最新高中數(shù)學(xué)典型立體幾何模型的應(yīng)用

1、典型立體幾何模型的應(yīng)用內(nèi)容摘要：立體幾何在高考中是重點(diǎn)考查的題目,考查空間想象水平、看圖、畫圖、理解圖的水平.典型的立體幾何模型是我們常見的模型,如果能引入到解題中,可以將一些復(fù)雜問題簡單化,另外本文介紹了一些典型立體幾何模型的一些性質(zhì).關(guān)鍵詞：立體幾何,典型,應(yīng)用,立體幾何模型.學(xué)習(xí)立體幾何要有準(zhǔn)確的空間想象水平,有看圖、畫圖、理解圖水平,同時(shí)具有必要的邏輯推理水平,運(yùn)算水平,在復(fù)習(xí)立體幾何的時(shí)候,往往一些典型的空間模型可以起到從特殊到一般的作用,故我們可以利用典型的空間模型復(fù)習(xí)立體幾何.典型的空間模型就是典型的空間環(huán)境,利用典型的空間模型可以很順利地解決高考中大型的立體幾何題.立體幾何的概

2、念、法那么、定理都是在一定的幾何環(huán)境中形成的,我們把它叫做幾何環(huán)境,典型的空間模型就是典型的幾何環(huán)境,許多同學(xué)對典型的幾何環(huán)境理解地不深,他們把它當(dāng)做很一般的一道題解,所以在高考出現(xiàn)了很多很多與典型空間模型相關(guān)的甚至很難的大型立體幾何題的時(shí)候,他們也感覺到上不去手.下面的例題在高考中學(xué)生做得并不順利,其原因就是典型的空間模型熟悉缺乏,利用典型的空間模型、熟悉幾何環(huán)境意識不夠.以下分幾局部進(jìn)行闡述一、長方體模型L長方體中是長方體的對角線,它有幾個(gè)結(jié)論：體對角線長是：BlD=yla2+b2+c2體的對角線與一個(gè)端點(diǎn)的三條棱所成的角分別為,那么cos2a+cos2p+cos2/=1考慮四面體B-GA

3、Q是對棱長分別相等的四面體,即Afi=DC.,BCX=DA.,DB=A.C,對棱長分別是ya24-Z?2,yjb14-C2,yjc1+CT.例1某四面體異面對棱的棱長分別相等,分別是,求四面體的體積.分析：做起來很簡單,只要把這個(gè)四面體嵌入到棱長分別為x.y,z的長方體中,),cr=廠+廠,如圖,由W=y'z2,把,),2加看作三個(gè)元,解這個(gè)三元方程組)22廠=z-+廠.得：個(gè)四面體的對棱長來表達(dá).四面的體積同k方體的體積k個(gè)三棱錐的體積所以v=x)-4x=；xyz=yj(a2+b2-c2)(b2+c2-a2)(a2+b2-c2).四面體中異面對棱長分別為a,b,c的四面體的體積的算法

4、嵌入法.這種方法叫做嵌入法,嵌入的意思就是把不容易找到體積的空間圖形放到能夠嵌住的一個(gè)大的長方體,而那個(gè)大的長方體的體積是股交好求的.這就是長方體模型的一個(gè)利用.例2如圖,三棱推P-ABC中,ZAPB=ZBPC=NCPA=90,河在A8C內(nèi),ZMPA=60,ZMPB=45,求尸C的度數(shù).分析：在三棱錐內(nèi)部嵌入一個(gè)長方體,長方體的三個(gè)面與三棱錐的三個(gè)面是吻合的,這樣PM是這個(gè)長方體的對角線,根據(jù)cos2NMPB+cos2NMPC+cos2NMPA=l,可得cos2ZMPC=-,從而NMPC=60.女口果在圖中隨4便連MC,解MPC那恐怕不是好方法.這說明思路不同常常造成解題繁簡相差是很大的.我們

5、這個(gè)題比較成功的是把長方體嵌到三棱錐里面去,而這個(gè)三棱錐是一個(gè)大長方體的一個(gè)角,以PM為對角線的長方體嵌到三棱錐尸-ABC是完全可能的.例3四棱錐P-A8C.中,A88是尸代、矩形,AB=4,BC=12,PAJ_jffAB%=3,求/PC與BD的成角的余弦值.'/解：延長AB到E,使AB=BE,連結(jié)EP、ECR/尸AE中,PE2=PA2+AE2=32+82=73MCBE中CE2=BC1+BE2=122+42=160p在PCE中,cosZPCE=/PC2+CE2-PE?_169+160-73_16M卜,2PCPE2x13x471065-/一一所以PC與BD成角的余弦值為雪.65點(diǎn)評:長方

6、體模型對于確立VCE起了很大的作用.在三棱錐P-ABCPA±PB,PB±PC,PC_LPA二、長方體的一角模型PA=a,PB=b,PC=c.以P為公共點(diǎn)的三個(gè)面兩兩垂直;ABC是銳角三角形證實(shí)：®PA.=a,PB=/?,PC=cABC中4_A夕+AC2-BC2_(/+圖+面+°2)_砂+/)一一22=)所以4為銳角,同理N8,“也為銳角.P在底面ABC的射影是ABC的垂心三棱錐P-A6c的高fabch=,-4a2b2+Z?2c+c2a2設(shè)直線AH交BC于D點(diǎn),由于H點(diǎn)一定在ABC內(nèi)部,所以D點(diǎn)一定在BC上,連結(jié)PD.在AD中,PH=L-L瓜I2,z詼2y

7、/a2b2+b2c2+c2a2這個(gè)結(jié)果也可以這樣說：如果在三棱錐尸-"C中,在底面上作ADL3C于D,連結(jié)PD,那么PD±0c.或者說：作尸._LBC,連結(jié)AD,那么AD±8C.這將來對二面角的平面角有好的影響.二面角P8C4,PCA8,尸一ABC的平面角分另U是ajb2+c2bja2+c2c>Ja2+b2arctan,arctan,arctan.beacab體積：V=2加;它的外接球直徑是蛆+/+1.O例4、四棱推E-A3C.中,底面A8C.是邊長為VI的正方形,EALABCD,EA=,求A-£>£-3的大小.分析：考慮三棱錐A-

8、瓦出,它就是模型2長方體的一個(gè)角.本來我們可以利用arctan,這兒只要過A作AF±DE,連結(jié)BF,于是8F_LOE.那么ZAF3就是二面角A-DE-B的平面角,只要把這個(gè)角算出就行.首先3AF是直角三角形,原因是NBA歹是直角.在RtBAF中pZBFA=arctan-=arctan=arctanJ3AF15/2MW所以ZBFA=60.我們看到象例4這樣本來是高考中大題目,可是抓到了長方體一角,做起來就變得很輕松了.例5、直二面角.-中,ABCD是邊長為2的正方形見圖AE=BE,F為CE上的點(diǎn),BF±®ACE,求D至I面ACE的距離.分析這是一道高考中的大題,由于

9、D-AB-E是直二面角,BC±面ABE,當(dāng)然面ABCD±®ABE,又由于ABCD是正方形,BC要垂直于面ABE.在ABE中,AE就是面內(nèi)的一條線,而BE就是BF在該面內(nèi)的射影,而AE是垂直于BF,這是由于BF垂直面ACE的,所以AE是垂直于面ACE的所以AE垂直于BF,又有AE=BE,所以3BE是等腰直角三角形.這一小段是熟悉幾何環(huán)境的過程.圖形中特殊的位置關(guān)系約束ABE的形狀.補(bǔ)充圖形,在正方體A8CD-48cA看問題.在這里看直二面角的局部圖形.問題就轉(zhuǎn)化為求D到面ACE的距離,就是求O點(diǎn)到面ABiC的距離.由于.,B到面ACBi的距離相等,所以只須求B到面A

10、CBi的距離即可,考慮三棱錐B-ACBi,它是模型2.BC=BA=BB=2,.*.BF='2=J2x33所以,D到面ACE的距離為生.點(diǎn)評：比起高考評分標(biāo)準(zhǔn)給的答案月陵簡單得多了這兒要注意:一個(gè)是把局部的直二面角根據(jù)它的AEB是以E為直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的圖形特征,補(bǔ)足正方體,這就是一種擴(kuò)大的幾何環(huán)境,而正方體也就是長方體模型,另一方面又抓到這正方體的一個(gè)角B-ACBi,那么這個(gè)角的模型更高,這就使我們在運(yùn)算過程中得以簡化.所以說一道看起來很復(fù)雜的幾何題,用典型幾何模型做就顯得輕例6底面為ABCD的長方體被B松.截面AECiF所截,AB=4,BC=2,CC1=3,BE

11、=1見圖,求C點(diǎn)至I面AEC1F的距離.分析：這也是一道高考題,在評分標(biāo)準(zhǔn)中給出了很多的輔助線.現(xiàn)在我們用典型的空間模型,再對這道題解解看.解：延長CiE,交CB的延長線于M,延長CD,交CiF延長線于N,C-CiNM是模型2.由于丹=衿1=2=3日工田CNC.CCN3c-同理,=«N=12.所以,C到面C1MN的距離為CN-CDDFCN-423x3x12_4>/33點(diǎn)評：利用模型解法比高測試卷評分79x9+9x144+9x14411標(biāo)準(zhǔn)中答案要簡單得多.三、公式cos6=cosqcos6、的幾何模型PA_L平面a,PB是a的斜線,BeaAB是PB在.內(nèi)的射影,BC是.內(nèi)一條直

12、線NPBC=0,NPBA=6,ZABC=%,貝!J有cos0=cos*cos.大家要注意搞清楚那個(gè)是8,那個(gè)是a,那個(gè)是4,實(shí)際上只要搞清那個(gè)是8,另外兩個(gè)就是a0.內(nèi)的直線不一定過B,如右圖所示：在直線AB上有一點(diǎn)D,過D在.畫一直線DC,那么夕是直線PB與DC所成的角,/PBA=ZADC=6、,貝11cos0=cos*,cos6、那么這樣的有可能利用這樣的模型計(jì)算出異面直線成角.PB和DC的成角.例7EA,面ABCD,ABCD是邊長為近的正方形,EA=1,在AC上是否存在P點(diǎn),使PE、BC成6.角.eDB/EPA=q分析：ZAPM=%4EPM=0cosZ.EPA-cosZAPM=cosAE

13、PM即無、所以AP=1=,AC.2Jl+AP?22可見AC中點(diǎn)即是要找的點(diǎn)P例8長方體中,AB=2,AAi=1,BD與面AAiBiB成30.角.AEJLBD于E,F為AiBi的中點(diǎn),求AE,BF成角.所以AE,BF成角為arccos走.4cos0=cosa-cos2=cos45cos90一30這樣的一個(gè)題目,最重要的是位.在高考評分標(biāo)準(zhǔn)中,都要有很長的解題過程中.這尊吉論在高考中,教材中有的可以直接用,有的可以先用,然后把結(jié)論來源說明.這樣可以減少思考的時(shí)間與計(jì)算量.這就相當(dāng)于電腦中的集成塊一樣,減少空間.LL!、正四面體正四面體如同平面幾何中的正三角形,是立體幾何中最常見的根底四面體,特別在

14、多球問題中有廣泛的應(yīng)用.正四面體的主要數(shù)量特征都集中在它的對稱面上.如圖,正四面體A-BCD,EsF分別是對棱BC、AD的中點(diǎn),AED是它的對稱面,假設(shè)正四面體的棱長為1,通過解4AED,可得它的對棱距離"=4,高4G=更,內(nèi)切球半徑-率=噌,外接球乙JI,14的挈如竿邛,外表積為近,體積為浮相鄰面所成的角的平面角為ZAEOnarccos1,側(cè)棱與底面成的角為NAOE=arccosC.13D.12例1如圖,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長為1的正方形,HMDE.BCF均為正三角形,EF/AB,EF=2,那么該多面體的體積為分析：多面體ABCDEF是由一個(gè)側(cè)面為正方形ABCD

15、的正三棱柱,與一個(gè)邊長為1的正四面體組合而成.這個(gè)正三棱柱的側(cè)棱與對面的距離即EF與面ABCD的距離等于正四面體的對棱距離,因此它的體積為v=xix無+走=走,應(yīng)選A.22123例2將半徑都為1的4個(gè)小球完全裝入正四面體的容器里,這個(gè)正四面體高的最小值為()A.E+2瓜B.2+亞C.4+迎D.4#+2#3333分析：這四個(gè)小球放入后,它們的球心也形成了一個(gè)邊長為2的正四面體,這個(gè)四面體與正四面體容器有公共的中央(內(nèi)切球與外接球的公共球心),中央到各個(gè)面的距離是它的半徑,而中央到兩個(gè)正四面體的對應(yīng)面的距離相差1,假設(shè)四面體的邊長為2,對應(yīng)這個(gè)距離為2x*=9,容器的中央到面的距離為夠+1,那么容

16、器的高是它的1266四倍,故應(yīng)選C.五、雙垂四面體如圖3,四面體A-BCD,人8_1面BCD,CD_L面BCA,這種四面體構(gòu)成許多簡單多面體的根本圖形,不妨稱為雙垂四面體,主要性質(zhì)：(1)它的四個(gè)面都是直角三角形；圖3(3)以BD、BC和AC為棱的二面角都是直二面角,以AB、BC為棱的二面角的平面角,分另！J是NO8C與ZAC8；(2)cosZADC=cosZADB-cosABDC；(4)以AD為棱的二面角為e,那么ACBD(5)對棱AB與CD垂直,且BC是它們的公垂線；(6)對棱AD與BC為異面直線,它們夾角為a,貝！JcosaAD例3如圖4,ABCD是上下底長分別為2和6,高為6的等腰梯形

17、,將它沿對稱軸OOi拆成直二面角,如圖5.(1)證實(shí)：人(：,801；(2)求二面角0-AC-01的大小.解：(1)略(2).平面/OOi_L平面二.AO平面OOiC,同理COi_L平面AOOy,四面體AOOiC是一個(gè)雙垂四面體,假設(shè)二面角.ACOi的平面角為e,貝卜3.=答與,根據(jù)條件,從圖5OC-AO.中可知AO=3,0C2,aq=2/,COi=1,即可自得cos.=.例4如圖6,直二面角DABE中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,F為CE上的點(diǎn),且BFjl平面ACE.(1)求證：AE_L平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的大?。?3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離.分析：當(dāng)(

18、1)證實(shí)后,我們很容易識別四面體A-EBC是一個(gè)雙垂四面體,假設(shè)二面角B-AC-E的平面角為e,那么cosO=凄及,ABCE由條彳牛可以計(jì)算出AB=CB=2,AE=四,CE=y/6,/.=arccos.3值得注意的是此題的(3)并不需要用等積變換,根據(jù)平面斜線上兩點(diǎn)到平面的距離等于它們的斜線長的比,點(diǎn)D到平面ACE的距離等于B點(diǎn)到平面ACE的距離,也就是線段BF的長為EBBC_2yf2_2y/3ECV6"-3-利用典型立體幾何模型解高考題：1、(本小題共14分)如圖3目標(biāo),在四面體PABC中,0A=8C=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2a/34.尸是線段尸8上一點(diǎn),CF=&l

19、t;34,點(diǎn)E在線段A8上,SlEF±PB.(I)證實(shí)：尸8_L平面CE產(chǎn)；(II)求二面角的大小.【答案】：(I)證實(shí)：在AABC中.AC=8,A8=10,8C=6,.AC2+BC2=AB.PAC是以/PAC為直角的直角三角形,同理可證,SAB是以nPAB為直角的直角三角形,PCB是以nPCB為直角的直角三角形.在MAPC3中,.,PC=10,BC=6,PB=2a/34,CF=11v/34,:.PCBC=PBCF,/.PB1CF,又'：EFVPB.EFCF=F,/.PB±¥ffiCEF.(n)由(I)知PB_lCE,PA,平面ABC/.AB是PB在平面A

20、BC上的射影,故AB±CE,CE,平面PAB,而EFu平面PAB,.EF±EC/故/FEB是二面角BCEF的平面角,/"ABEFB/.tan/FEB=cotZPBA="=W=2,AP63一面角BCEF的大小為arctan?.2、(本小題總分值13分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PD±底面ABCD玉是AB上一點(diǎn),PE_lEC.已知PD=技co=2,4石=L求2(I)異面直線PD與EC的距離;(n)二面角EPCD的大小.(I)因PDJL底面,故PD,DE,又因EC_LPE,且DE是PE在面ABCD內(nèi)的射影,由三垂直線定理的逆定理知EC±DEZ因此DE是異面直線PD與EC的公垂線.設(shè)DE=x,因aDAEiCED,故二=2,即/=1,±1(負(fù)根舍去).AEx從而DE=1,即異面直線PD與EC的距離為1.(n)過£作EG_lCD交CD于G,作GH,PC交PC于H,連接EH.因PD_L底面,故PD±EG,從而£6,面PCD.因GH_LPC,且GH是EH在面PDC內(nèi)的射影,由三垂線定理知EHJLPC.因此nEHG為二面角的平面角.在面PDC中,PD=V2,CD=2,GC=2=222因WDJGHC,故gh=p