧：(1) 利用對稱性，但要注意，曲面關(guān)于某坐標(biāo)面對稱，被積函數(shù)關(guān)于相應(yīng)變量具有奇偶性，兩者缺一不可.(2) 利用積分曲面的方程化簡被積函數(shù)

5、.例3計算曲面積分(2x2yz)ds，其中是平面2x2yz20被三個坐標(biāo)面所截下的在第一卦限的部分.解法一:z22x2y,zx2,zy2.在xoy平面上的投影是三角形，記為D:0x1,0y1x.(2x2yz)ds2g1zx2zy2dxdy6dxdy3.DD【方法點擊】在解法二中，將曲面方程代入到了曲面積分里，因為積分曲面是一個三角形，最后用到了三角形的面積公式例4計算I(x2y2)dS,為立體jx2y2z1的邊界.【分析】根據(jù)積分曲面的方程，確定投影區(qū)域，計算曲面面積微元dS,將曲面積分轉(zhuǎn)化為投影區(qū)域上的二重積分進行計算.解設(shè)12,1為錐面zx22y,0z1,在1上,dS.12zx2zdxdy

6、=、；'2dxdy,圖4-1».22為z1上x2、.y1部分，在2上，dSdxdy,1,2在xOy面的投影區(qū)域為D:x22y1,所以22_22_(xy)dS+(xy)dS21應(yīng)1)(x2y2)dxdy(172)d3d-(1V2).D102例5計算z2dS，其中為x2y24介于z0,z6之間的部分【分析】積分曲面如圖11-13所示，此積分為對面積的曲面積分，積分曲面關(guān)于xoz面，yoz面對稱，被積函數(shù)是偶函數(shù)，則有z2dS=4z2dS,故可利用對稱性解之解設(shè)1:xJ4y2，其在yoz面的投影域為z2dS=4z2dS=4z22=dzdy1Dyz.4y46z2dz2_2dy2880

7、02.4y圖4-2【注】該題不能將積分曲面向xoy面作投影，因為投影為曲線，不是區(qū)域.基本題型II:對面積的曲面積分的應(yīng)用例6求物質(zhì)曲面S:z1(x2y2)(0z1)的質(zhì)量，其面密度z(x,y,z)S).2解S在xoy平面上的投影區(qū)域D:x2y2(J2)2.于是，所求質(zhì)量為M1/221/22、2,-(xy)dS-(xy).1xydxdy22d例7試求半徑為R的上半球殼的質(zhì)心，已知其各點的密度等于該點到鉛錘直徑的距離.解以球心為原點，鉛錘直徑為z軸建立直角坐標(biāo)系，則球面方程為x2y2z2R2,且任意點M(x,y,z)處的密度為衣y2.設(shè)球殼的質(zhì)心坐標(biāo)為(x,y,z)，由對稱性知，xy0.zdSz

8、dS'其中為上半球面z摘x/,dS1岫JR2；y2dxdy于是球殼的質(zhì)量為其中D為在xoy面上的投影域：x2y2R2.利用極坐標(biāo)計算上述二重積分，得故Z1233一R24.4教材習(xí)題解答3R4R4R，于是半球殼的質(zhì)心坐標(biāo)為(0,0,云一).31.有一個分布著質(zhì)量的曲面，在點(x,y,z)處它的面密度u(x,y,z),用對面積的曲面積分表示這曲面對于x軸轉(zhuǎn)動慣量。解：假設(shè)u(x,y,z)在曲面上連續(xù)，應(yīng)用元素法，在曲面上任取一直徑很小的曲面塊dS,設(shè)(x,y,z)使曲面塊dS內(nèi)的一點，則由曲面塊dS很小，u(x,y,z)的連續(xù)性可知，曲面塊dS的質(zhì)量近似等于u(x,y,z)dS，這部分質(zhì)量

9、可近似看作集中在點(x,y,z)上，該點到x軸的距離等于x2y2,于是曲面對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量為：dlx(z2y2)u(x,y,z)dS，所以轉(zhuǎn)動慣量為:Ix(y2z2)u(x,y,z)dS2.按對面積的曲面積分的定義證明公式f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS，其中由i和2組成12證明：因為f(x,y,z)在曲面上對面積的積分存在，所以不論把曲面怎樣分割，積分和總保持不變，因此在分割曲面時，可以永遠把1和2的邊界曲線作為分割線，從而保證Si整個位于1上，于是上的積分和等于1上的積分和加上2上的積分和，即令各小塊的直徑的最大值趨向于0,去極限得到：f(x,y,z)dSf(

10、x,y,z)dSf(x,y,z)dS123.當(dāng)時xoy面內(nèi)的一個閉區(qū)域D時，曲面積分f(x,y,z)dS和二重積分有什么關(guān)系。解：當(dāng)時xoy面內(nèi)的一個閉區(qū)域D時，在xoy上的投影區(qū)域即為D,上的f(x,y,z)恒為f(x,y,0)，并且zxzy0,所以f(x,y,z)dSf(x,y,0)dxdy,即曲面積分與二重積分相等。4.計算曲面積分fx,y,zdS，其中為拋物面z2x2y2在xoy面上方的部分，fx,y,z分別如下:解(2)fx,y,zdS=的投影區(qū)域，即22Dxy：x2y22于是x,y,zdS=2XDxyDxyy2.14(x2(3)fX,y,zdSy2.,12zydxdy,其中Dxy為

11、在xoy面上)dxdyo'214149d3032Dxyy214(x2y2)dxdy3d111而5.計算X2y2dS,其中是:(1)錐面Vx2y2及平面z1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面(2)錐面3(x2y2)被平面z0和z3所截部分。解(1)設(shè)中屬于錐面部分為1,上底面部分為2,而1與2在xoy面上的投影區(qū)域均為Dxy：X2y2dS=x2y2dSdS(2)所截的錐面為：z一3x2y2(Dxy所以(x2y2)dS2(x2y2)dxdyDxy6.計算下列對面積的曲面積分:4x(1)(z2xy)dS,其中為平面一321在第一卦限中的部分.1(2)2(：)2dxdy&dxdy3(2)(2xy2x2xz)dS，其中為平面2x2yz6在第一卦限中的部分.42x(3)(xy43y,z)dS，其中為球面x2y2z2a2上zh(0ha)的部分.dS1(2)2(2)2dxdy3dxdy一2222x22y&xydS寸*2x，y2