度量空間的定義與極限

1、第一章度量空間假設(shè)在實(shí)數(shù)集R中點(diǎn)列xn的極限是x時(shí),我們使用|xn_x|來(lái)表示xn和x的接近程度,事實(shí)上,|%_x|可表示為數(shù)軸上xn和x這兩點(diǎn)間的距離,那么實(shí)數(shù)集R中點(diǎn)列xn收斂于x也就是指xn和x之間的距離隨著nj9而趨于.,即limd(xn,x)=0.于是人們就想,n艾在一般的點(diǎn)集X中如果也有距離,那么在點(diǎn)集X中也可借這一距離來(lái)定義極限,而究竟什么是距離呢？或者說(shuō)距離的本質(zhì)是什么？詩(shī)人顧城的一首詩(shī)?遠(yuǎn)和近?對(duì)距離的感受又如何呢？遠(yuǎn)和近你一會(huì)看我一會(huì)看云我覺(jué)得你看我時(shí)很遠(yuǎn)你看云時(shí)很近這首詩(shī)詩(shī)似乎是純理性的,十分冷靜,但細(xì)細(xì)品味,其中暗暗催動(dòng)著一股熱流：呼喚一種相互理解、相互信任、和諧融洽的

2、人際關(guān)系.現(xiàn)實(shí)距離和心理距離并不總是一致的.現(xiàn)實(shí)距離很遠(yuǎn),但心理距離卻可能很近,海內(nèi)存知己,天涯假設(shè)比鄰,即是此意.也可能現(xiàn)實(shí)距離很近,而心理距離卻很遠(yuǎn),所謂咫尺天涯大概就是指此而言了.那么如何給出距離這一概念？1.1 度量空間的定義與極限1.1.1 度量空間的定義與舉例定義1.1.1設(shè)X為一非空集合.假設(shè)存在二元映射d:XMXtR,使得儀,y,zWX,土勻滿足以下三個(gè)條件：(1) d(x,y)0,且d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y(非負(fù)性Positivity);(2) d(x,y)=d(y,x)(對(duì)稱性Symmetry);(3)d(x,z),d(x,y)d(y,z)(三角不等式Triangle

3、inequality),那么稱d為X上的一個(gè)距離函數(shù),稱(X,d)為距離空間或度量空間(MetricSpaces),d(x,y)稱為x和y兩點(diǎn)間的距離*口注1：在不產(chǎn)生誤解時(shí),(X,d)可簡(jiǎn)記為X.下面我們來(lái)看一些具體的例子n例1.1.1歐氏空間R.設(shè)RnW(Xi,X2,|,xn)|xiER,i=1,2,|,n,定義d(x,y)=樞(x-y)2i土其中x=(為,x2,l|l,Xn),y=(y1,y2,lll,yn)WRn,可以驗(yàn)證(Rn,d)是一個(gè)度量空間.在證實(shí)之前,引入兩個(gè)重要的不等式.引理1.1.1(許瓦茲(Schwarz)不等式)任名2n個(gè)實(shí)數(shù)a1a,W,an,bhb2MI,bn,有n

4、nn二aib_(.1a2)2(.二bi2)2(1.1)i3i+izi證實(shí)任取實(shí)數(shù)九,那么由nnnn0：b2+27bzaib+a2ii工i工i工知右端二次三項(xiàng)式的判別式不大于零,Wn2nn-：=2abi一4,bi2L?a20,i4i1i1于是可得(1.1)式成立.口進(jìn)一步有H?lder不等式nnn、ab(-a丁biq“i二i工i工p,q為一對(duì)共軻數(shù).11,其中p,q21且+=1,稱這樣的兩個(gè)實(shí)數(shù)pq引理1.1.2閔可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式任名2n個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,|11問(wèn)及n,b2j|l,b,有證實(shí)n由(1.1)式得n(aib)2(za2j+份b2ITki(1.2)+b)2=

5、%a22%abi、bi2i1.i1.i2116a：2、a2i112+b2i1bnbi2i土這就證實(shí)了(1.2)式.進(jìn)一步可有Minkowski不等式的一般形式,其中k_1n-.k(.|aib)i19aik)kbj)例1.1.1歐氏空間Rn設(shè)Rn=(x1,x2,III,xn)阿WR,i=1,2,|,n,定義k之1d(x,y)=JE(x-y)2(1.3)其中x=(x1,x2,l|l,xn),y=(yi,y2,l|l,yn)wRn,可以驗(yàn)證(Rn,d)是一個(gè)距離函數(shù).證實(shí)非負(fù)性(1)和對(duì)稱性(2)顯然成立,下面僅驗(yàn)證(3)也成立.對(duì)于任意的z=(z1,z2,|,zn)WRn,由閔可夫斯基不等式(1.

6、2)有11色(x-z八=(x-y+y-z21王-y廣+11即d(x,z)1).設(shè)fWLpa,b,令A(yù)=E(|f|之1),B=E(|f|0,5NNN,當(dāng)nN時(shí),恒有d(xn,x)名成立.假設(shè)點(diǎn)列xn不收斂,那么稱其發(fā)散.口例1.1.7設(shè)X是實(shí)數(shù)集,數(shù)列xn=1(n=1,2,用),假設(shè)在X上定義歐氏距離nd(x,y)=|x_y|(x,y.X),顯然,數(shù)列xn在度量空間(X,d)中收斂于0.假設(shè)在X上定義離散距離0,x=y,do(x,y)(x,y-X),1,x=y那么數(shù)列xn在度量空間(X,d0)中是發(fā)散的.由于對(duì)任意給定的x0三X1一1n,所以無(wú)論n多么大,有1nim0,3NWN,當(dāng)n時(shí),有d(4

7、,x)d(xn,y),22故當(dāng)n時(shí),我們有d(x,y)0,3NN,Xnk%,X,%,|,|當(dāng)naN時(shí),有d(%,x)N,故d(xk,x)N時(shí),d(xn,x0)a0=1.取M=maxdMoXd,2X(0X,)洶x0ex,呵,dnN,d(Xn,)M,于是Vn,mNd(Xn,Xm)Wd(Xn,X0)十dX.)0,3NN,當(dāng)nN時(shí),有d(fn(x),f(x)(名.其中d(fn(x),f(x)w,等價(jià)于d(fn,f)=max|fn(x)f(x)|名進(jìn)一步等價(jià)于xa,bVxa,b,有|fn(x)_f(x)|0,3N三N,當(dāng)nN時(shí),VxWa,b,有|fn(x)-f(x)：憐,即fn(x)=f(x).口例1.1.9設(shè)d(x,y)是X上的一個(gè)距離,那么di(xy)=d(x,y)也是X上的距離.1d(x,y)證實(shí)顯然非負(fù)性和對(duì)稱性成立,下面僅證三角不等式.由于d(x,y)是X上的距離,所以Vx,y,zWX,有t._,、1一d(x,y)0)為單調(diào)遞增函數(shù),于是1t(1t)2d1(x,y)=衛(wèi)皿d(X,Z)d(z,y)(f(t)單調(diào)遞增