小波變換與小波框架

1、小波變換與小波框架小波分析的理論與方法是從Fourier分析的思想方法演變而來的，就象Fourier分析分為積分 Fourier變換和 Fourier級數(shù)一樣，小波分析也分為( 積分 ) 小波變換和小波級數(shù)兩部分， ( 積分 ) 小波變換的主體是連續(xù)小波變換，正尺度小波變換和 s- 進(jìn)小波變換；而小波級數(shù)的主體部分是關(guān)于小波框架的理論 小波分析理論深刻，應(yīng)用廣泛，并且仍在迅速發(fā)展之中本文是作者作為初學(xué)者，就小波分析這一理論中比較基本和初步的東西所作的一點(diǎn)歸納和整理， 其實(shí)，有許多結(jié)論已經(jīng)或明或暗的出現(xiàn)于許多文獻(xiàn)中了， 只是作者覺得它們敘述得不夠適合初學(xué)者，尤其是不適合沒有工程應(yīng)用背景的人，這是

2、因?yàn)樾〔ǚ治鱿驠ourier分析一樣，起初都是由應(yīng)用數(shù)學(xué)家， 物理學(xué)家和工程師們發(fā)展起來的本文所得結(jié)論比較初步， 所用方法基本上屬于泛函分析中的一些基本內(nèi)容，只是稍微需要一點(diǎn)關(guān)于拓?fù)淙旱闹R(shí)和 Fourier 分析的基礎(chǔ)知識(shí)本文僅考慮 Hilbert空間 L2(R) 及其閉子空間中的小波變換和小波框架等問題本文主要考慮的問題是： L2(R) 上的連續(xù)小波變換，正尺度小波變換和s- 進(jìn)小波變換，以及L2(R) 中的小波框架， 因?yàn)槠揭瓶蚣茉谛〔蚣苤芯哂兄匾饔茫?所以也考慮了L2(R) 的閉子空間中的平移框架事實(shí)上，通常的小波分析所研究的問題，在一維情形，概括地說，是研究實(shí)直線R 上的仿射群

3、R*×R 及其子群和子集在L2(R) 上的酉表示 U 所誘導(dǎo)的 L2(R)( 有時(shí)是其閉子空間 ) 中的函數(shù)的積分變換的性質(zhì)及應(yīng)用下面作稍具體的一點(diǎn)解釋：首先，變換上的仿射變換，所有這樣的變換全體做成個(gè)群，記為和凡 xB 1（。 m，幻兒 mE二，bE 用是 XxR的子群，（丹 xRh 一U習(xí)，巴 nf 小 1；左 0，mE鳳 n 二廠 I 是 R宇 XR的一懺集丞它不是群分別作定義在集合Rx B，H x R；Ri x R 和（ H x R 一上的 ilbert空間L（R x R， dd1）上（ H x R ，a i ）aa） WIZ（L）一 Hgjh 。zDgj C L （B）；

4、Vj C鳳且 z、八幻 P co和尸（廠 xz）它們在一維小波分析中有重要作用·JcZR ：R在 L舊 J 上有如下的酉表示U：U：R X B B（LZ（R）（ a 三 a） v （ o？：z（s） z （ s）f v （a，）j T6 j 這里（ Tbj ）（x） j（ b）。（D。j ）（。） Ial j （xal ，子群 R “x B 和 R x B以及子集口” X Rk。在 U 作用下得到各自的表示，由這些表示得到下面四個(gè)線性算子：Wb： LZ（R）一 LZ （ R X B ；問一Zdnda），、I一、 1、11 O。 r 卜一十卜卜廣： W卜 A 廣 Qa0多礦 oa Da

5、l 2 八 D eWb：L L X R；Q deo），。、1、1、礦 2 一 DIpeapW。I ：W。IIQ ，DI IlllQ Zhl ide QU叱： L（ R）一 WI（L）f叱 j ：（叭 j （J，仙。二隅 V（。，6。二·葉：尸（印 L 勺 zX 引jH叱人 叫j （， I 。，n。Z（ m（。”，?！薄４╩，。Z本文中，把使得Wb為連續(xù)且有連續(xù)逆的hEL舊）稱為允許小波，若h為允許基小波，則稱Wb 為連續(xù)小波變換同樣，把使得WK和WI連續(xù)且有連續(xù)逆的h 分別稱為正尺度小波和卜進(jìn)小波，而相應(yīng)的叮和W分別稱為正販小波變換和卜進(jìn)小波變扳本文中把Wb，們和WI統(tǒng)稱為小波變換恤是相應(yīng)的矗小波），而把使得叱（正文中沒有明確出現(xiàn)）覷且有連續(xù)逆的 hCL舊）稱為框架小