排列組合中的分組分配問題

1、排列組合中的分組分配問題分組分配問題是排列組合教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。某些排列組合問題看似非分配問題，實(shí)際上可運(yùn)用分配問題的方法來解決。一、提出分組與分配問題，澄清模糊概念n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同得對(duì)象，稱為分配問題，分定向分配和不定向分配兩種問題；將n個(gè)不同元素按照某些條件分成k組，稱為分組問題.分組問題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的；而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的.對(duì)于后者必須先分組后排列。二、基本的分組問題例1六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同

2、的分配方法？(1)每組兩本.(2)一組一本，一組二本，一組三本.(3)一組四本，另外兩組各一本.分析：(1)分組與順序無關(guān)，是組合問題。分組數(shù)是C2C2C2=90(種)，這90種分組實(shí)際上重復(fù)了6次。我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個(gè)號(hào)碼，考察以下兩種分法：(1,2)(3,4)(5,6)與(3,4)(1,2)(5,6),由于書是均勻分組的，三組的本數(shù)一樣，又與順序無關(guān)，所以這兩種分法是同一種分法。以上的分組方法實(shí)際上加入了組的順序，因222此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)a3,所以分法是C6C4C2=15(種)。A3(2)先分組，方法是C6C2c3,那么還要不要除以

3、A3?我們發(fā)現(xiàn)，由于每組的書的本數(shù)是不一樣的，因此不會(huì)出現(xiàn)相同的分法，即共有C6C2C3=60(種)分法。(3)分組方法是C4c2c：=30(種)，那么其中有沒有重復(fù)的分法呢？我們發(fā)現(xiàn)，其中兩組的書的本數(shù)都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書的那一組，由于書的本數(shù)不一樣，411不可能重復(fù)。所以實(shí)際分法是C6c2c1=15(種)。A2通過以上三個(gè)小題的分析，我們可以得出分組問題的一般方法。結(jié)論1:一般地，n個(gè)不同的元素分成p組，各組內(nèi)元素?cái)?shù)目分別為m1,m2，一mp,其中k組內(nèi)元素?cái)?shù)目相等，那么分組方法數(shù)是pm1nm2n-m1mpmpkAk三、基本的分配的問題（一）定向分配問題例2六本不同的書

4、，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？（1）甲兩本、乙兩本、丙兩本.（2）甲一本、乙兩本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配給三人，每人分幾本是一定的，屬分配問題中的定向分配問題，由分布計(jì)數(shù)原理不難解出：分別有c2c4c2=90（種），dc2c3=6o（種），c4c2c1=30（種）。（二）不定向分配問題例3六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？（1）每人兩本.（2） 一人一本、一人兩本、一人三本（3） 一人四本、一人一本、一人一本.分析：此組題屬于分配中的不定向分配問題，是該類題中比較困難的問題。由于分配給三人，同

5、一本書給不同的人是不同的分法，所以是排列問題。實(shí)際上可看作“分為三組，再將這三組分給甲、乙、丙三人”，因此只要將分組方法數(shù)再乘以a3,即c2c3c2a3=90（種）,A3411cC16C2C3A3=360（種）cc2ca3=90（種）。A2結(jié)論2.一般地，如果把不同的元素分配給幾個(gè)不同對(duì)象，并且每個(gè)不同對(duì)象可接受的元素個(gè)數(shù)沒有限制，那么實(shí)際上是先分組后排列的問題，即分組方案數(shù)乘以不同對(duì)象數(shù)的全排列數(shù)。通過以上分析不難得出解不定向分配題的一般原則：先分組后排列。例4六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？分析：六本書和甲、乙、丙三人都有“歸宿”，即書要分完，人不能空手。因此

6、，考慮先分組，后排列。先分組，六本書怎么分為三組呢？有三類分法（1）每組兩本（2）分別為一本、二本、三本（3）兩組各一本，另一組四本。所以根據(jù)加法原理，分組法是222411c6c4c2+c6c2c3+c6c2c1=90（種）。再考慮排列，即再乘以a3。所以一共有540種不A3A2同的分法。四、分配問題的變形問題例5四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種?分析：恰有一個(gè)空盒，則另外三個(gè)盒子中小球數(shù)分別為1,1,2。實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為先將112四個(gè)不同的小球分為三組，兩組各1個(gè)，另一組2個(gè)，分組方法有C4c2c2（種），然后將這A2三組（即三個(gè)不同元素）分配給四

7、個(gè)小盒（不同對(duì)象）中的3個(gè)的排列問題，即共有112C4C2c2a4=144（種）。A2例6有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有多少種？分析：先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共112有C10c29c8（種）分法。再考慮排列，甲任務(wù)需2人承擔(dān)，因此2人的那個(gè)組只能承擔(dān)甲任A2112務(wù)，而一個(gè)人的兩組既可承擔(dān)乙任務(wù)又可承擔(dān)丙任務(wù)，所以共有C10c29c8A2=2520（種）A2不同的選法。例7設(shè)集合A=1,2,3,4,B=6,7,8,A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同的函數(shù)有多少個(gè)？分析：由于集合A為定義域，B為值域，即集合A、B中的每個(gè)元素都有“歸宿”，而集合B的每個(gè)元素接受集合A中對(duì)應(yīng)的元素的數(shù)目不限，所以此問題實(shí)際上還是分組后分配的問題。先考慮分組，集合A中4個(gè)元素分為三組，各組的元素?cái)?shù)目分別為1、1、2,則共112112有C4c3c2（種）分組方法。再考慮分配，即排列，再乘以a3,所以共有C4c2c2a3=36（個(gè)）A2A2不同的函數(shù)?？傊莆丈鲜鰞蓚€(gè)結(jié)論，就能順利解決任何分配問題