因式分解分組分解法教師版

1、分組分解法內(nèi)容分析分組分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的最后一 種基本的因式分解方法.分組分解法并不是一種獨立的因式分解的方法，通過對多項式進行適當?shù)姆纸M，把多項式轉(zhuǎn)化為可以應(yīng)用基本方法分解的結(jié)構(gòu)形式， 使 之具有公因式，或者符合公式的特點等，從而達到可以利用基本方法進行分解因 式的目的.我們有目的地將多項式的某些項組成一組， 從局部考慮，使每組能夠 分解，從而達到整個多項式因式分解的目的.知識結(jié)構(gòu)因式分解如何將多項式 am +an +bm +bn因式分解？分析：很顯然，多項式 am+an+bm+bn中既沒有公因式，也不好用公式法.怎么辦呢？ 由于 am an =a m

2、n ,bm bn =b m n而：a (m +n )+b (m +n )=(m +n ( a +b 1 這樣就有：am an bm bn = am an 、bm bn =a(m n) b(m n) = m n a b將一個多項式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法.說明：如果把一個多項式的項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式.例題解析【例1】因式分解：2，一ax - by -bx + ay .(1) a ab+acbc ;(2)【難度】【答案】(1) (a+c)(ab); (2) (x+y)(a_b)

3、.【解析】(1)原式=a(a b)+c(a b) = (a+c)(a b);(2)原式=a(x +y) -b(x +y) =(x +y)(a -b).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【例2】分解因式：x3 +bx2 +ax +ab .【難度】【答案】(x +b)(x2 +a).【解析】原式=x2(x b) a(x b)=(x +b)(x2 +a).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【例3】分解因式：acx3+bcx2+adx+bd .【難度】【答案】(ax +b)(cx2 +d).【解析】原式 =cx2(ax b) d(ax b)2=(ax+b)(

4、cx +d).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【例4】分解因式：abx2 +bxy -axy y2 .【難度】【答案】(ax+y)(bx _y).【解析】原式=bx(ax y) -y(ax y)=(ax +y)(bx -y).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.例 5分解因式：2ax -10ay +5by -bx .【難度】【答案】(2a -b)(x-5y).【解析】原式=2a(x -5y) -b(x -5y)=(2a b)(x 5y).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力，注意符號的變化.【例6】因式分解：6k2 -6mn +9k

5、m -4kn .【難度】【答案】(3k -2n)(2k +3m).【解析】原式 =3k(2k 3m) -2n(2k 3m)=(3k 2n)(2k +3m).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【例7】 分解因式：32ac2+15cx2 48ax2 10c3.【難度】【答案】(2 c2 3x2)(16a5c).【解析】原式二16a(2c2 -3x2) -5c(2c2 -3x2) _ 22=(2c -3x )(16a -5c).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力，注意符號的變化.【例8】分解因式：ac2 +bd2 _ad2 _bc2.【難度】【答案】(c _

6、d)(c+d)(a b).【解析】原式=a(c2 -d2) b(d2 -c2)= (c2 -d2)(a -b)=(c -d )(c +d )(a -b).【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及平方差公式的運用，注意分解要徹底.【例9】分解因式：x2 +ax2 +x +ax -1 -a .【難度】2【答案】(1十a(chǎn))(x +x-1).【解析】原式=x2(1 a) x(1 a) -(1 a)2=(1 +a)(x +x -1).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.432【例10】 分斛因式：x +x +x -1 .【難度】【答案】(x+1)(x3 蟲)=(x+1)2(x2-x+1).【

7、解析】原式=x3(x 1) (x 1)=(x+1)(x3 +1)(未學(xué)過立方和的分解到這一步就可以)(x 1)2(x2 -x 1)【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【例11】 分解因式：a2b2 _a2 _b2 +1 .【難度】【答案】(a 1)(a + 1)(b 1)(b +1).【解析】原式=a2(b2 -1) -(b2 -1) 22=(a -1)(b -1) =(a -1)(a 1)(b -1)(b 1)【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及平方差公式的運用，注意分解要徹底.【例12】分解因式：a2b2 -a2 b2 2ab .【難度】【答案】(ab -a -b)(ab

8、+a +b).【解析】原式=a2b2 -(a2 b2 2ab) =a2b2 -(a b)2= (ab -a -b)(ab a b)【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及乘法公式的運用.【例13】分解因式:2n n 14m 12m x x y y93【難度】n 1 2m n 1 2m【答案】(x +- y )(x - y +1).33解析原式=x2ny4m (xn 1y2m) 93/ n二(x1 2m n-y )(x 31 2m n 1 2m、-y ) (x y )33n=(x一1 2m n-y )(x31 2m一 3y M)【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及平方差公式的運用，注意對字母指數(shù)的準確理解.

9、【例14】 分解因式：x(x+z)_y(y+z j.【難度】【答案】(x y)(x + y +z).【解析】原式 =x 整理，得：k +3k -18 =0 ,即(k +6)(k -3) =0 .k 之0 , . k =3 . ，這三個連續(xù)奇數(shù)為 7、9、11. +xzy2 _yz=x2 -y2 +z(xy) = (x y)(x+y +z).【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及平方差公式的運用，當不能直接分解時，要利用乘法公式展開后再進行分組.【例1【點評】如何設(shè)三個連續(xù)奇數(shù)是難點，然后完全平方公式的分解化為一元二次方程即可，再利用因式分解的思路求出方程的解.】分解因式：ab(x2+1 )+x(a2

10、+b2 ).【難度】【答案】(ax +b)(bx +a).【解析】原式 =abx2 +ab +a2x 鄧2x =ax(bx +a) +b (a +bx) = (ax +b)(bx +a).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力，注意先拆再重新分組.【例16】因式分解：(x2 +x *x +x -3)+2.【難度】2【答案】(x 2)(x -1)(x x -1)【解析】原式 =(x2+x)23(x2+x)+2 =(x2+x)2( x2+x)1 =(x+2)(x1)(x2+ x1).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及十字相乘方法的運用能力，注意先拆再重新分組.【例17】已知三個

11、連續(xù)奇數(shù)的平方和為251,求這三個奇數(shù).【難度】【答案】7、9、11.【解析】設(shè)三個連續(xù)奇數(shù)最小的為2k +1(k至0)且k為整數(shù)，則由題意可得：222222(2k+1)+(2k+3) +(2k+5)=251,即 4k 七k 七%k 22k94k2)2k21 =【例18已知：a=1x+20, b=1x+19, c=x+21 , 202020求：a2 b2 c2 -ab -bc -ac的值.【難度】【答案】3.【解析】由a2 b2 c2 -ab -bc - ac ,可得：2.221222a b c -ab-bc-ac = (2a 2b 2c -2ab -2bc -2ac)21222= 2(a-b

12、) (b -c) (a -c)把已知代入，可得：a2 +b2 +c2 -ab-bc-ac =1 m(1 +4+1) = 3 .【點評】主要利用系數(shù)乘以2后得到的三組完全平方公式，此類題目具有一般性.+ 2ac .證明:c最大,【例19】 已知三條線段長分別為 a、b、c其中a cb <c,且滿足a2 +c2 <b2 以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形.【難度】【答案】見【解析】.【解析】: a2 +c2 -2ac <b2 ,即（a -c）2 <b2 .c -a <b ,c <a + b ,又可得以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形.【點評】考查學(xué)生對于構(gòu)成三角形的條件

13、判定，以及運用因式分解求解不等式的能力.【例20】 求方程xy =xy的整數(shù)解.【解析】由方程可得 x -y =xy , x(1 - y) = y ,所以x =y = -1 +1 , 1-y 1 -yx、y 均為整數(shù)，1y=±1,產(chǎn)=00=0y2 =2x2 - -2注意對方【點評】本題綜合性較強，主要考查利用因式分解求解方程以及如何去求整數(shù)解, 法的總結(jié).隨堂檢測【習(xí)題1】因式分解：(1) ac+bc+3a+3b;(2) xy_x_y+1、【難度】【答案】(1) (a+b)(c+3); (2) (x1)(y1).【解析】(1)原式=c(a+b)+3(a+b) =(a+b)(c+3);

14、(2)原式=x(y 1) _(y -1) =(x 1)(y -1).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【習(xí)題2 分解因式：x4 +x3 +x2 +x .【難度】【答案】x(x2 +1)(x +1).【解析】原式 =x3(x+1)+x(x+1) = x(x2+1)(x+1).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【習(xí)題3】 分解因式：a2 +2ab -ac -2bc .【難度】【答案】(a -c)(a +2b).【解析】原式 =a(a -c) +2b(a -c) =(a -c)(a +2b).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【習(xí)題4

15、】 分解因式：ax -ay +bx +cy -cx - by【難度】【答案】(a+b -c)(x-y).【解析】原式 =a(x -y) +b(x -y) +c(y -x) =(a +b -c)(x -y).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力，注意符號的變化.【習(xí)題5】 分解因式：7x2 3y+xy_21x .【難度】【答案】(7x +y)(x _3).【解析】原式 =7x( x _3) y(3 -x) =(7x +y)(x _3).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力，注意符號的變化.【習(xí)題6】 分解因式：6ax2 -9a2xy +2xy -3ay2.【難

16、度】【答案】(3ax+y)(2x-3ay).【解析】原式 =3ax(2x -3ay) +y(2x -3ay) =(3ax +y)(2x 3ay).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【習(xí)題7】分解因式：x2y2z2 -x2z -y2z +1.【難度】【答案】(y2z -1)(x2z -1).【解析】原式=x2z(y2z1)(y2z-1) =(y2z1)(x2z-1).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【習(xí)題8】 分解因式：x32x2 x十2十x52x4.【難度】【答案】(x-2)(x2 +x4 -1).【解析】原式=x2(x -2) -(x -2) +

17、x4(x -2) =(x 2)(x2 +x4 -1).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力，注意不要漏項.【習(xí)題9】因式分解：x2+2xy + y2_4.【難度】【答案】(x +y _2)(x +y +2).【解析】原式 =(x + y)2 一4 =(x+y2)(x+ y+2).【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及乘法公式的運用.【習(xí)題10】分解因式：x2 -x -9y2 -3y .【難度】【答案】(x +3y)(x3y -1).【解析】原式 =x2 -9y2 _(x +3y) =(x +3y)(x -3y) _(x +3y) =(x + 3y)(x -3y -1).【點評】考查

18、學(xué)生分組分解方法以及乘法公式的運用.【習(xí)題 11】8 -2x2 -2y2 -4xy .【難度】【答案】2(2 -x-y)(2 +x+y).【解析】原式 =24 -(x +y)2 =2(2 -x-y)(2 +x + y).【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及乘法公式的運用，第一步先提取公因式很重要.【習(xí)題12】 分解因式：x26xy-2x+6y+9y2【難度】【答案】(x -3y)(x -3y -2).【解析】原式 =(x2 -6xy 9y2) -2(x-3y)2=(x -3y)2 -2(x-3y)-(x -3y)(x -3y - 2)【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及乘法公式的運用.【習(xí)題13】 分

19、解因式：_1_2x_x222【習(xí)題 16】 分斛因式：(a+b ) +(a +c ) _(c+d ) _(b+d ).【難度】【答案】2(a d)(a+b+c+d).【解析】原式=(a b)2 -b d)2 (a c)2 -(c d)2+y2.【難度】【答案】(y -1 -x)(y+1 +x).【解析】原式 =-(1+2x+x2)+y2 =y2 _(1+x)2 =(y1 x)(y+1+x).【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及乘法公式的運用.【習(xí)題14】分解因式：a2+2ab+b2_2a _2b_3.【難度】【答案】(a +b 3)(a十b+1).【解析】原式 =(a +b)2 2(a +b) -

20、3 =(a +b 3)(a +b +1).【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及乘法公式的運用.【習(xí)題15】分解因式：x(x -1 p -2 )-6 .【難度】2【答案】(x +2)(x -3).【解析】原式 =x二(a b-b-d)(a b b d) (a c-c-d)(a c c d) 二(a -d)(a 2b d) (a -d)(a 2c d) =(a -d)(2a 2b 2c 2d) = 2(a -d)(a b c d)【點評】考查學(xué)生分組分解方法以及平方差公式的運用, 徹底. -3x2+2x-6 = x2(x-3)+2(x-3)=(x2+2)(x-3).注意先拆再重新分組，分解一定要【點評

21、】考查學(xué)生分組分解方法的運用，注意先拆再重新分組.【習(xí)題 17 已知：x2+10xy+25y21 =0 ,化簡：x3+5x2y+x2.【難度】【答案】?；?x2.【解析】由 x2 +10xy+25y21 =0 ,可得：(x+5y)21=0, ，x+5y = ±1.1 x3 +5x2y +x2 =x2(x+5y +1) , . . x3+5x2y+x2 的值為 0 或 2x2 .【點評】本題主要考查利用因式分解求解方程，以及利用整體代入進行求值的思想.【習(xí)題18】把多項式2a(a2 +a +1 )+a4 +a2 +1分解因式，所得的結(jié)果為(2222A . (a +a -1 )B. (a

22、 a +1 )/22_22C. (a +a+1)D. (a a1)【難度】【答案】C【解析】2a a2 a，1a4 a2 13242= 2a3 2a2 2a - a4 a2 1=a2(a2 2a 1) 2a2 2a 1 222二(a a) 2(a a) 1= (a2 a 1)2【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用，注意先拆再重新分組.【習(xí)題19】因式分解：x2 2x+8y 16y2.【難度】【答案】(x -4y)(x +4y -2). 22【斛析】原式 =x -2x 1 -1，8y-16y二(x -1)2 -(1 -4y)2=(x -1 1 -4y)(x -1 -1 4y)=(x -4y)(x

23、4y -2)【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及如何添項湊完全平方公式.【習(xí)題20】因式分解：x222222222=a (b -c ) -d (b -c ) =(b -c )(a -d ),再把a2 +b2 =1, c2 +d2 =1代入，可得：(b2 -c2)(a2 -d2) =(1 -a2 -1 +d2)(a2 -d2) =-(a2 -d2)2,222 2222 2. (ab+cd) =-(a -d ) , /. (ab+cd) +(a -d ) =0,可得 ab +cd =0 .【點評】本題綜合性較強，主要考查學(xué)生如何通過代數(shù)式等式，利用完全平方公式和因式分解以及非負性求解代數(shù)式的值.

24、 一y2 +2x +4y 一3 .【難度】【答案】(x _y+3)(x+y _1).【解析】原式=x2，2x T - (y2 -4y-4)=(x 1)2 (y 2)2=(x 1 -y 2)(x 1 y -2)二(x -y - 3)(x y -1)【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及如何添項湊完全平方公式.【習(xí)題 21 已知：a2 +b2 =1 , c2 +d2 =1 ,且 ac +bd = 0 ,求 ab +cd 的值.【難度】【答案】0.【解析】由(ac+bd)2 =a2c2+2abcd +b2d2 =0,得 2abcd =-a2c2b2d2 ,22, 22 ,22, 22 2 .2,22

25、,2代人(ab cd) =a b 2abcd c d =ab-ac-bd c d課后作業(yè)【作業(yè)1】因式分解：2(1) a _ax _b+bx ;(2) xy-y -yz + xz .【難度】【答案】(1) (ab)(1_x);(xy)(y+z).【解析】(1)原式=(ab) _x(a _b) =(a _b)(1 _x)；(2)原式=y(xy)z(y x) =(x y)(y+z).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【作業(yè)2 分解因式：x4 +x3y +xz3 +yz3.【難度】【答案】(x3+z3)(x+y).【解析】原式 =x3(x+y)+z3(x+y) =(x3+z3)(x+y).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【作業(yè)3】 分解因式：5x3 x15x2 +3 .【難度】【答案】(5x2 -1)(x -3).【解析】原式 =5x2(x -3) (x -3) =(5x2 1)(x -3).【點評】考查學(xué)生分組分解方法的運用以及提取公因式的能力.【作業(yè)4】 分解因式：5a2m -15am +3abm 9bm .【難度】【答案】m(5a +3b)(a -3).【解析】原式 =5am(a -3) +3b