2022年氣體的等溫變化玻意耳定律典型例題

1、氣體的等溫變化、玻意耳定律典型例題【例1】一個氣泡從水底升到水面時，它的體積增大為原來的3倍，設(shè)水的密度為=1×103kgm3，大氣壓強(qiáng)p0=1.01×105Pa，水底與水面的溫度差不計(jì)，求水的深度。取g=10ms2?！痉治觥繗馀菰谒讜r，泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)等于水面上大氣壓與水的靜壓強(qiáng)之和。氣泡升到水面上時，泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)減小為與大氣壓相等，因此其體積增大。由于水底與水面溫度一樣，泡內(nèi)氣體經(jīng)歷的是一個等溫變化過程，故可用玻意耳定律計(jì)算?！窘獯稹吭O(shè)氣泡在水底時的體積為V1、壓強(qiáng)為：p1=p0+gh氣泡升到水面時的體積為V2，那么V2=3V1，壓強(qiáng)為p2=p0。由玻意耳定律 p1V

2、1=p2V2，即p0+ghV1=p0·3V1得水深【例2】如圖1所示，圓柱形氣缸活塞的橫截面積為S，下外表與水平面的夾角為，重量為G。當(dāng)大氣壓為p0，為了使活塞下方密閉氣體的體積減速為原來的1/2，必須在活塞上放置重量為多少的一個重物氣缸壁與活塞間的摩擦不計(jì)【誤解】活塞下方氣體原來的壓強(qiáng)設(shè)所加重物重為G，那么活塞下方氣體的壓強(qiáng)變?yōu)?氣體體積減為原的1/2，那么p2=2p1【正確解答】據(jù)圖2，設(shè)活塞下方氣體原來的壓強(qiáng)為p1，由活塞的平衡條件得同理，加上重物G后，活塞下方的氣體壓強(qiáng)變?yōu)闅怏w作等溫變化，根據(jù)玻意耳定律：得 p2=2p1 G=p0S+G【錯因分析與解題指導(dǎo)】【誤解】從壓強(qiáng)角度

3、解題本來也是可以的，但免發(fā)生以上關(guān)于壓強(qiáng)計(jì)算的錯誤，相似類型的題目從力的平衡入手解題比擬好。在分析受力時必須注意由氣體壓強(qiáng)產(chǎn)生的氣體壓力應(yīng)該垂直于接觸面，氣體壓強(qiáng)乘上接觸面積即為氣體壓力，情況就如【正確解答】所示。【例3】一根兩端開口、粗細(xì)均勻的細(xì)玻璃管，長L=30cm，豎直插入水銀槽中深h0=10cm處，用手指按住上端，輕輕提出水銀槽，并緩緩倒轉(zhuǎn)，那么此時管內(nèi)封閉空氣柱多長？大氣壓P0=75cmHg?！痉治觥坎迦胨y槽中按住上端后，管內(nèi)封閉了一定質(zhì)量氣體，空氣柱長L1=L-h0=20cm，壓強(qiáng)p1=p0=75cmHg。輕輕提出水銀槽直立在空氣中時，有一局部水銀會流出，被封閉的空氣柱長度和壓強(qiáng)

4、都會發(fā)生變化。設(shè)管中水銀柱長h，被封閉氣體柱長為L2=L-h。倒轉(zhuǎn)后，水銀柱長度仍為h不變，被封閉氣體柱長度和壓強(qiáng)又發(fā)生了變化。設(shè)被封閉氣體柱長L3。所以，管內(nèi)封閉氣體經(jīng)歷了三個狀態(tài)。由于“輕輕提出、“緩緩倒轉(zhuǎn)，意味著都可認(rèn)為溫度不變，因此可由玻意耳定律列式求解?！窘狻扛鶕?jù)上面的分析，畫出示意圖圖a、b、c。氣體所經(jīng)歷的三個狀態(tài)的狀態(tài)參量如下表所示：由于整個過程中氣體的溫度不變，由玻意耳定律：p1V1=p2V2=p3V3即75×20S=75-h30-hS=75+hL3S由前兩式得：h2-105h+750=0取合理解 h=7.7cm，代入得【說明】必須注意題中隱含的狀態(tài)b，如果遺漏了這

5、一點(diǎn)，將無法正確求解?！纠?】容器A的容積是10L，用一根帶閥門的細(xì)管，與容器B相連。開場時閥門關(guān)閉， A內(nèi)充有10atm的空氣，B是真空。后翻開閥門把A中空氣放一些到B中去，當(dāng)A內(nèi)壓強(qiáng)降到4atm時，把閥門關(guān)閉，這時B內(nèi)壓強(qiáng)是3atm。求容器B的容積。假設(shè)整個過程中溫度不變。【分析】對流入容器B的這局部空氣，它后來的狀態(tài)為壓強(qiáng)pB=3atm，體積VB容器B的容積。為了找出這局部空氣的初態(tài)，可設(shè)想讓容器A中的空氣作等溫膨脹，它的壓強(qiáng)從10atm降為4atm時逸出容器A的空氣便是進(jìn)入B內(nèi)的空氣，于是即可確定初態(tài)?！窘獯稹肯纫匀萜鰽中空氣為研究對象，它們等溫膨脹前后的狀態(tài)參量為：VA=10L，pA

6、=10atm；V'A=？，p'A=4atm。由玻意耳定律 pAVA=p'AV'A，得如圖1所示。再以逸出容器A的這些空氣為研究對象，它作等溫變化前后的狀態(tài)為：p1=p'A=4atm，V1=V'A-VA=15Lp'1=3atm，V'1=VB同理由玻意耳定律 p1V1=p'1VB，得所以容器B的容積是20L。【說明】此題中研究對象的選取至關(guān)重要，可以有多種設(shè)想。例如，可先以后來充滿容器A的氣體為研究對象見圖2假設(shè)它原來在容器A中占的體積為Vx，這局部氣體等溫變化前后的狀態(tài)為：變化前：壓強(qiáng)pA=10atm、體積Vx，變化后：壓強(qiáng)

7、pA=4atm 體積Vx=VA=10L。由 pAVx=pAVx由此可見，進(jìn)入B中的氣體原來在A內(nèi)占的體積為VA-Vx=10-4L=6L。再以這局部氣體為研究對象，它在等溫變化前后的狀態(tài)為：變化前：壓強(qiáng)p1=10atm，體積V1=6L，變化后：壓強(qiáng)p2=3atm，體積V2=VB由玻意耳定律得容器B的容積為：決定氣體狀態(tài)的參量有溫度、體積、壓強(qiáng)三個物理量，為了研究這三者之間的聯(lián)系，可以先保持其中一個量不變，研究另外兩個量之間的關(guān)系，然后再綜合起來。這是一個重要的研究方法，關(guān)于氣體性質(zhì)的研究也正是按照這個思路進(jìn)展的?！纠?】一容積為32L的氧氣瓶充氣后壓強(qiáng)為1300N/cm2。按規(guī)定當(dāng)使用到壓強(qiáng)降為

8、100N/cm2時，就要重新充氣。某廠每天要用400L氧氣在1atm下，一瓶氧氣能用多少天1atm=10N/cm2？設(shè)使用過程中溫度不變?！痉治觥窟@里的研究對象是瓶中的氧氣。由于它原有的壓強(qiáng)1300N/cm2，使用后的壓強(qiáng)100N/cm2、工廠應(yīng)用時的壓強(qiáng)10N/cm2都不同，為了確定使用的天數(shù)，可把瓶中原有氧氣和后來的氧氣都轉(zhuǎn)化為1atm，然后根據(jù)每天的耗氧量即可算出天數(shù)?！窘狻孔鞒鍪疽鈭D如圖1所示。根據(jù)玻意耳定律，由p1V1=p1V1，p2V2=p2V2得所以可用天數(shù)為：【說明】根據(jù)上面的解題思路，也可以作其他設(shè)想。如使后來留在瓶中的氧氣和工廠每天耗用的氧氣都變成1300N/cm2的壓強(qiáng)狀

9、態(tài)下，或使原來瓶中的氧氣和工廠每天耗用的氧氣都變成100N/cm2的壓強(qiáng)狀態(tài)下，統(tǒng)一了壓強(qiáng)后，就可由使用前后的體積變化算出使用天數(shù)。上面解出的結(jié)果，如果先用文字代入并注意到p1=p2=p0 ，即得或p1V1=p2V2+np0V0這就是說，在等溫變化過程中，當(dāng)把一定質(zhì)量的氣體分成兩局部或幾局部，變化前后pV值之和保持不變圖2。這個結(jié)果，實(shí)質(zhì)上就是質(zhì)量守恒在等溫過程中的具體表達(dá)。在氣體的分裝和混合等問題中很有用。【例6】如下圖，容器A的容積為VA=100L，抽氣機(jī)B的最大容積為VB=25L。當(dāng)活塞向上提時，閥門a翻開，閥門b關(guān)閉；當(dāng)活塞向下壓時，閥門a關(guān)閉，閥門b翻開。假設(shè)抽氣機(jī)每分鐘完成4次抽氣

10、動作，求抽氣機(jī)工作多長時間，才能使容器A中氣體的壓強(qiáng)由70cmhg下降到7.5cmHg設(shè)抽氣過程中容器內(nèi)氣體的溫度不變？【誤解】設(shè)容器中氣體等溫膨脹至體積V2，壓強(qiáng)由70cmHg下降到7.5cmHg，根據(jù)pAVA=p2V2得所需時間【正確解答】設(shè)抽氣1次后A中氣體壓強(qiáng)下降到p1，根據(jù)pAVA=p1VA+VB得第二次抽氣后，壓強(qiáng)為p2，那么同理，第三次抽氣后，抽氣n次后，氣體壓強(qiáng)代入數(shù)據(jù)得：n=10次【錯因分析與解題指導(dǎo)】【誤解】的原因是不了解抽氣機(jī)的工作過程，認(rèn)為每次抽入抽氣機(jī)的氣體壓強(qiáng)均為7.5cmHg。事實(shí)上，每次抽氣過程中被抽氣體體積都是VB，但壓強(qiáng)是逐步減小的，只是最后一次抽氣時，壓強(qiáng)

11、才降低至7.5cmHg。因此，必須逐次對抽氣過程列出玻意耳定律公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展求解。【例7】有開口向上豎直安放的玻璃管，管中在長h的水銀柱下方封閉著一段長L的空氣柱。當(dāng)玻璃管以加速度a向上作勻加速運(yùn)動時，空氣柱的長度將變?yōu)槎嗌?？?dāng)天大氣壓為p0，水銀密度為，重力加速度為g?！菊`解】空氣柱原來的壓強(qiáng)為p1=p0+h當(dāng)玻璃管向上作勻加速動時，空氣柱的壓強(qiáng)為p2，對水銀柱的加速運(yùn)動有p2S-p0S-mg=ma即 p2=p0+g+ah考慮空氣的狀態(tài)變化有p1LS=p2LS【正確解答】空氣柱原來的壓強(qiáng)為p1=p0+gh當(dāng)玻璃管向上作勻加速運(yùn)動時，空氣柱的壓強(qiáng)為p2，由水銀柱加速度運(yùn)動得p2S-

12、p0S-mg=ma p2=p0+g+ah氣體作等溫變化p1LS=p2LS 【錯因分析與解題指導(dǎo)】 此題是動力學(xué)和氣體狀態(tài)變化結(jié)合的綜合題。由于牛頓第二定律公式要求使用國際單位，所以壓強(qiáng)的單位是“Pa?！菊`解】中p1=p0+h，由動力學(xué)方程解得p2=p0+·g+ah，在壓強(qiáng)的表示上，h和g+ah顯然不一致，前者以cmHg作單位是錯誤的。所以在解答此類習(xí)題時，要特別注意統(tǒng)一單位，高為h的水銀柱的壓強(qiáng)表達(dá)為p=gh是解題中一個要點(diǎn)。例8如下圖，內(nèi)徑均勻的U型玻璃管豎直放置，截面積為5cm2，管右側(cè)上端封閉，左側(cè)上端開口，內(nèi)有用細(xì)線栓住的活塞。兩管中分別封入L=11cm的空氣柱A和B，活塞上

13、、下氣體壓強(qiáng)相等為76cm水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)，這時兩管內(nèi)的水銀面的高度差h=6cm，現(xiàn)將活塞用細(xì)線緩慢地向上拉，使兩管內(nèi)水銀面相平。求1活塞向上移動的距離是多少？2需用多大拉力才能使活塞靜止在這個位置上？分析兩局部氣體是靠壓強(qiáng)來聯(lián)系U型玻璃管要注意水銀面的變化，一端假設(shè)下降xcm另一端必上升xcm，兩液面高度差為2xcm，由此可知，兩液面相平，B液面下降h/2，A管液面上升h/2在此根底上考慮活塞移動的距離解答1對于B段氣體pB1=76-6=70cmHg pB2=pVB1=11S(cm3) VB2=(11+3)S(cm3)根據(jù)玻意耳定律 pB1VB1=pB2VB2對于A段氣體pA1=76(cmH

14、g) pA2=pB2=55(cmHg)VA1=11s(cm3) VA2=L'S(cm3)根據(jù)玻意耳定律 pA1VA1=pA2VA2對于活塞的移動距離：h'=L'+3-L=15.2+3-11=7.2(cm)2對于活塞平衡，可知F+pA2S=P0SF=P0S-PS說明U型管粗細(xì)一樣時，一側(cè)水銀面下降hcm，另一側(cè)水銀面就要上升hcm，兩局部液面高度差變化于2hcm，假設(shè)管子粗細(xì)不同，應(yīng)該從體積的變化來考慮，就用幾何關(guān)系解決物理問題是常用的方法。例9如下圖，在水平放置的容器中，有一靜止的活塞把容器分隔成左、右兩局部，左側(cè)的容積是1.5L，存有空氣；右側(cè)的容積是3L，存有氧氣，

15、大氣壓強(qiáng)是76cmHg。先翻開閥門K，當(dāng)與容器中空氣相連的U形壓強(qiáng)計(jì)中左、右水銀面的高度差減為19cm時，關(guān)閉閥K。求后來氧氣的質(zhì)量與原來氧氣的質(zhì)量之比系統(tǒng)的溫度不變，壓強(qiáng)計(jì)的容積以及摩擦不計(jì)。分析對于密封的一定質(zhì)量空氣把原來容器中的氧氣做為研究對象容器外放走的氧氣體積VV=(V1'+V2')-(V1+V2)在后來狀態(tài)下，氧氣密度一樣解答對于空氣溫度不變對于氧氣溫度不變做為研究對象容器外的氧氣假設(shè)仍處于末態(tài)的體積說明：理想氣體的狀態(tài)方程，是對一定量的氣體而言，當(dāng)它的狀態(tài)發(fā)生變化時，狀態(tài)參量之間的變化規(guī)律。遵守氣態(tài)方程。而兩局部氣體時，要各自分別應(yīng)用狀態(tài)方程。再通過力學(xué)條件，找到

16、這兩局部氣之間壓強(qiáng)或體積的關(guān)系。此題容器內(nèi)的氧氣是屬于變質(zhì)量問題，也可以把它假想成質(zhì)量不變來處理。氣體單位體積的分子數(shù)相等，質(zhì)量和體積成正比，可求得剩余質(zhì)量或放出的質(zhì)量與原質(zhì)量之間的比例關(guān)系。求物體的質(zhì)量可以用m=V某個狀態(tài)時的密度和該狀態(tài)時體積的乘積，而氣態(tài)方程也可以寫做密度形式常用此式求某一狀態(tài)時氣體單位體積的分子數(shù)，然后再求氣體的質(zhì)量。例10一橫截面積為S的氣缸水平放置，固定不動，氣缸壁是導(dǎo)熱的，兩個活塞A和B將氣缸分隔為1、2兩氣室，到達(dá)平衡時1、2兩氣室體積之比為32，如下圖，在室溫不變的條件下，緩慢推動活塞A，使之向右移動一段距離d，求活塞B向右移動的距離，不計(jì)活塞與氣缸壁之間的摩擦。分析氣缸水平放置，不計(jì)活塞與氣缸壁的摩擦，平衡時，兩氣室的壓強(qiáng)必相等。兩氣室各密封一定量的氣體，緩慢推動活塞，故溫度保持不變，分別運(yùn)用玻意耳定律解題。解因氣缸水平放置，又不計(jì)活塞的摩擦，故平衡時兩氣室內(nèi)的壓強(qiáng)必相等，設(shè)初態(tài)時氣室內(nèi)壓強(qiáng)為p0，氣室1、2的體積分別為V1和V2；在活塞A向右移動d的過程中活塞B向右移動的距離為x；最后氣缸內(nèi)壓強(qiáng)為p，因溫度不變，分別對氣室1和2的氣體運(yùn)用玻意耳定律，得氣室1 p0V1=p(V1-Sd+Sx) 氣室2 p0V2=p(V2-Sx) 由、兩式解得說明