最優(yōu)捕魚策略_數(shù)學(xué)建模

1、精選文檔 西 安 郵 電 大 學(xué) （理學(xué)院） 數(shù)學(xué)建模報(bào)告最優(yōu)捕魚策略 專業(yè)名稱： 信息與計(jì)算科學(xué)班 級(jí)： 1302班 同學(xué)姓名： 張夢(mèng)倩學(xué)號(hào)（8位）： 07131057指導(dǎo)老師： 支曉斌摘要為了愛護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必需適度。本文實(shí)際上就是為了解決漁業(yè)上最優(yōu)捕魚策略問題，即在可持續(xù)捕撈的前提下，追求捕撈量的最大化。問題一接受條件極值列方程組的方法求解，即1齡魚的數(shù)量由3齡魚和4齡魚的產(chǎn)卵孵化而來；2，3齡魚的數(shù)量分別由上一年1齡魚，2齡魚生長(zhǎng)而來；4齡魚由上一年的3齡魚和上一年末存活的4齡魚組成。最終得到：只要每年1-8月份3、4齡魚捕撈總量小于、

2、，就可以實(shí)現(xiàn)總捕撈量最大為；對(duì)結(jié)果分析得到捕撈的對(duì)象主要是3齡魚，當(dāng)3齡與4齡魚的捕撈系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，總的捕撈量變化不大。    問題二給出年初各齡魚的數(shù)量，要求在5年后魚群的生產(chǎn)力量沒有受到太大的破壞的前提下，使5年的總收獲量最大，即在5年內(nèi)魚群能夠可持續(xù)繁殖和生長(zhǎng)。本題以5年的總捕獲量為目標(biāo)函數(shù)，以5年后各齡魚的數(shù)量沒有發(fā)生太大的變化為條件，建立承包期總產(chǎn)量模型。最終得到的捕撈策略如表1-1。只要各年齡魚每年的捕撈數(shù)量小于表1-1中的數(shù)量，就可以實(shí)現(xiàn)5年后魚群的生產(chǎn)力量沒有發(fā)生太大的變化。 一、 問題重述  為了愛護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，

3、可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必需適度。一種合理、簡(jiǎn)化的策略是，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。 考慮對(duì)某種魚（鯧魚）的最優(yōu)捕撈策略： 假設(shè)這種魚分4個(gè)年齡組：稱1齡魚，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（1/年）；這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×10 (個(gè)）；3齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最終4個(gè)月；卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為1.22×10/(1.22&#

4、215;10+n). 漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵卵化期前的8個(gè)月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)。假如每年投入的捕撈力量（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比。比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力氣捕撈。 1）建立數(shù)學(xué)模型分析如何可持續(xù)捕獲（即每年開頭捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）。2） 某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求魚群的生產(chǎn)力量不能受到太大的破壞。已知承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量分別為：12

5、2,29.7,10.1,3.29(×10條），假如仍用固定努力氣的捕撈方式，該公司實(shí)行怎樣的策略才能使總收獲量最高。二、 模型假設(shè)1、這種魚分為四個(gè)年齡組：1齡魚，2齡魚，3齡魚，4齡魚；2、各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07克, 11.55克,17.86克,22.99克；3、各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（1/年）；4、捕撈接受固定努力氣捕撈，即只允許每年的1-8月份捕撈，產(chǎn)卵和孵化期為每年的后四個(gè)月；5、4齡魚和3齡魚產(chǎn)卵，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵。6、卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總是n之比）為1.22× /(1.22× +n)，并且孵化出

6、的幼魚在下一年初成為1齡的魚；7、產(chǎn)卵期時(shí)魚的自然死亡率發(fā)生在產(chǎn)卵之后；8、4齡魚和3齡魚每年只產(chǎn)卵一次，并且產(chǎn)卵集中在九月份，到十二月底孵化完畢；9、使用1.3mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1，且每年投入的捕撈力量固定不變；10、只考慮該種魚的繁殖和捕撈，魚群增長(zhǎng)過程中不考慮魚的遷入和遷出，也不考慮其他方面的影響；11、對(duì)于模型一，為簡(jiǎn)化模型，將每一齡魚自然死亡數(shù)量均攤到每一個(gè)月內(nèi)；12、i齡魚在其次年分別變?yōu)閕+1齡魚，i=1,2,3；4齡魚仍為4齡魚；13、該魚的生長(zhǎng)周期為1年；14、自然死亡的魚也在捕撈范圍之內(nèi)，即計(jì)入捕獲量，并且能夠全

7、部捕撈。三、 符號(hào)變量及說明該年年初時(shí)i齡魚的總數(shù)量其次年年初時(shí)i齡魚的總數(shù)量i齡魚平均每月死亡數(shù)量i齡魚在j月初的活魚總數(shù)量i齡魚每條魚的平均重量9月底該種魚總共產(chǎn)卵數(shù)量卵孵化成幼魚進(jìn)入1齡魚階段的數(shù)量對(duì)i齡魚活魚的捕撈強(qiáng)度系數(shù)四、 問題分析針對(duì)問題一：如何在滿足可持續(xù)捕撈的前提下，實(shí)現(xiàn)每一年捕魚的最大量（重量），文中給出各齡魚在年底轉(zhuǎn)化的具體狀況：1齡魚數(shù)量由3齡魚和4齡魚的產(chǎn)卵孵化而來；2，3齡魚的數(shù)量分別由上一年齡段的魚經(jīng)自然死亡以及捕撈生長(zhǎng)而來；4齡魚是由上一年段3齡魚經(jīng)自然死亡以及捕撈后生長(zhǎng)的和原有的4齡魚組成的，并且規(guī)定只在每年的前八個(gè)月出船捕撈。那么依據(jù)以上信息我們可以建立動(dòng)態(tài)

8、整型規(guī)劃模型，即以每年的前八個(gè)月作為動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的8種狀態(tài)，在滿足文中的可持續(xù)捕撈的約束條件下，先確定這前八個(gè)月中，每個(gè)月的捕撈量，最終求得這八個(gè)月總捕撈量的最大值；當(dāng)然我們還可以建立微分方程模型，把每一齡魚的數(shù)量變化看成是隨時(shí)間連續(xù)變化的，將每一齡魚的初始數(shù)量減去第八個(gè)月末的數(shù)量就可得到該齡魚的捕撈數(shù)量，然后可得到這八個(gè)月內(nèi)總的捕撈量，當(dāng)然這也要滿足可持續(xù)捕撈的約束條件。針對(duì)問題二：本文將此題轉(zhuǎn)化為在已知條件下，求最大捕獲量的問題。我們從文中可知，該漁業(yè)公司五年的捕撈作業(yè)后，魚群的生產(chǎn)力量不能受到太大破壞，這和前一道題的可持續(xù)捕撈條件有點(diǎn)區(qū)分，就是該題的約束條件已變?yōu)槲迥瓴稉坪蟾鼾g魚的數(shù)量比承

9、包前的要少，只要程度把握在肯定的范圍內(nèi)就不會(huì)對(duì)魚群的生產(chǎn)力量造成太大破壞。此時(shí)我們要引入破壞系數(shù) ，就是五年后各齡魚與五年前各齡魚數(shù)量的比值，值越大，破壞程度越小，反之，破壞程度越大。我們可以把對(duì)魚群的破壞看成是每一年的累積效應(yīng)，即每一年都可能有破壞，這樣我們就可以在問題一所建立的模型的基礎(chǔ)上，修改一下約束條件，就可以求出這五年內(nèi)該漁業(yè)公司的最大捕獲量。五、 模型的建立與求解模型一、動(dòng)態(tài)整型規(guī)劃模型在沒有人工捕撈的狀況下，由文中的全部齡魚的自然死亡率0.8（1/年）可知i齡魚在一年內(nèi)死亡的總數(shù)量為：，其中為i齡魚年初的數(shù)量，為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，我們考慮把i齡魚的死亡總數(shù)量平均安排到每一個(gè)月，這樣

10、i齡魚在每一個(gè)月的死亡數(shù)量均為J月初的i齡魚的活魚總數(shù)量：，這個(gè)等式說明白該模型中我們把每一個(gè)月看做一個(gè)時(shí)間單位，魚的數(shù)量隨時(shí)間的變化是離散的，當(dāng)每個(gè)月月初各齡魚的數(shù)量固定時(shí)，該月要捕撈的總的活魚數(shù)量也就固定了。由于在后四個(gè)月內(nèi)某些3,4齡魚在產(chǎn)卵后才會(huì)死去，況且從卵孵化成幼魚要經(jīng)過一段時(shí)間，為了確保全部有效卵能在年底孵化成幼魚，進(jìn)入1齡魚的階段，我們使它們?cè)?月底產(chǎn)卵完畢，則在9月底總共產(chǎn)卵數(shù)目為: 其中×10由卵孵化成幼魚進(jìn)入1齡魚階段的數(shù)量為：，其中1.22×10則j月i齡魚的捕撈重量為：則在這八個(gè)月內(nèi)各齡魚總捕撈重量為：其次年年初各齡魚的總數(shù)量記為，則=，則得如下動(dòng)

11、態(tài)整型規(guī)劃優(yōu)化模型：目標(biāo)函數(shù)： 考慮到魚的數(shù)量相當(dāng)?shù)拇螅瑸橛?jì)算便利可將上述模型簡(jiǎn)化非整形規(guī)劃得：目標(biāo)函數(shù)： 模型二、微分方程模型我們把魚群數(shù)量的變化看成是隨時(shí)間連續(xù)變化的，r為自然死亡率，則在t，t+t內(nèi)，依據(jù)自然死亡率的定義，由于不捕撈1、2齡魚，所以變形則得 解得對(duì)于3、4齡魚由于捕撈在前8個(gè)月進(jìn)行，因此，前8個(gè)月內(nèi)，即時(shí)捕撈與死亡均影響魚的變化，因而微分方程變形為 由上式解得 當(dāng)時(shí)，因而，3、4齡魚在其次年初的數(shù) 為了確保全部有效卵能在年底孵化成幼魚，進(jìn)入1齡魚的階段，我們假設(shè)它們?cè)?月底產(chǎn)卵完畢，則在9月底總共產(chǎn)卵數(shù)目為: 其中×10由卵孵化成幼魚進(jìn)入1齡魚階段的數(shù)量為：，其中1.22×10，為卵的成活率則 1、2齡魚在其次年初的數(shù)量為 （7）此外，我們還求得每年對(duì)