大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽試題匯總及答案

1、前三屆高數(shù)競賽預(yù)賽試題非數(shù)學(xué)類參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識,適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目,主要是些各大高校的試題.2021-20"第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷、填空題每題5分)1.計(jì)算(xy)ln(1Y)xdxdyy16/15,其中區(qū)域D由直線xy1與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.解：令xyu,xuv,dxdy2:ududu2tdt,u212t2t4,u(1u)t2(12.設(shè)fx是連續(xù)函數(shù),且滿足2f(x)3x22解：令A(yù)0f(x)dx,那么f(x)3x2.22.Ao(3x2A2)dx0det1t)(120f(x)dx8ZA2)2,t),dudvdudv,那么f

2、(x)2A,解得A4.因此f(x)3x2310o32X3.曲面z2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是2解：因平面2x2yz0的法向量為(2,2,1),而曲面zy22在(x0,y.)處2的法向量為(Zx(Xo,y0),Zy(xo,y0),1),故(Zx(Xo,yo),Zy(Xo,yo),1)與(2,2,1)平行,因此,由zxx,zy2y知2zx(X0,y°)Xo,2Zy(Xo,yo)2y0,即Xo2,y.1,又z(Xo,yo)z(2,1)5曲面2x2y(Xo,yo,z(Xo,yo)處的切平面方程是2(x2)2(y1)(z5)即曲面2zy22平行平面22x2yz0的切平面方程是2x

3、2yz具有二階導(dǎo)數(shù),且4.設(shè)函數(shù)yy(x)由方程xef(y)eyln29確定,其中d2ydx2解：方程xef(y)eyln29的兩邊對x求導(dǎo),因eyln29xef(y),一1故一f(y)yy,即yXx(1f(y)、(5分)求極限lim(x0x2xnxee-)其中n是給定的正整數(shù).n解：因故因此三、(15分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),1f(x)g(x)of(xt)dt,且lim0xoxA,A為常數(shù),求g(x)并討論g(x)在x0處的連續(xù)性.解:由limf(x)A和函數(shù)f(x)連續(xù)知,f(0)limf(x)limxlimf(x)0x0xx0x0x0x11因g(x)°f(xt)dt,故g(0)o

4、f(0)dtf(0)0,1x因此,當(dāng)x0時,g(x)f(u)du,故x0當(dāng)x0時,1xf(x)g(x)0f(u)du,x0x這說明g(x)在x0處連續(xù).四、(15分)平面區(qū)域D(x,y)|0x,0y,L為D的正向邊界,試證:(1) 口xes1nydyyes1nxdx口xes1nydyyes1nxdx；LLsinysiny(2) 0xedyyedxL證：因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在D上連續(xù),故由格林公式知(1) qxesinydyyesinxdx一(xesiny)LDx(yeysinx)dxdy而D關(guān)于x和y是對稱的,即知因此(2)sinysiny:xedyyedxL五、10分y1xex2xxe,y

5、2xee,y3xee2xex是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解,試求此微分方程解設(shè)yix2xxxxee,y2xee,y3xxe2xex是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解,那么yyiexe2xffiyyie都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解,因此ybycy0的特征多項(xiàng)式是210,而ybycy0的特征多項(xiàng)式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為yy2y0,由y必2y1f(x)和xx2xxx2xy1exe2e,y12exe4e知,f(x)y1y12y1xex2ex4e2x(xexex2e2x)2(xexe2x)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、(10分)設(shè)拋物線yax2bx2lnc過原點(diǎn).當(dāng)0

6、x1時,y0,又該拋物線與x軸1及直線x1所圍圖形白面積為1.試確定a,b,c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體3積最小.解因拋物線yax2bx2lnc過原點(diǎn),故c1,于是即而此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積即令218V(a)£a-(12a)(1a)0,5327怎付因此a5,b3,c1.42七、(15分)Un(x)滿足Un(x)Un(X)Xn1ex(n1,2,),且Un-,求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)nun(x)之和.n1解Un(X)Un(X)Xn1ex,即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此,e1,由eUn(1)e(C)知,C0,nn于是卜面求級數(shù)的和:由一階線性非齊次微分方程公式知令

7、x0,得0S(0)C,因此級數(shù)Unx的和n1八、10分求x2時,與xn等價的無窮大量.n0f(t)解令f(t)t2x那么因當(dāng)0x1,t(0,)時,_t2f(t)2txtInx0,故t2In1ex在(0,0f(t)dtf(n)n0n0fdt上嚴(yán)格單調(diào)減f(n)n0n2x,0xtdt0因此1In1xdt,lnxetdt2,lnx1所以,當(dāng)X1時,與xn等價的無窮大量是1J.n021X2021-2021第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識,及相關(guān)題目,主要是一些各大高校的試題.、25分,每題5分(1)設(shè)xn(1a)(1a2)|(1a2n

8、),其中|a|1,求“mxn.2一、X1X(2)求lime1一.xx(3)設(shè)s0,求I°esxxndx(n1,2,1).222(4)設(shè)函數(shù)f(t)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),r7x2y2,g(x,y)f,求一ggrxy(5)求直線l1:xy0與直線l2:人工口二的距離.z0421解：(1)xn(1a)(1a2)|(1a2n)=xn(1a)(1a)(1a2)|(1a2n)/(1a)222n2n1=(1a2)(1a2)(1a2)/(1a)h-=(1a2)/(1a)(2)limex11xxx212lnex(1一)xlimexxx2ln(1)xlimexx令x=1/t,那么(ln(1t)t)原式=lim

9、et21/(1t)1lime2tt0(3)2(1t)limetosxn1、nsx,1nsx,exdx(-)xde(-)xe|0s0ssxn.edx0nsxn1n.exdxIs0sW2"I2ss、(15分)設(shè)函數(shù)“*)在()上具有二階導(dǎo)數(shù),并且f(x)0,limf(x)x0,limf(x)0,且存在一點(diǎn)Xo,使得f(Xo)0ox證實(shí)：方程f(x)0在(,)恰有兩個實(shí)根解：二階導(dǎo)數(shù)為正,那么一階導(dǎo)數(shù)單增,f(x)先減后增,由于f(x)有小于0的值,所以只需在兩邊找兩大于0的值.將f(x)二階泰勒展開：由于二階倒數(shù)大于0,所以limf(x),limf(x)xx證實(shí)完成.、x2tt2一,親一

10、一三、(15分)設(shè)函數(shù)yf(x)由參數(shù)方程(t1)所確定,其中具有二階導(dǎo)數(shù),y(t)t2,23曲線y與yedu在t1出相切,求函數(shù)(t).12ed2y,t2,23,解：(這兒少了一個條件T)由y與yeudu在t1出相切得dx12e»»»(t)(22t)2(22t)32e,d2yd(dy/dx)d(dy/dx)/dt2dxdxdx/dt上式可以得到一個微分方程,求解即可.n四、(15分)設(shè)an0£ak,證實(shí)：k1(1)當(dāng)1時,級數(shù)亙收斂；niS(2)當(dāng)1且5(n)時,級數(shù)色發(fā)散.n1S解：（1） an>0,Sn單調(diào)遞增當(dāng)an收斂時,亙包,而.收斂,所

11、以也收斂;n1SnSiS1Sn當(dāng)an發(fā)散時,limsn,n所以,ana1/dx亙Sdxn1Sn%n2S11xS1Sx而sndxa11limSnJ旦1k,收斂于ks1xSin1S11所以,包收斂.n1sn（2） "limsnInnki所以an發(fā)散,所以存在ki,使得anain1n2kik1ak1aan1于是,亙電212sn2snsk12依此類推,可得存在1k1k2.ki1a1kNa1使得包1成立,所以亙N1ki521sn2當(dāng)n時,N,所以旦發(fā)散n1sn五、15分設(shè)l是過原點(diǎn)、方向?yàn)?其中2221的直線,均勻橢球222、Jz21,其中0cba,密度為1繞l旋轉(zhuǎn).abc1求其轉(zhuǎn)動慣量；2求

12、其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向,的最大值和最小值.解：1橢球上一點(diǎn)Px,y,z到直線的距離由輪換對稱性,(2) ；abc422當(dāng)1時,Imax-abc(ab)當(dāng)1時,Iminabc(b2c2)15六、(15分)設(shè)函數(shù)(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡單閉曲線C上,曲線積分0也dx(x)dy的值為常數(shù).Uxy(1)設(shè)L為正向閉曲線(x2)2y21,證實(shí)Aaydx(xy0；Qxy(2)求函數(shù)(x)；(3)設(shè)C是圍繞原點(diǎn)的光滑簡單正向閉曲線,求P紗dx一鯉y.Uxy解：(1) L不繞原點(diǎn),在L上取兩點(diǎn)A,B,將L分為兩段Li,L2,再從A,B作一曲線L3,使之包圍原點(diǎn).那么有(2)令pSyrq小4x

13、yxy由1知xy上式將兩邊看做y的多項(xiàng)式,整理得由此可得解得：xX23取L'為x4y24,方向?yàn)轫槙r針2021-2021年第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識,適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目,主要是一些各大高校的試題.計(jì)算以下各題此題共3小題,每題各5分,共15分1(1).求limx0sinx18sx;x解：用兩個重要極限(2) .求limn解：用歐拉公式令xn其中,o1表示n時的無窮小量,x(3)yln1e2td2y,求一2-0tarctanetdx解:dxdt2tt2edy1e22t,1-2t1edt1et,13dy1e2tdx2e2t1

14、e2te2te12e2t此題10分求方程2xy4dxxy1dy0的通解解：設(shè)P2xy4,Qxy1,那么PdxQdy0pP*yQ,1,PdxQdy0是一個全微分方程,設(shè)dzPdxQdyx該曲線積分與路徑無關(guān).此題15分設(shè)函數(shù)fx在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且均不為0,證實(shí)：存在組實(shí)數(shù)limh0k1fhk2f2hk3f3hh2f00證實(shí)：由極限的存在性:k1fhk2f2hk3f3h即k1k2k30,又f00,k1k2k3由洛比達(dá)法那么得由極限的存在性得limh0k1fh2k2f2h3k3f3h_即k12k23k3f00,又f00,k12k23k30再次使用洛比達(dá)法那么得k14k29k30由

15、得k1,k2,k3是齊次線性方程組kikiki卜2卜312k23k30的解234k29k30111k1設(shè)A123,xk2,b149k30_*增廣矩陣A所以,方程Axb有唯一解,即存在唯一一組實(shí)數(shù)k1,k2,k3滿足題意,且k13,k23,k31.四.此題17分2x2ay2b72Z-y1,其中abc0,c為1與2的交線,求橢球面1在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值.222xyz,解：設(shè)上任一點(diǎn)Mx,y,z,令Fx,y,z二二1,222abc2x一,2yL,2z那么FxT,FvT,Fz一,橢球面1在上點(diǎn)M處的法向重為:x2y2z2abctx義三2,2,2abc1在點(diǎn)M處的切平面為原點(diǎn)到平面

16、的距離為dd-G現(xiàn)在求G件極值,x,y,zx,y,z2x4ay_b4令Hx,y,z2x-4a2yb4那么由拉格朗日乘數(shù)法得:HxHyHz2x2a2x2x4a2yb42z4cy2b22y2x12a2y1b22z12c2z2c2x2x4a2yb4=,令G2z4cx,y,z2y_b42z,那么c2z-4,在條件2x2a2yb22z2c1,y2下的條2z-4c2y22z2x2a2yb22z2c解得y2z2b2c2或22acT22ac,對應(yīng)此時的b2x,y,zb4b2c2或Gx,y,z44ac2222acac此時的d1bcb2c2.b4Rd2ac22ac44ac又由于ad2所以,橢球面1在上各點(diǎn)的切平面

17、到原點(diǎn)距離的最大值和最小值分別為:d2ac22ac44'acdibcb72c4c五.此題16分S是空間曲線3y21繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半局部00取上側(cè),是S在Px,y,z點(diǎn)處的切平面,x,y,z是原點(diǎn)到切平面的距離,表示S的正法向的方向余弦.計(jì)算:(DdS；x,y,z(2)zSdS解：1由題意得：橢球面S的方程為3y2_99.令Fx3yz1,那么Fx2x,Fy6y,Fz2z,切平面的法向量為x,3y,z,的方程為xXx3yYyzZz0,原點(diǎn)到切平面的距離x,y,z222x3yzJx29y2z2xx29y2將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記22Dxz:xz1,x0,z0xz(2)方法一:xx29y23yv'x29y2z2z229yz六.(此題12分)設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù),且fXmf0m1,任取實(shí)數(shù)a0,定義anlnfan1,n1,2,證實(shí):anan1絕對收斂.證實(shí)：anan1lnfan1lnfan2由拉格朗日中值定理得:介于an1,an2之間,使得anan1an1an2mf級數(shù)mn1|a1n1ao收斂,級數(shù)n1anan1收斂