2022年氣體的等溫變化玻意耳定律典型例題

1、氣體的等溫變化、玻意耳定律典型例題【例1】一個(gè)氣泡從水底升到水面時(shí)，它的體積增大為原來(lái)的3倍，設(shè)水的密度為=1×103kgm3，大氣壓強(qiáng)p0=1.01×105Pa，水底與水面的溫度差不計(jì)，求水的深度。取g=10ms2?！痉治觥繗馀菰谒讜r(shí)，泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)等于水面上大氣壓與水的靜壓強(qiáng)之和。氣泡升到水面上時(shí)，泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)減小為與大氣壓相等，因此其體積增大。由于水底與水面溫度一樣，泡內(nèi)氣體經(jīng)歷的是一個(gè)等溫變化過(guò)程，故可用玻意耳定律計(jì)算?！窘獯稹吭O(shè)氣泡在水底時(shí)的體積為V1、壓強(qiáng)為：p1=p0+gh氣泡升到水面時(shí)的體積為V2，那么V2=3V1，壓強(qiáng)為p2=p0。由玻意耳定律 p1V

2、1=p2V2，即p0+ghV1=p0·3V1得水深【例2】如圖1所示，圓柱形氣缸活塞的橫截面積為S，下外表與水平面的夾角為，重量為G。當(dāng)大氣壓為p0，為了使活塞下方密閉氣體的體積減速為原來(lái)的1/2，必須在活塞上放置重量為多少的一個(gè)重物氣缸壁與活塞間的摩擦不計(jì)【誤解】活塞下方氣體原來(lái)的壓強(qiáng)設(shè)所加重物重為G，那么活塞下方氣體的壓強(qiáng)變?yōu)?氣體體積減為原的1/2，那么p2=2p1【正確解答】據(jù)圖2，設(shè)活塞下方氣體原來(lái)的壓強(qiáng)為p1，由活塞的平衡條件得同理，加上重物G后，活塞下方的氣體壓強(qiáng)變?yōu)闅怏w作等溫變化，根據(jù)玻意耳定律：得 p2=2p1 G=p0S+G【錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo)】【誤解】從壓強(qiáng)角度

3、解題本來(lái)也是可以的，但免發(fā)生以上關(guān)于壓強(qiáng)計(jì)算的錯(cuò)誤，相似類型的題目從力的平衡入手解題比擬好。在分析受力時(shí)必須注意由氣體壓強(qiáng)產(chǎn)生的氣體壓力應(yīng)該垂直于接觸面，氣體壓強(qiáng)乘上接觸面積即為氣體壓力，情況就如【正確解答】所示?！纠?】一根兩端開(kāi)口、粗細(xì)均勻的細(xì)玻璃管，長(zhǎng)L=30cm，豎直插入水銀槽中深h0=10cm處，用手指按住上端，輕輕提出水銀槽，并緩緩倒轉(zhuǎn)，那么此時(shí)管內(nèi)封閉空氣柱多長(zhǎng)？大氣壓P0=75cmHg?！痉治觥坎迦胨y槽中按住上端后，管內(nèi)封閉了一定質(zhì)量氣體，空氣柱長(zhǎng)L1=L-h0=20cm，壓強(qiáng)p1=p0=75cmHg。輕輕提出水銀槽直立在空氣中時(shí)，有一局部水銀會(huì)流出，被封閉的空氣柱長(zhǎng)度和壓強(qiáng)

4、都會(huì)發(fā)生變化。設(shè)管中水銀柱長(zhǎng)h，被封閉氣體柱長(zhǎng)為L(zhǎng)2=L-h。倒轉(zhuǎn)后，水銀柱長(zhǎng)度仍為h不變，被封閉氣體柱長(zhǎng)度和壓強(qiáng)又發(fā)生了變化。設(shè)被封閉氣體柱長(zhǎng)L3。所以，管內(nèi)封閉氣體經(jīng)歷了三個(gè)狀態(tài)。由于“輕輕提出、“緩緩倒轉(zhuǎn)，意味著都可認(rèn)為溫度不變，因此可由玻意耳定律列式求解?！窘狻扛鶕?jù)上面的分析，畫出示意圖圖a、b、c。氣體所經(jīng)歷的三個(gè)狀態(tài)的狀態(tài)參量如下表所示：由于整個(gè)過(guò)程中氣體的溫度不變，由玻意耳定律：p1V1=p2V2=p3V3即75×20S=75-h30-hS=75+hL3S由前兩式得：h2-105h+750=0取合理解 h=7.7cm，代入得【說(shuō)明】必須注意題中隱含的狀態(tài)b，如果遺漏了這

5、一點(diǎn)，將無(wú)法正確求解?！纠?】容器A的容積是10L，用一根帶閥門的細(xì)管，與容器B相連。開(kāi)場(chǎng)時(shí)閥門關(guān)閉， A內(nèi)充有10atm的空氣，B是真空。后翻開(kāi)閥門把A中空氣放一些到B中去，當(dāng)A內(nèi)壓強(qiáng)降到4atm時(shí)，把閥門關(guān)閉，這時(shí)B內(nèi)壓強(qiáng)是3atm。求容器B的容積。假設(shè)整個(gè)過(guò)程中溫度不變?！痉治觥繉?duì)流入容器B的這局部空氣，它后來(lái)的狀態(tài)為壓強(qiáng)pB=3atm，體積VB容器B的容積。為了找出這局部空氣的初態(tài)，可設(shè)想讓容器A中的空氣作等溫膨脹，它的壓強(qiáng)從10atm降為4atm時(shí)逸出容器A的空氣便是進(jìn)入B內(nèi)的空氣，于是即可確定初態(tài)?！窘獯稹肯纫匀萜鰽中空氣為研究對(duì)象，它們等溫膨脹前后的狀態(tài)參量為：VA=10L，pA

6、=10atm；V'A=？，p'A=4atm。由玻意耳定律 pAVA=p'AV'A，得如圖1所示。再以逸出容器A的這些空氣為研究對(duì)象，它作等溫變化前后的狀態(tài)為：p1=p'A=4atm，V1=V'A-VA=15Lp'1=3atm，V'1=VB同理由玻意耳定律 p1V1=p'1VB，得所以容器B的容積是20L?！菊f(shuō)明】此題中研究對(duì)象的選取至關(guān)重要，可以有多種設(shè)想。例如，可先以后來(lái)充滿容器A的氣體為研究對(duì)象見(jiàn)圖2假設(shè)它原來(lái)在容器A中占的體積為Vx，這局部氣體等溫變化前后的狀態(tài)為：變化前：壓強(qiáng)pA=10atm、體積Vx，變化后：壓強(qiáng)

7、pA=4atm 體積Vx=VA=10L。由 pAVx=pAVx由此可見(jiàn)，進(jìn)入B中的氣體原來(lái)在A內(nèi)占的體積為VA-Vx=10-4L=6L。再以這局部氣體為研究對(duì)象，它在等溫變化前后的狀態(tài)為：變化前：壓強(qiáng)p1=10atm，體積V1=6L，變化后：壓強(qiáng)p2=3atm，體積V2=VB由玻意耳定律得容器B的容積為：決定氣體狀態(tài)的參量有溫度、體積、壓強(qiáng)三個(gè)物理量，為了研究這三者之間的聯(lián)系，可以先保持其中一個(gè)量不變，研究另外兩個(gè)量之間的關(guān)系，然后再綜合起來(lái)。這是一個(gè)重要的研究方法，關(guān)于氣體性質(zhì)的研究也正是按照這個(gè)思路進(jìn)展的。【例5】一容積為32L的氧氣瓶充氣后壓強(qiáng)為1300N/cm2。按規(guī)定當(dāng)使用到壓強(qiáng)降為

8、100N/cm2時(shí)，就要重新充氣。某廠每天要用400L氧氣在1atm下，一瓶氧氣能用多少天1atm=10N/cm2？設(shè)使用過(guò)程中溫度不變?！痉治觥窟@里的研究對(duì)象是瓶中的氧氣。由于它原有的壓強(qiáng)1300N/cm2，使用后的壓強(qiáng)100N/cm2、工廠應(yīng)用時(shí)的壓強(qiáng)10N/cm2都不同，為了確定使用的天數(shù)，可把瓶中原有氧氣和后來(lái)的氧氣都轉(zhuǎn)化為1atm，然后根據(jù)每天的耗氧量即可算出天數(shù)。【解】作出示意圖如圖1所示。根據(jù)玻意耳定律，由p1V1=p1V1，p2V2=p2V2得所以可用天數(shù)為：【說(shuō)明】根據(jù)上面的解題思路，也可以作其他設(shè)想。如使后來(lái)留在瓶中的氧氣和工廠每天耗用的氧氣都變成1300N/cm2的壓強(qiáng)狀

9、態(tài)下，或使原來(lái)瓶中的氧氣和工廠每天耗用的氧氣都變成100N/cm2的壓強(qiáng)狀態(tài)下，統(tǒng)一了壓強(qiáng)后，就可由使用前后的體積變化算出使用天數(shù)。上面解出的結(jié)果，如果先用文字代入并注意到p1=p2=p0 ，即得或p1V1=p2V2+np0V0這就是說(shuō)，在等溫變化過(guò)程中，當(dāng)把一定質(zhì)量的氣體分成兩局部或幾局部，變化前后pV值之和保持不變圖2。這個(gè)結(jié)果，實(shí)質(zhì)上就是質(zhì)量守恒在等溫過(guò)程中的具體表達(dá)。在氣體的分裝和混合等問(wèn)題中很有用。【例6】如下圖，容器A的容積為VA=100L，抽氣機(jī)B的最大容積為VB=25L。當(dāng)活塞向上提時(shí)，閥門a翻開(kāi)，閥門b關(guān)閉；當(dāng)活塞向下壓時(shí)，閥門a關(guān)閉，閥門b翻開(kāi)。假設(shè)抽氣機(jī)每分鐘完成4次抽氣

10、動(dòng)作，求抽氣機(jī)工作多長(zhǎng)時(shí)間，才能使容器A中氣體的壓強(qiáng)由70cmhg下降到7.5cmHg設(shè)抽氣過(guò)程中容器內(nèi)氣體的溫度不變？【誤解】設(shè)容器中氣體等溫膨脹至體積V2，壓強(qiáng)由70cmHg下降到7.5cmHg，根據(jù)pAVA=p2V2得所需時(shí)間【正確解答】設(shè)抽氣1次后A中氣體壓強(qiáng)下降到p1，根據(jù)pAVA=p1VA+VB得第二次抽氣后，壓強(qiáng)為p2，那么同理，第三次抽氣后，抽氣n次后，氣體壓強(qiáng)代入數(shù)據(jù)得：n=10次【錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo)】【誤解】的原因是不了解抽氣機(jī)的工作過(guò)程，認(rèn)為每次抽入抽氣機(jī)的氣體壓強(qiáng)均為7.5cmHg。事實(shí)上，每次抽氣過(guò)程中被抽氣體體積都是VB，但壓強(qiáng)是逐步減小的，只是最后一次抽氣時(shí)，壓強(qiáng)

11、才降低至7.5cmHg。因此，必須逐次對(duì)抽氣過(guò)程列出玻意耳定律公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展求解。【例7】有開(kāi)口向上豎直安放的玻璃管，管中在長(zhǎng)h的水銀柱下方封閉著一段長(zhǎng)L的空氣柱。當(dāng)玻璃管以加速度a向上作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，空氣柱的長(zhǎng)度將變?yōu)槎嗌?？?dāng)天大氣壓為p0，水銀密度為，重力加速度為g?！菊`解】空氣柱原來(lái)的壓強(qiáng)為p1=p0+h當(dāng)玻璃管向上作勻加速動(dòng)時(shí)，空氣柱的壓強(qiáng)為p2，對(duì)水銀柱的加速運(yùn)動(dòng)有p2S-p0S-mg=ma即 p2=p0+g+ah考慮空氣的狀態(tài)變化有p1LS=p2LS【正確解答】空氣柱原來(lái)的壓強(qiáng)為p1=p0+gh當(dāng)玻璃管向上作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，空氣柱的壓強(qiáng)為p2，由水銀柱加速度運(yùn)動(dòng)得p2S-

12、p0S-mg=ma p2=p0+g+ah氣體作等溫變化p1LS=p2LS 【錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo)】 此題是動(dòng)力學(xué)和氣體狀態(tài)變化結(jié)合的綜合題。由于牛頓第二定律公式要求使用國(guó)際單位，所以壓強(qiáng)的單位是“Pa?！菊`解】中p1=p0+h，由動(dòng)力學(xué)方程解得p2=p0+·g+ah，在壓強(qiáng)的表示上，h和g+ah顯然不一致，前者以cmHg作單位是錯(cuò)誤的。所以在解答此類習(xí)題時(shí)，要特別注意統(tǒng)一單位，高為h的水銀柱的壓強(qiáng)表達(dá)為p=gh是解題中一個(gè)要點(diǎn)。例8如下圖，內(nèi)徑均勻的U型玻璃管豎直放置，截面積為5cm2，管右側(cè)上端封閉，左側(cè)上端開(kāi)口，內(nèi)有用細(xì)線栓住的活塞。兩管中分別封入L=11cm的空氣柱A和B，活塞上

13、、下氣體壓強(qiáng)相等為76cm水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)，這時(shí)兩管內(nèi)的水銀面的高度差h=6cm，現(xiàn)將活塞用細(xì)線緩慢地向上拉，使兩管內(nèi)水銀面相平。求1活塞向上移動(dòng)的距離是多少？2需用多大拉力才能使活塞靜止在這個(gè)位置上？分析兩局部氣體是靠壓強(qiáng)來(lái)聯(lián)系U型玻璃管要注意水銀面的變化，一端假設(shè)下降xcm另一端必上升xcm，兩液面高度差為2xcm，由此可知，兩液面相平，B液面下降h/2，A管液面上升h/2在此根底上考慮活塞移動(dòng)的距離解答1對(duì)于B段氣體pB1=76-6=70cmHg pB2=pVB1=11S(cm3) VB2=(11+3)S(cm3)根據(jù)玻意耳定律 pB1VB1=pB2VB2對(duì)于A段氣體pA1=76(cmH

14、g) pA2=pB2=55(cmHg)VA1=11s(cm3) VA2=L'S(cm3)根據(jù)玻意耳定律 pA1VA1=pA2VA2對(duì)于活塞的移動(dòng)距離：h'=L'+3-L=15.2+3-11=7.2(cm)2對(duì)于活塞平衡，可知F+pA2S=P0SF=P0S-PS說(shuō)明U型管粗細(xì)一樣時(shí)，一側(cè)水銀面下降hcm，另一側(cè)水銀面就要上升hcm，兩局部液面高度差變化于2hcm，假設(shè)管子粗細(xì)不同，應(yīng)該從體積的變化來(lái)考慮，就用幾何關(guān)系解決物理問(wèn)題是常用的方法。例9如下圖，在水平放置的容器中，有一靜止的活塞把容器分隔成左、右兩局部，左側(cè)的容積是1.5L，存有空氣；右側(cè)的容積是3L，存有氧氣，

15、大氣壓強(qiáng)是76cmHg。先翻開(kāi)閥門K，當(dāng)與容器中空氣相連的U形壓強(qiáng)計(jì)中左、右水銀面的高度差減為19cm時(shí)，關(guān)閉閥K。求后來(lái)氧氣的質(zhì)量與原來(lái)氧氣的質(zhì)量之比系統(tǒng)的溫度不變，壓強(qiáng)計(jì)的容積以及摩擦不計(jì)。分析對(duì)于密封的一定質(zhì)量空氣把原來(lái)容器中的氧氣做為研究對(duì)象容器外放走的氧氣體積VV=(V1'+V2')-(V1+V2)在后來(lái)狀態(tài)下，氧氣密度一樣解答對(duì)于空氣溫度不變對(duì)于氧氣溫度不變做為研究對(duì)象容器外的氧氣假設(shè)仍處于末態(tài)的體積說(shuō)明：理想氣體的狀態(tài)方程，是對(duì)一定量的氣體而言，當(dāng)它的狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，狀態(tài)參量之間的變化規(guī)律。遵守氣態(tài)方程。而兩局部氣體時(shí)，要各自分別應(yīng)用狀態(tài)方程。再通過(guò)力學(xué)條件，找到

16、這兩局部氣之間壓強(qiáng)或體積的關(guān)系。此題容器內(nèi)的氧氣是屬于變質(zhì)量問(wèn)題，也可以把它假想成質(zhì)量不變來(lái)處理。氣體單位體積的分子數(shù)相等，質(zhì)量和體積成正比，可求得剩余質(zhì)量或放出的質(zhì)量與原質(zhì)量之間的比例關(guān)系。求物體的質(zhì)量可以用m=V某個(gè)狀態(tài)時(shí)的密度和該狀態(tài)時(shí)體積的乘積，而氣態(tài)方程也可以寫做密度形式常用此式求某一狀態(tài)時(shí)氣體單位體積的分子數(shù)，然后再求氣體的質(zhì)量。例10一橫截面積為S的氣缸水平放置，固定不動(dòng)，氣缸壁是導(dǎo)熱的，兩個(gè)活塞A和B將氣缸分隔為1、2兩氣室，到達(dá)平衡時(shí)1、2兩氣室體積之比為32，如下圖，在室溫不變的條件下，緩慢推動(dòng)活塞A，使之向右移動(dòng)一段距離d，求活塞B向右移動(dòng)的距離，不計(jì)活塞與氣缸壁之間的摩擦。分析氣缸水平放置，不計(jì)活塞與氣缸壁的摩擦，平衡時(shí)，兩氣室的壓強(qiáng)必相等。兩氣室各密封一定量的氣體，緩慢推動(dòng)活塞，故溫度保持不變，分別運(yùn)用玻意耳定律解題。解因氣缸水平放置，又不計(jì)活塞的摩擦，故平衡時(shí)兩氣室內(nèi)的壓強(qiáng)必相等，設(shè)初態(tài)時(shí)氣室內(nèi)壓強(qiáng)為p0，氣室1、2的體積分別為V1和V2；在活塞A向右移動(dòng)d的過(guò)程中活塞B向右移動(dòng)的距離為x；最后氣缸內(nèi)壓強(qiáng)為p，因溫度不變，分別對(duì)氣室1和2的氣體運(yùn)用玻意耳定律，得氣室1 p0V1=p(V1-Sd+Sx) 氣室2 p0V2=p(V2-Sx) 由、兩式解得說(shuō)明