數(shù)列與等差數(shù)列

1、數(shù)列.基本概念1數(shù)列的概念-按一定次序排列成的一組數(shù)；一般形式為厲月2月3,.,簡記為an 2數(shù)列的分類-按照項(xiàng)數(shù)(有窮數(shù)列，無窮數(shù)列)-按照單調(diào)性(遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列)3數(shù)列的表示一一數(shù)列的通項(xiàng)公式，遞推公式，列表法，圖像法S(n = 1)4數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an =nn SnSn( nZ2)二求通項(xiàng)公式的幾種方法1. 歸納法：根據(jù)數(shù)列中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之間的關(guān)系寫出通項(xiàng)公式例：(1) 1,3,5,7 _2 468 10(2),，,3 15 35 63 99(3)1,0,1,0,1,2. 已知遞推公式求通項(xiàng)已知數(shù)列的遞推公式，可直接寫出數(shù)列的各項(xiàng)，可用累加法

2、，累乘法求通項(xiàng)，也可以通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化成新數(shù)列在進(jìn)一步求通項(xiàng)(1 )當(dāng)遇到可化簡為 an1 =an f n的形式時(shí)采用疊加法;例：已知anan - n,a1 =1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an(2 )當(dāng)遇到可化簡為-f n的形式時(shí)采用累乘法;例:已知數(shù)列an滿足an 0n1 =3n -1,a =1,a 2,求數(shù)列 何的通項(xiàng)公式a. (n為偶數(shù)或奇數(shù))(3)當(dāng)遇到形如an d = pan q(p,q為常數(shù))的遞推公式時(shí)，通過構(gòu)造等比數(shù)列求解，即設(shè)an 1= p(an t),其中t二一匚，從而得到等比數(shù)列an -，進(jìn)而得到anp -1p -1例：已知數(shù)列an滿足an 1 = 2an 1, a-i = 1,

3、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an(4)如果q不是常數(shù)呢？例：已知數(shù)列an滿足an =4an4 ' 2n(n - 2)® =2,求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式a*3.已知&求an注注意分類；可以合并的話要合并。例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足log2(1 * Sn)二n 1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an三求數(shù)列的最大項(xiàng)，最小項(xiàng)求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)常用方法有兩個(gè)：一是用函數(shù)求最值的方法，但要注意an取最大(小)值的n必須是正整數(shù)；二是用不等式組 an 1 _ a n an J an來求最大值，fn - an*來求最小值或在an - 0時(shí)，用不等式組an 1 a nan Jan1來求最大值，

4、1anan 1anan J-1來求最下值-1例：已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式9 nan = (n 1) () “ N ”),試問該數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)的序旦 練習(xí)：一.1. (1)(2)(3)號(hào)( 8,9)2，5，1 3_2,4，3，33,10，5_8333，17,7 _ 9 16，一32,3333,33333,2.( 1)已知數(shù)列an中,a! =1,a2 =2,an 4 -an是以3為公差的等差數(shù)列，求 anan 蘭 an/(2)(an(3)已知數(shù)列an滿足an =3anj 2,a1=2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an( an=3n-1)2(a3n -7n 6 )1笑(2008 江西)在數(shù)

5、列an中，a 2, an an ln(1),則an等于(2 ln n)na *已知數(shù)列an中，a1 =1,a2 =2, 口是以3為公差的等差數(shù)列，求 anan1(n) )(3n -4)(3n -7)5 2 1(n _ 2)(4)(an(-1)n' 6n -3 )4已知數(shù)列an中，a1 1,a2,an an 1是以3為公差的等差數(shù)列，求a.3已知數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和為Sn = 9 - 6n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an1.5( n =1)an七加-2)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn二n2 -9n，則其通項(xiàng)a；若它的第k項(xiàng)滿足 5 ak : 8，貝U k =. (2n-10;8)二. (2010上海

6、)已知數(shù)列 曲 的前n項(xiàng)和為&，且&=n_ 5an-85 ,N*(1) 證明：:an是等比數(shù)列；(2) 求數(shù)列IsJ的通項(xiàng)公式，并求出 n為何值時(shí)，Sn取得最小值，并說明理由。5 n 1S < Sn411(Sn=n 75(；)90 , , n=15 取得最小值，Iog514.9)6 SnSn6 15等差數(shù)列一.等差數(shù)列基本知識(shí)1. 等差數(shù)列定義，等差中項(xiàng)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和2. 等差數(shù)列性質(zhì) an =am (n _ m)d例：在等差數(shù)列an中，已知a15=33,a45 -153,求a61 (217)在等差數(shù)列an中，已知a5 =3,a8 =9,求a10(15) 若

7、m n 二 p q,則am ' aap - aq例: (2009湖南)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2=3,a6=11,則S7為_49_(2009 安徽)已知an為等差數(shù)列，a1 a3 a5 = 105, a2 a4 a 99,則 a20 為 _1_(2009海南寧夏)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知amam1 =2am，S2m=38,則 m 等于(C ) A38B20C10 9D 數(shù)列an, bn為等差數(shù)列，則pan qbn(p, q為常數(shù))也是等差數(shù)列 若數(shù)列an為等差數(shù)列，公差為d,則a n中依次k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即Sk,S2K -Sk,S3k -S2k,也成等差數(shù)列

8、，公差為 k2d例:等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則前3m項(xiàng)和為_210_(2007遼寧)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3 =9 , Ss =36，則a7 a8 a廠 (B )A. 63B. 45C. 36D. 27（2008廣東）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=4, S4 =20,則公差d=_3 若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶二nai，S奇工naS偶-S奇二nd,S偶:S奇=an 1 : an ；若等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n1,則中間一項(xiàng)為an，,S奇"a.,S偶二（n-呃,% - $偶=anS奇,:$偶=n : n - 1 S2n=（2n -1）

9、an ；例：項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)和為44,偶數(shù)項(xiàng)和為 33,求數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)。 （11,7項(xiàng)）（2006廣東）已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)和為15,偶數(shù)項(xiàng)和為30,其公差為 _3_3. 等差數(shù)列的判定定義法例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an 2SnSnd =0（ n_ 2）,a0.5.（1）求證：丄，是等差數(shù)列（2）求an的表達(dá)式（Sn12n0.5 (n =1) 7 越(n-2) 等差中項(xiàng)法：2an 1 = an an ,2（n N ”）二an是等差數(shù)列。當(dāng)公差d =0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，（n,an）是直線上一群孤立的 點(diǎn) 通項(xiàng)法：an =kn二an是等差數(shù)列-J等差數(shù)

10、列前n項(xiàng)和Sn二An2 Bn（A= ,B二a1 -一）2 2 前n項(xiàng)和法：數(shù)列a n前n項(xiàng)和Sn = An2 Bn= an為等差數(shù)列例：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若S.2 =84, S20 =460,求氐在等差數(shù)列an中，Sn =m,Sm = n（m = n）,求證Sm .-m- n4. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題當(dāng)d -0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；d 0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列。當(dāng)a1 ' 0,d 0時(shí)，Sn有最大值;當(dāng)a1 0,d0時(shí)，&有最小值。用不等式組an -0an 1 乞 0a < 0來求最大值；a二。來求最小值或用二次函數(shù)求解。例(2008海南寧

11、夏) 已知 'an / 是- 一個(gè)等差數(shù)列，且 a1,比=-5 .(I)求 4 的通項(xiàng) an ； ( aai - (n -1)d = -2n 5.)(n)求 玄前n項(xiàng)和Sn的最大值.(n=2) 在等差數(shù)列an中，已知ai =20,前n項(xiàng)和為Sn,且3。=求5的最大值(S|2- S13 - 130)笑(2010福建)設(shè)等差數(shù)列 an前n項(xiàng)和為S.若ai= -11,a 4+a6= -6 ,則當(dāng)S取最小值 時(shí)，n等于(A)A.6 B. 7C.8D.9已知數(shù)列a n滿足2an勺=an an .2 (n N ),它的前n項(xiàng)和為Sn,且a3二10,S6 =72,若bn -an -30,求數(shù)列bn的

12、前n項(xiàng)和的最小值(S15八225)2等比數(shù)列一.等比數(shù)列基本知識(shí)1. 等比數(shù)列的定義，等比中項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和2. 等比數(shù)列性質(zhì) an “m -qnJ1例：（2008浙江）已知是等比數(shù)列，a2,a-,則公比q等于（D）41 1A B -2 C2 D 2 2（2008福建）設(shè) an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a-=i,a5=16,則數(shù)列 an）前7項(xiàng)的和為（C）A.63B.64C.127D.128（2009海南寧夏）等比數(shù)列an的公比q -0,已知a2 = 1, an 2 an d = 6an,則a n的前4項(xiàng)和S4等于_ 7.5 若m n = p q,貝卩am an = ap aq例: （2

13、009 廣東）已知等比數(shù)列an滿足 an - 0, n=1,2,3，且 a5 a2n22n（ n _ 3）,則當(dāng) n_1時(shí)，Iog2a1 log? a3 log? a?*等于（C）2 2 2A n（2n -1） B（n 1）C nD（n -1）（2007海南寧夏）已知a, b, C d成等比數(shù)列，且曲線 y=x2-2x，3的頂點(diǎn)是（b, c）,則ad等于（B ）A. 3B. 2C. 1D. -2（2008北京）已知數(shù)列 訂對任意的P, q N *滿足ap ap aq，且a-6，那么等于（C）A. -165B. -33C. -30D. -21（2006遼寧）在等比數(shù)列an中，a2,前n項(xiàng)和為Sn

14、,若數(shù)列an 1也是等比數(shù)列，則Sn等于（C）A2n 1 -2 B3n C2n D3n -1 數(shù)列an,bn為等比數(shù)列，則pan bn（p為常數(shù)），丄 迪是等比數(shù)列 ,an. 若數(shù)列an為等比數(shù)列，公比為q,則a n中依次k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即Sk,S2K -Sk,S3k -S2k,也成等比數(shù)列，公比為 qk（q= 一1）例: （2009遼寧）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若§ =3,則魚 等于（B）S3S678A2 B C D333（2007遼寧）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若 S3 = 9 , Ss = 36，則ay as（ B ）A. 63B. 45C. 36D. 27（

15、2010安徽）設(shè)an是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X, Y,Z,則下列等式中恒成立的是（D）（A） X Z =2Y（B） Y（Y -X） =Z（Z -X）(C) Y2 =XZ(D) Y(Y -X) =X(Z - X)若等比數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則5偶=q S奇 ；若等比數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則 S奇q偶；3. 等比數(shù)列的判定aa 定義法亠二q或 -=q （ n _ 2）anan -1（2009陜西）已知數(shù)列：耳滿足，ai=1a2=2,an+2=色N2令bn二令1-令，證明：bn是等比數(shù)列；（n ）求 : an的通項(xiàng)公式。 等比中項(xiàng)法：a2n 1二an an 2 =0

16、（n N ”）= an是等比數(shù)列。等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn二ai（1 q）= ai 一弘q（q = 1）1 -q1-q 通項(xiàng)公式法：an二c，qn（c, q均為不等于0的常數(shù)，nN ）二an是等比數(shù)列。 前n項(xiàng)和法：數(shù)列a n前n項(xiàng)和Sn = R （-k） qn（k = 0） = an為等比數(shù)列 例：數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件 是（B）Aan 廠an q（q為常數(shù)）.Ba2an m .2 = OCa. = aiqn'（q為常數(shù)）Dani 乞淚 an .2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn =an _i（a是不為0的常數(shù)），那么數(shù)列an（C）A定數(shù)等差數(shù)列 B一定是等比數(shù)列C要么是等差數(shù)列要么是

17、 等比數(shù)列D既不可能是等差數(shù)列，也不可能是比數(shù)列（2009湖北）設(shè)x. R,記不超過x的最大整數(shù)為x,令x=x-x，貝U 蘭 1 ,-衛(wèi)1 ,2 25 1 （B）2A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列4. 等比數(shù)列的單調(diào)性（1）若a1 0,q -1或a1 0,0 q 1,則數(shù)列a.為遞增數(shù)列。若a1 - 0,0 q 1或a1 0,q 1,則數(shù)列an為遞減數(shù)列。（3若q =1,則數(shù)列an為常數(shù)列。若q 0,則數(shù)列an為擺動(dòng)數(shù)列且各項(xiàng)的正 負(fù)號(hào)相間。例：an為首項(xiàng)是正數(shù)的等比數(shù) 列，前n項(xiàng)和為S. =80,前2n項(xiàng)和為S

18、 = 6560, 在前n項(xiàng)中最大項(xiàng)為54,求通項(xiàng)an（2 3n）（2006北京）如果-1, a, b, c, -9成等比數(shù)列，那么（B）A b=3,ac=9 B b=-3,ac=9 c b=3,ac=-9 D b=-3,ac=-95. 等差數(shù)列，等比數(shù)列的設(shè)數(shù)技巧例：在8和27之間插入三個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入三個(gè)數(shù)的乘積為 2163 2在2和18之間插入四個(gè)數(shù)，使這 6個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入四個(gè)數(shù)的和為（40）6. 等差數(shù)列等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例：（2009海南寧南寧夏）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為&,且4a2a2,a3成等差數(shù)列,若 a1 =1，則 S4 等于（C） A7 B8

19、 C15 D16（2009重慶）設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a2且a1,a3,a6成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn等于（-7n）44(2009遼寧)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為亦已知Si, S2, S3成等差數(shù)列(1)求公比 q (-0.5)(2)右 a<i - a3 - 3,求 Sn 1 = 4)數(shù)列求和.數(shù)列求和方法1. 公式法2. 分組求和法如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)可 以寫成Cn二an的形式，而數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，則可以采用分組求和法。例：求下列數(shù)列的和& 一1 3-5 7-(-1)n(2n -1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an =3n 2n -1,求數(shù)列a n的前n項(xiàng)和Sn3. 倒序相加法這是推倒等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法， 就是把一個(gè)數(shù)列倒過來排列，再把它與原數(shù)列相加，就可以得 到n個(gè)佝 an).如果一個(gè)數(shù)列a n具有an-k - ak = cbn,可以考慮倒序相加法。例：Sn = 246. 2n例：求證：C； +3C： +5C； + +(2 n +1)C： = (n +1)2n設(shè) f(x)4x14x 2,求和