第一章概率論的基本概念3

1、 在解決許多概率問題時，往往需要在有某在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 條件概率的概念條件概率的概念如在事件如在事件B發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，將此概率記作將此概率記作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 31(|).3P B A 3111/ 4( ), (), (|)4433/ 4P AP ABP B A另外, 易知故有()(|)( )P ABP B AP A(5.1)例 將一枚硬幣拋擲兩次, 觀察其出現(xiàn)正反面的情況. 設(shè)事件A為“至少有一次為H”, 事件B為“兩次擲出同

2、一面”. 現(xiàn)在求已知事件A已經(jīng)發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率.P(A )=1/6，例例如如，擲一顆均勻骰子，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點，P(A|B)=？擲骰子擲骰子 已知事件已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是結(jié)果構(gòu)成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3個元素個元素,它們的出現(xiàn)是等它們的出現(xiàn)是等可能的可能的,其中只有其中只有1個在集個在集A中中.于于是是容易看到容易看到11 6()33 6( )P ABP BP(A|B)P(A )=3/10， 又如，又如，10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有7件正品，件正品，3件次品

3、，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 現(xiàn)從這現(xiàn)從這10件中任取件中任取一件，記一件，記 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)33 10()77 10( )P ABP B則則P(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，計算本例中，計算P(A)時，依據(jù)的時，依據(jù)的前提條件是前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比件產(chǎn)品中一等品的比例例. A=取到一等品取到一等品， 計算計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上時，這個前提條件未變，只是加上“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生”這個新的條件這個新的條件. 這好象給了我們一個這

4、好象給了我們一個“情報情報”，使我們得以在，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.2. 條件概率的定義條件概率的定義P(B|A)為為在在事事件件A發(fā)發(fā)生生的條件下的條件下,事事件件B的的條件概率條件概率./()(|)/( )kk nP ABP B Amm nP A 若事若事件件A已已發(fā)生發(fā)生, 則為則為使使B也也發(fā)生發(fā)生 , 試驗結(jié)果試驗結(jié)果必須是既在必須是既在 A 中又中又在在B中中的樣本點的樣本點 , 即此點必屬于即此點必屬于AB. 由于我們已經(jīng)知由于我們已經(jīng)知道道A已已發(fā)生發(fā)生, 故故A變變成了新的成了新的樣本空間樣本空間 , 于是于是 有有: SBAAB

5、/()(|)/( )kk nP ABP B Amm nP A3. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)(自行驗證自行驗證) | : PA條件概率具備概率定義的三個條件 1 : ,|0 ; B P B A 非負性 對于任意的事件 2 : |1 ; P S A 規(guī)范性 123 : , , B B 可列可加性 設(shè)是兩兩互斥事件 則有11iiiiPB AP B A . 性質(zhì)對條件概率都成立所以在第三節(jié)中證明的 2)從加入條件后改變了的情況去算從加入條件后改變了的情況去算 4. 條件概率的計算條件概率的計算1) 用定義計算用定義計算:()(|),( )P ABP A BP BP(B)0 擲骰子擲骰子例：例：A=

6、擲出擲出2 點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點P(A|B）=13B發(fā)生后的縮減發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣樣本空間所含樣本點總數(shù)本點總數(shù)在縮減樣本空在縮減樣本空間中間中A所含樣所含樣本點個數(shù)本點個數(shù) 例例 擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出已知第一顆擲出6點點,問問“擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1()(|)( )P ABP A BP B解法解法2 31(|)62P A B 解解 設(shè)設(shè)A=擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出第一顆擲出6點點應(yīng)用應(yīng)用 定義定義在在B發(fā)生后的縮減樣本發(fā)生后的縮減樣本空間中計算空間中計算3 3

7、616 362由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(B)0,則則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()(|)( )P ABP B AP A而而 P(AB)=P(BA)若已知若已知P(B), P(A|B)時時, 可以反求可以反求P(AB).將將A、B的位置對調(diào)，有的位置對調(diào)，有故故 P(A)0 , 則則 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,則則P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率注意注意P(AB)與與P(A | B)的區(qū)別！的區(qū)別！請看

8、下面的例子請看下面的例子 例例2 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中個零件，其中 300件是乙廠生產(chǎn)的件是乙廠生產(chǎn)的. 而在這而在這300個零件中，有個零件中，有189個是標(biāo)準(zhǔn)個是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問個零件中任取一個，問這個零件是乙這個零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？的概率是多少？所求為所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn)1000 個個189個個是是標(biāo)準(zhǔn)件標(biāo)準(zhǔn)件300個個乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)300個個乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)設(shè)設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)零件是乙廠生產(chǎn),A=是標(biāo)準(zhǔn)件是標(biāo)準(zhǔn)件所求為所求為P(AB) .設(shè)設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)

9、零件是乙廠生產(chǎn)A=是標(biāo)準(zhǔn)件是標(biāo)準(zhǔn)件若改為若改為“發(fā)現(xiàn)它是發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的乙廠生產(chǎn)的,問它問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B發(fā)生發(fā)生,在在P(AB)中作為結(jié)果中作為結(jié)果;在在P(A|B)中作為條件中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn)1000 個個189個個是是標(biāo)準(zhǔn)件標(biāo)準(zhǔn)件300個個乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn) 例例3 設(shè)某種動物由出生算起活到設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率為率為0.8，活到，活到25年以上的概率為年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年問現(xiàn)年20歲的歲的這種動物，它能活到這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？歲以上的概率是多少？解

10、解 設(shè)設(shè)A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依題意，依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為所求為 P(B|A) .()(|)( )P ABP B AP A( )0.40.5( )0.8P BP A條件概率條件概率P(A|B)與與P(A)的區(qū)別的區(qū)別 每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的 ,設(shè)設(shè)A是隨機試驗的一個事件，則是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下是在該試驗條件下事件事件A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小.P(A) 與與 P(A |B) 的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它它們是兩

11、個不同的概念們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同在數(shù)值上一般也不同. 而條件概率而條件概率 P(A|B) 是在原條件下又添加是在原條件下又添加 “B 發(fā)發(fā)生生 ” 這個條件時這個條件時A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小, 即即 P(A|B) 仍仍是概率是概率. .乘法定理可以推廣到多個事件的積事件的情況 , 0 , ABCP AB 設(shè) 、 、為三個事件 且則 |. P ABCP C AB P B A P A12 , , , ,2 , nnA AAn一般地 設(shè)有個事件并且1210 , , nP A AA則由條件概率的定義 可得 1212-1112-2|nnnnnP A AAP A A AAP

12、AA AA 312211|P AA AP AA P A乘法公式應(yīng)用舉例乘法公式應(yīng)用舉例 一個罐子中包含一個罐子中包含b個白球和個白球和r個紅球個紅球. 隨機地抽隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進 c 個與所抽出的球具有相同顏色的球個與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進行這種手續(xù)進行四次四次 ，試求第一、二次取到白球且第三、四次取，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率到紅球的概率. （波里亞罐子模型）（波里亞罐子模型）b個白球個白球, r個紅球個紅球于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第連續(xù)取四個球

13、，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球二個是白球，第三、四個是紅球. ” b個白球個白球, r個紅球個紅球 隨機取一個球，觀看顏色后放隨機取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進回罐中，并且再加進c個與所抽出個與所抽出的球具有相同顏色的球的球具有相同顏色的球. 解解 設(shè)設(shè) Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是紅球次取出是紅球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 當(dāng)當(dāng) c 0 時，由于每次取出球后會增加下一次也時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率取到同色球的概率. 這是一個這是一個傳染病模型傳染病模型. 每次發(fā)每次發(fā)

14、現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.23bbcrrcbr brc brc brc =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4) 一場精彩的足球賽將要舉行一場精彩的足球賽將要舉行, 5個個球迷好不容易才搞到一張入場券球迷好不容易才搞到一張入場券.大家大家都想去都想去,只好用抽簽的方法來解決只好用抽簽的方法來解決.入場入場券券5張同樣的卡片張同樣的卡片,只有一張上寫有只有一張上寫有“入場券入場券”,其余的什么也沒寫其余的什么也沒寫. 將它們放在一起將它們放在一起,洗勻洗勻,讓讓5個人依次抽取個人依次抽取.后

15、抽比先抽的確實吃虧嗎？后抽比先抽的確實吃虧嗎？ “先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大. ” 到底誰說的對呢？讓我們用概率到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下論的知識來計算一下,每個人抽到每個人抽到“入場券入場券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到按次序來，誰抽到入場券入場券的機會都的機會都一樣大一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大。先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大?！蔽覀冇梦覀冇肁i表示表示“第第i個人抽到入場券個人抽到入場券” i1,2,3,4,5.顯

16、然顯然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1個人抽到入場券的概率是個人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，也就是說，iA則則 表示表示“第第i個人未抽到入場券個人未抽到入場券”因為若第因為若第2個人抽到個人抽到了入場券，第了入場券，第1個人個人肯定沒抽到肯定沒抽到.也就是要想第也就是要想第2個人抽到入場券，必須第個人抽到入場券，必須第1個人未個人未抽到，抽到，2121()() (|)P AP A P AA212AA A由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5計算得：計算得：3123121312()()() (|) (|)P AP A A AP A P

17、AA P AA A 這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答. 同理，第同理，第3個人要抽到個人要抽到“入場券入場券”，必須第，必須第1、第第2個人都沒有抽到個人都沒有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到每個人抽到“入場券入場券” 的概率都是的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后抽簽不必爭先恐后.也就是說，也就是說，4 5 ,3 ,2 , 例設(shè)袋中有個紅球個黑球個白球 試按 1 ; 2 有放回抽樣不放回抽樣 兩種方式摸球三次 , . 每次摸得一球 求第三次才摸得白球的概率 解 1 有放回抽樣 ,A 設(shè)第一

18、次未摸得白球 ,B 第二次未摸得白球 . C 第三次摸得白球 則事件 第三次才摸得白球可表示為 .ABC P A8 ,10|P B A8 ,10|P C AB2 ,10 |P ABCP C AB P B A P A28810 10 1016 . 125 2 無放回抽樣 P A8 ,10|P B A7 ,9|P C AB2 ,8 |P ABCP C AB P B A P A2 788 9 107 . 456 , 例設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡 第一次落下時1 , , 2打破的概率為若第一次落下未打破 第二次落下7 , , 10打破的概率是若前兩次未打破第三次落下打9 , . 10破的概率是試求透鏡落

19、下三次未打破的概率 解 ,1,2,3 ,iAii設(shè)透鏡第次落下打破 , B 透鏡落下三次未打破則123 . BA A A 123P BP A A A 121312|P A P A A P A A A179111210103 . 200 , 1 . P BP BP BP B 本題也可以先求再由求得 由于112123 , BAA AA A A112123 , A A A A A A并且 , 為兩兩不相容事件 故有 112123P BP AA AA A A112123P AP A AP A A A 1211213121|2P A P A AP A P A A P A A A117179197111

20、. 221021010200 1973 11 . 200200P BP B 所以7 1995 A 例抓鬮問題年全國足球甲聯(lián)賽的最后 , 一輪 四川全興隊與解放軍八一隊的比賽在成都市 , 進行 這場比賽是關(guān)系到四川全興隊是否降級的命 , , 30 運之戰(zhàn) 肯定會異常精彩 可西南交大某班位同學(xué) , , 僅購得一張票 大家都想去看 只好采取抓鬮的辦 , . , 法抽簽決定 每個人都爭先恐后地抽取 試問 每人抽 ? 得此票的機會是否均等 解 ,1,2,30 , iAii設(shè)第個人抽得球票則1P A130 第一個人抽得球票的概率為 第二個人抽得球票的概率為212121212P AP A AA AP A A

21、P A A120P A A 121|P A P AA29130 29130 , , i同理 第個人要抽得比賽球票 必須在他抽取之前 1 , i的個人都沒有抽到此標(biāo)的事件一起出現(xiàn) 即121iiiP AP A AA A 12111|iiP A P AAP AAA29 28130 29301i1 , 301,2,30 . i 1 , , . 30所以 各人抽得此票的概率都是即機會均等 有三個箱子有三個箱子,分別編號為分別編號為1,2,3.1號箱裝有號箱裝有1個紅球個紅球4個白球個白球,2號箱裝有號箱裝有2紅紅3白球白球 , 3號箱裝有號箱裝有3 紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱某人從三箱中任取一箱,

22、從中任意摸出一球從中任意摸出一球,求取得紅球的概率求取得紅球的概率.解解 記記 Ai=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; B =取得紅球取得紅球B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時發(fā)生，之一同時發(fā)生，123其中其中 A1、A2、A3兩兩互斥兩兩互斥看一個例子看一個例子: 將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概全概率公式率公式.對求和中的每對求和中的每一項運用乘法一項運用乘法公式得公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入數(shù)據(jù)計

23、算得：代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15運用加法公式得到運用加法公式得到即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B 兩兩互斥兩兩互斥定義定義12 , , , nSEB BB設(shè)為隨機試驗的樣本空間 , E是的一組事件 如果滿足 1 ijB Bij 122 nBBBS1212 , , , , , nnB BBB BB則稱為完全事件系 或稱 . S為的一個劃分 :注意12 , , , nB BB若為樣本空間的一個劃分 , 則對每次試驗 事件組12 , , nB BB中必有且僅有一個事件發(fā)生一個事件發(fā)生. , . SS可見的劃分是將分割成若干個互斥事件 1定定理理, SE 的樣

24、本空間為的樣本空間為設(shè)試驗設(shè)試驗nBBB, , 21 , , 則對則對且且的一個劃分的一個劃分為為n,iBPSi 210 , 恒有恒有樣本空間中的任一事件樣本空間中的任一事件A niiiB|APBPAP1 證明證明 因為因為 ASA nBBBA 21nABABAB 21 并且并且 , , 所以所以jiABABji nABPABPABPAP 21 nnB|APBPB|APBP 11 niiiB|APBP1 niiiB|APBPAP1 . 全概率公式全概率公式 件件是把一個未知的復(fù)雜事是把一個未知的復(fù)雜事全概率公式的基本思想全概率公式的基本思想 , 而這些簡單而這些簡單單事件再求解單事件再求解分解

25、為若干個已知的簡分解為若干個已知的簡 , 使得某個未知事件使得某個未知事件事件組事件組事件組成一個互不相容事件組成一個互不相容故在故在至少一個同時發(fā)生至少一個同時發(fā)生與這組互不相容事件中與這組互不相容事件中, A , S的的關(guān)鍵是要找到一個合適關(guān)鍵是要找到一個合適應(yīng)用此全概率公式時應(yīng)用此全概率公式時 . 的一個劃分的一個劃分 某一事件某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因 ，如果，如果A是是由原因由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，則所引起，則A發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故發(fā)生，故A發(fā)生發(fā)生的概率是各原因引起的概率是各原因引起A發(fā)

26、生概率的總和，發(fā)生概率的總和，即全概率公式即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)全概率公式全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解我們還可以從另一個角度去理解 由此可以形象地把由此可以形象地把全概率公式全概率公式看成為看成為“由原由原因推結(jié)果因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用作用”大小有關(guān)大小有關(guān). 全概率公式表達了它們之間的全概率公式表達了它們之間的關(guān)系關(guān)系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A諸諸Bi是原因是原因B是結(jié)果是結(jié)果 例例 甲、乙、丙三人同時對飛機

27、進行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人擊三人擊中的概率分別為中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛飛 機被一人擊中而擊落機被一人擊中而擊落的概率為的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都若三人都擊中擊中, 飛機必定被擊落飛機必定被擊落, 求飛機被擊落的概率求飛機被擊落的概率. 設(shè)設(shè)A=飛機被擊落飛機被擊落 Bi=飛機被飛機被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式則則 A=B1A+B2A+B3A解解依題意，依題意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+

28、 P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)可求得可求得 為求為求P(Bi ) , 設(shè)設(shè) Hi=飛機被第飛機被第i人擊中人擊中, i=1,2,3 將數(shù)據(jù)代入計算得將數(shù)據(jù)代入計算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14. 1123123123P BP H H HH H HH H H 2123123123P BP H H HH H HH H H 3123P BP H H H P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機被擊落的概率為即飛機被擊落的概

29、率為0.458.于是于是貝葉斯公式貝葉斯公式 有三個箱子，分別編號為有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝號箱裝有有1個紅球個紅球4個白球，個白球，2號箱裝有號箱裝有2紅球紅球3白球，白球，3號箱裝有號箱裝有3紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱，某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取求該球是取自自1號箱的概率號箱的概率 .1231紅紅4白白?某人從任一箱中任意摸出一球，某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號號箱的概率箱的概率. )()()|(11BPBAPBAP記記 Ai=球取自球取自i號箱號箱,

30、i=1,2,3; B =取得紅球取得紅球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(運用全概率公式運用全概率公式計算計算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式貝葉斯公式1231紅紅4白白?njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯 (Bayes) 給出給出. 它是在它是在觀察到事件觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每發(fā)生的每個原因的概率個原因的概率.ni, 21 貝葉斯公式貝葉斯公式定理定理2 , , 21為樣本空間的為樣本空間

31、的設(shè)設(shè)nAAA , , 0 , BSP B 一個劃分為中的任一事件 且則恒有貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用. 它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因）發(fā)生的最可能原因.CC已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 例例 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試，現(xiàn)抽查了一個人

32、，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”. C求解如下求解如下:設(shè)設(shè) C=抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥， A=試驗結(jié)果是陽性試驗結(jié)果是陽性，求求 P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義. .由由貝葉斯公式貝葉斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入數(shù)據(jù)計算得代入數(shù)據(jù)計算得 P(CA)= 0.1066 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？這種試

33、驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？ 如果不做試驗如果不做試驗,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性反應(yīng)，若試驗后得陽性反應(yīng)則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為從從0.005增加到增加到0.1066,將近增加約將近增加約21倍倍.1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 試驗結(jié)果為陽性試驗結(jié)果為陽性 , 此人確患癌癥的概率為此人確患癌癥的概率為 P(CA)=0.1066 2. 即使

34、你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有癥，這種可能性只有10.66% (平均來說，平均來說，1000個人個人中大約只有中大約只有107人確患癌癥人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認試驗來確認. P(Ai) (i=1,2,n) 是在沒有進一步信息（不知道事是在沒有進一步信息（不知道事件件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識性大小的認識.當(dāng)有了新的信息（知道當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小生可能性大小P(Ai |

35、B)有了新的估計有了新的估計.貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化 在貝葉斯公式中，在貝葉斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分別稱為分別稱為原因的原因的驗前概率驗前概率和和驗后概率驗后概率. 3 , 2 1 1個白個白乙盒裝有乙盒裝有個黑球個黑球個白球個白球甲盒裝有甲盒裝有例例 . 1 4 , 2 采取擲一骰采取擲一骰個黑球個黑球個白球個白球丙盒裝有丙盒裝有個黑球個黑球球球點選乙盒點選乙盒、點選甲盒點選甲盒或或、出現(xiàn)出現(xiàn)子決定選盒子決定選盒 , 5 4 , 3 21 , , , 6經(jīng)過秘經(jīng)過秘一個球一個球在選出的盒里隨機摸出在選出的盒里隨機摸出點選丙盒點選丙盒 , , 求此球來自乙求此球來自乙宣布摸得一個白球宣布摸得一個白球密選盒摸球后密選盒摸球