拋物樣條曲線的原理說明

1、拋物樣條曲線的原理說明及拋物曲線程序說明假如我們采用矢量表達式來表示參數(shù)化的二次曲線， 那么可以把拋物線的表達式寫成如下的一般形式：P(t)=A 1+ A 2t+ A 3t2(0=<t<=1)該拋物線過P1, P2, P3 三個點，并且：1. 拋物線以 P1 點為始點。當參變量 t=0 時，曲線過 P1 點；2. 拋物線以 P3 點為終點。當參變量 t=0 時，曲線過 P3 點；3. 當參變量 t=0.5 時，曲線過 P2 點 ,且切矢量等于 P3 P1。t=0: P(0)= A 1= P1t=1: P(1)= A 1 + A 2+ A 3=P3t=0.5:P(0.5)= A 1

2、+ 0.5A 2 +0.25 A 3=P2通過解聯(lián)立方程，得到三個參數(shù)A1 、 A 2、 A3分別為：A1=P1A 2=4 P 2 P3 3P1A 3=2P1+2P3 4P2把求出的這三個系數(shù)的值，代入拋物線的表達式P(t)=A 1 23t2+ A t+ A得： P(t)= （2t3t+1） P1 +(4t 4t2)P2+(4t2 t)P3(0=<t<=1)設有一離散型值點列Pi（ i=1,2, ,n） ,每經(jīng)過相鄰三點作一段拋物線，由于有n個型值點，所以可以做n-2 條拋物線段。在這 n 2 條拋物線段中， 第 i 條拋物線段為經(jīng)過 Pi, Pi+1 , Pi+2三點，所以它的表

3、達式應為： Si(ti)=（ 2t2i 3ti+1 ） Pi +(4 t i 4 t2i) Pi+1+(2t 2i ti) Pi+2(0=< t i <=1)同理，第 i+1 條拋物線段為經(jīng)過 P,P ,Pi+3三點，所以它的表達式應為： S (ti+1)=i+1i+2i+1（2t22+(2t2(0=< t i+1 <=1)i+1 3ti+1 +1）Pi+1 +(4 t i+1 4 ti+1 ) Pi+2i+1 ti+1 ) Pi+3一般來說， 每兩段曲線之間的搭接區(qū)間，兩條拋物線是不可能重合的。 如下圖所示：Si+1SiPi+1Pi+2Pi+3Pi顯然，對于擬合曲線來

4、說，整個型值點必須只能用一條光滑的曲線連接起來。為了做到這一點，必須找一種方法把 Si 和 Si+1 這樣的曲線段的共同區(qū)間結(jié)合起來。這種方法就是加權合成方法。我們設共同區(qū)間的函數(shù)是 Pi+1 (t)=f (T ) S i(t i)+g ( T) S i+1 (t i+1 ). 其中 f (T ) 和 g ( T) 是權函數(shù)。在拋物樣條曲線中我們?nèi)『唵蔚囊淮魏瘮?shù)為權函數(shù)，且具有互補性，設f (T ) =1 Tg ( T) =T這樣 Pi+1 (t)= (1 T ) Si(t i)+ T S i+1 (t i+1 ).因為 函數(shù)中有 T 、 ti 和 ti+1 三個參數(shù)，因此接下來我們的工作是統(tǒng)

5、一參數(shù)。我們可以三個參變量統(tǒng)一形式為：T=2tti=0.5+tti+1 =t這樣 Pi+1(t)=（ 2t3 2 t） Pi+(12t3 410t2i+132i+23 2t2i+3+4t+1)P+( 12t +8t +t) P+(4t)P(0=< t i <=0.5)從幾何意義上說，函數(shù)P (t)表示的上圖的點P ,到 P 之間的線段。但是我們應該看i+1i+1i+2到這種方法從n 個點中只能得到n 3 段曲線。 但是 n 個型值點應有n1 段曲線。 一個直接的想法是添加兩個輔助點。那么如何添加呢？方法一：兩個輔助點為P0和 Pn+1, P0=P1， Pn+1 = Pn ,這樣畫出的曲線為一條不閉合的自由曲線。方法二：添加三個輔助點，P0、 Pn+1 和 Pn+2 ，然后 P0=Pn ，Pn+1= P1,，Pn+2 = P2,這樣畫出的曲線為一條閉合的曲線。拋物曲線程序說明：這個程序主要是通過新建一個class CParspl 來實現(xiàn)的，即將存貯控制點，畫 自由 端拋 物 曲線 以 及 封閉 拋 物 曲線 都 封裝 在這 個類 里 。 在 class CCurve2View 主要實現(xiàn)設置線型、線寬和線色以及客戶區(qū)的一下操作。當然這個程序還有改進的空間， 比如我在 class CParspl 已經(jīng)有了一個序列化函數(shù)，但是還沒有實現(xiàn)