十章量子力學基礎(chǔ)

1、第十六章量子力學基礎(chǔ)一、基本要求1、了解波函數(shù)的概念及其統(tǒng)計意義，理解微觀粒子的波動性2、了解一維定態(tài)的薛定避方程及其波函數(shù)解一般必須滿足的條件，以及量子力學中用薛定避方程處理一維無限深勢阱、一維諧振子等微觀物理問題的方法。3、了解量子力學對氫原子問題處理的基本方法，理解描述氫原子量子態(tài)的三個量子數(shù)(n,l,m)的函義和能級公式。了解核外電子概率分布的函數(shù)形式和意義。二、基本內(nèi)容本章重點：建立量子物理的基本概念，了解微觀粒子運動的基本特征、波函數(shù)的概念及其統(tǒng)計解釋、一維定態(tài)的薛定避方程及其應(yīng)用。本章難點：波函數(shù)及其核外電子概率分布的意義。(一)波函數(shù)及其統(tǒng)計意義：微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)，

2、是用波函數(shù)w(F,t)來描述的，這個波函數(shù)所反映的微觀粒子波動性，就是德布羅意波。(量子力學的基本假設(shè)之一)玻恩指出：德布羅意波或波函數(shù)甲(rt)不代表實際物理量的波動，而是描述粒子在空間的概率分布的概率波。量子力學中描述微觀粒子的波函數(shù)本身是沒有直接物理意義的，具有直接物理意義的是波函數(shù)的模的平方，它代表了粒子出現(xiàn)的概率。微觀粒子的概率波的波函數(shù)是：中(F,t)=甲(x,y,z,t)因此概率密度：波函數(shù)模的平方I*(r,t)I2代表時刻t,在r處附近空間單位體積中粒子出現(xiàn)的幾率。2，：(x,y,z,t)(x,y,z,t)，(x,y,z,t)1(r,t)|也被稱為概率密度。即某一時刻出現(xiàn)在某點

3、附近在體積元dV中的粒子的概率為：w(x,y,z,t)|2dxdydz或(r,t)|d波函數(shù)必須滿足標準化條件：單值、連續(xù)、有限。波函數(shù)必須滿足歸一化條件:廣(r,t廣(r,t)d=1（二）薛定避方程:1、含時薛定避方程:量子力學中微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來描述，決定粒子狀態(tài)變化的方程是薛定避方程。一般形式的薛定避方程，也稱含時薛定避方程，即：i-呈祟=才2U（r）一（r,t）式中k是粒子的質(zhì)量,U（r）是否粒子在外力場中的勢能函數(shù)。2、定態(tài)薛定避方程:當粒子在穩(wěn)定場中運動,勢能函數(shù)與時間無關(guān)，即U=U（r）時，為定態(tài)薛定避方程:-22-一'22U(r)(r)=E(r)其特解為：（r,t

4、廣（r）eiEt/hOOoo概率密度分布為:，")='-(r,tr(r,t"(r)-(r)（三）一維勢阱和勢壘問題:1、一維無限深方勢阱:對于一勢阱有維無限深方U(x)U(x)=0(0<x<a):°°(0<x,x芝a)定態(tài)薛定避方程為:L2Ek二薛定避方程的解為:'-(x)=Asin(kx：)其中k,A,a都是常量，（A,a為積分常量）,其中A,a分別用歸一化條件和邊界條件確定。根據(jù)甲（0）=0，可以確定a=0或mi,m=1,2,3，于是上式改寫為:(x)=Asinkx根據(jù)平（a）=0,可以確定ka=e,n=1,2,3，

5、根據(jù)歸一化條件，確定得能級公式為:2k22a2,n1,2,3,由此式知：一維無限深方勢阱的能譜是分立譜這個分立的能譜就是量子化了的能級當n=1時,粒子處于最低能量狀態(tài)，稱為基態(tài)，其基態(tài)能量（零點能）為:Ei=二2一22a2-二0激發(fā)態(tài)能量:En2-22二n22a2(n=2,3,)一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的波動方程:d即"jmEwdx2h20,(x£0,x_a)波函數(shù):'(x)=sinn”x,(0<x<a)aa概率密度:平(x)2=2sin2里xaa呂匕旦月匕里：勢阱中相鄰能級之差:能級相對間隔:二22n2EnEn量子數(shù)：n=1,2,3,屯非n

6、1-En=(2n1)菽：2n“I8ma2h2n28maEnt0能量視為連續(xù)變化。En與能量本征值En相對應(yīng)的本征函數(shù)¥n=(x)為:歸一化波函數(shù)為:'n(x)=2sinaan二xn=1,2,3,U0E2、勢壘穿透和隧道效應(yīng):有限高的勢壘:U(x"U(x)="0(P區(qū)"g)U(x)=U°,0<x<a(Q區(qū))在p區(qū)和s的形式區(qū)薛定避方程為:郭如(x)=0在Q區(qū)粒子應(yīng)滿足下面的方程式:3.登(e_u°廣(x)dx2用分離變量法求解，得:A1eikxB1e成(P區(qū))-2x_x=A2eB2e在P區(qū)，勢壘反射系數(shù):Aikx-3

7、e(S區(qū))BiAi2在Q區(qū),勢壘透射系數(shù):(x：0,xa)(0：x：a)T=粒子能夠穿透比其動能高的勢壘的現(xiàn)象，稱為經(jīng)典理論:(1)E>U0的粒子，越過勢壘(2)E<Uo的粒子,不能越過勢壘。量子理論:(1)E>U。的粒子，也存在被彈回的概率一一反射波。(2)E<U。的粒子，也可能越過勢壘到達s區(qū)隧道效應(yīng)(四)一維諧振子問題為系統(tǒng)的勢能:1 i、一維諧振子的定態(tài)薛定避方程O1.00U(x)kx=x2 2簡諧振子的能量為:將勢能形式代入定態(tài)薛定避方程，得:2d2-22dx22x2(x)=E(x)2、一維諧振子的能量本征值:為使波函數(shù)量滿足單值、連續(xù)、有限的條件，能量本征值

8、只能取:1一E="(n項n=1,2,3,基態(tài)能量（零點能）為:E。2（五）氫原子1、角動量的本征函數(shù)和相應(yīng)的量子數(shù):動量的本征值為:L=.l(l1)-L稱為軌道量子數(shù)或角量子數(shù)，表示電子相對于原子核的角動量的大小。核外電子相對于核的角動量,稱為軌道角動量。電子軌道角動量的z分量的大小:Lz=m”m=0,±1,±2,±lm稱為磁量子數(shù)。軌道角動量在空間不能任意取向,而只能取某些特定方向的性質(zhì)，稱為角動量的空間量子化O2、氫原子的能級:氫原子的能級公式:En4mues4mee從能級公式可以看到,當n=1,即氫原子處于基態(tài)時,Ei22n2n=1,2,3,22(

9、4二；o)2n2,這就是電離。能量為:4mue=-13.597eV2汽2(4戒。)23、能量的本征函數(shù)和能級的簡并度:對于任何一個主量子數(shù)n,共有：n_J'(211)=n2i個量子態(tài)都對應(yīng)于相同的能量本征值En，這種情形就稱為能級En是簡并的，或者更具體地說，定態(tài)能級En的簡并度是n2三、類氫離子能級公式24meZeC222,nT22(4；。)n(六)氫原子中電子的概率分布1、電子概率的徑向分布：在半徑為r到r+dr的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率為:大2大2、2wm(r)dr=00R(r)r2drYm(e,平)|sinedkl中22=R；i(r)r2dr22式中Wnl=Rnl(r)r是電子出現(xiàn)

10、在相應(yīng)球殼內(nèi)的概率密度，稱為電子概率的徑向分布函數(shù)?？梢宰C明，對于n-l-1=0的所有量子態(tài)的最概然半徑可以表示為：_2_rn=na,n=1,2,2、電子概率的角度分布函數(shù)：立體角dQ=sin6d6d鈉發(fā)現(xiàn)電子的概率為：Wlm(6")dQ=fRnl(r)Ylm(8,中)2r2drsin8d8d中=|Ylm(B,中)2sin8d8d平=丫異們甲)2dQ式中Wm(9$是電子出現(xiàn)在相應(yīng)立體角內(nèi)的概率密度，稱為電子概率的角度分布函數(shù)。電子概率的角度分布函數(shù)Wm(6,與平無關(guān)，所以角度分布函數(shù)Wm(Q是以Z軸為旋轉(zhuǎn)對稱軸的三、問題討論1、數(shù)歸一化波函是什么意思？2答：波函數(shù)絕對值的平萬,(r)

11、是在r處的概率密度，即在此處附近空間單位體積中粒子發(fā)現(xiàn)的概率的大小。數(shù)歸一化波函是指概率密度在全空間中的積分為1,即:廣（r,t）（r,t）d.=1上式在物理上，是指在整個空間發(fā)現(xiàn)粒子的概率為1。因為只要在空間有一個粒子，遍及整個空間總能找到這個粒子。2、勢阱中的粒子(包括諧振子)處于激發(fā)態(tài)時的能量都是完全確定的一一沒有不確定能量。這意味著粒子處于這些激發(fā)態(tài)的壽命將為多長？它們自己能從一個態(tài)躍遷到另一個態(tài)嗎？答：粒子所處的狀態(tài)的是完全確定的，就是說在這樣的確態(tài)上能量E的不確定度為零，即：AE=0,能量E的不確定度和壽命的不確定度AE之間的不確定度關(guān)系為：hE.:.2現(xiàn)已知AE=0，就要求Att

12、必，也就是說，粒子處于這些激發(fā)態(tài)的壽命是無限長，如果沒有外界擾亂動，它們自己不能能從一個態(tài)躍遷到另一個態(tài)。四、典型例題1、粒子在一維無限深方勢阱中運動(勢阱寬為a),若其狀態(tài)對應(yīng)于波函數(shù),；n(X)=2.3二xsinaa(0<x<a),求粒子出現(xiàn)的概率最大有哪些位置?解：出現(xiàn)粒子的概率密度為：此(x)2=2sin2由x(0<x<a)aad2d2.23二x6二.6二x八對上海式求極值：（x）=（sin）=sin=0dxdxaaaa則sin=0,絲=1兀，x=k,k=0,1,2,3，aab其中：k=0時,x=0,k=6時，x=a,由邊界條件知：W(x)=0k芝7時，x>

13、;a,已出勢阱,a3a5a故：x=,x=，x=處，粒子出現(xiàn)的概率最大。bbb2、一維無限深方勢阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)n（x）=2n：xsin,試求:aa粒子在此“a和x=之間被找到的概率，當:3(1)粒子處于基態(tài)時;(2)粒子處于n=2的狀態(tài)時解：（1）當n=1時，概率為:3/腫i(x)dx2a3sin2己dx=1a0a3.一34二=0.19(2)當n=2時，概率為：P平(x)dx=2f3sin2竺dx=1+3=0.4001a10a38n3、一個細胞的線度為105m，其中一粒子質(zhì)量為104g,按一維無限深方勢阱計算，這個粒子的n1=100和叫=101的能級和它們的差各是多少?解:E12®

14、;n2(1.0510家)2210710°21002=5.410氣E二"2n2*(1.0510家)21012553jE2=方必山=210710。10110JE=E2-E1=(5.5-5.4)1037=1.010況J,；n(x)=2.n二x打sina(0x<a),則粒子出五、自我檢測1、一維無限深方勢阱寬為a,粒子的波函數(shù)為現(xiàn)的概率最大位置是。2、若氫原子處在1=3的狀態(tài)上，則有此時氫原子的能量是,角動量在外磁場方向上的分量的可能值是。3、當主量子數(shù)n=3時，角量子數(shù)l可能有的值是；當角量子數(shù)1=2時，磁量子數(shù)m可能有的值是。4、描述粒子運動的波函數(shù)平（F,t），則件（r

15、，t）|2表示；平（rt）需要滿足的條件為：；其歸一化條件為：。13"n（x）：COS,、一5、已知粒子在一維矩形萬勢阱中運動，其波函數(shù)為Vaa（-a壬x苴a）,那么5a粒子在x=出現(xiàn)的概率密度為：（）6大？A、6、7、B2a二C、-X2、a2a在一維矩形方勢阱中，求粒子處在第一激發(fā)態(tài)(n=2)時的能量以及在勢阱中何處出現(xiàn)的的概率最氫原子中的電子處于n=4、1=3的狀態(tài)，問:(1)該電子角動量L的值為多少?(2)這角動量L在z軸的分量為多少?8、設(shè)有一電子在寬度為a=0.20nm的一維無限深方勢阱中，求:(1)電子在最低能量級的能量;(2)當電子處于第一激發(fā)態(tài)(n=2)時，在勢阱中何處出現(xiàn)的的概率最小?六、自我評價參考答案及評分標準：評分標準：15題每題8分，68題每題20分，