數(shù)形結(jié)合中“數(shù)”與“形”的先與后

1、數(shù)形結(jié)合中“數(shù)”和“形”的先和后十月里，在一次小學(xué)數(shù)學(xué)教師賽課活動(dòng)中， 有幸觀摩了極具特色的 較復(fù)雜 的分?jǐn)?shù)使用題一課。執(zhí)教者那風(fēng)趣的語言藝術(shù)、富具挑戰(zhàn)性的教學(xué)思想，極大 地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、喚起了學(xué)生的求知欲望。老師導(dǎo)演，學(xué)生獨(dú)立解題， 臺(tái)上臺(tái)下都是學(xué)生學(xué)習(xí)交流的場所。 展示不同的解題過程， 討論和爭論， 質(zhì)疑和 解惑，場面十分熱烈。老師“退居二線” ，時(shí)而鼓勵(lì)，時(shí)而提問。整節(jié)課的問題 全部由學(xué)生相互“搞定” ，從而輕松愉快地完成了本節(jié)課的學(xué)習(xí)。我們被此課深深吸引， 感受很深，覺得有很多地方值得好好學(xué)習(xí)借鑒。 但是， 細(xì)細(xì)想來，仍然存在值得商榷的地方。一、商榷的主要問題。1、是否應(yīng)先“數(shù)

2、”后“形”，突出邏輯思維訓(xùn)練。從本節(jié)教學(xué)過程看出，新 課一進(jìn)入，老師即讓學(xué)生“先畫圖再列式” ，充分突現(xiàn)了線段圖的作用，問題迎 刃而解。但，這也是本課值得商榷的主要地方。筆者認(rèn)為當(dāng)嘗試題形成后， 完全可以先讓學(xué)生直接列式解答在前， 作圖說理 再后。那么，為什么這樣處理呢？一是從學(xué)生已有思維能力看。 在整個(gè)前五年的學(xué)習(xí)中， 已進(jìn)行過大量的形象 思維訓(xùn)練和邏輯思維訓(xùn)練。在分析方法上已有邏輯分析的模式和能力基礎(chǔ)。二是從教材的編排順序看。 在本冊的前兩個(gè)單元里， 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘、 除法基本使用題和乘除混合運(yùn)算的使用題， 對于運(yùn)用乘法意義解答基本的乘除法 使用題已相當(dāng)熟練。 乘法意義的深刻理解和使

3、用該意義解題的技能已為學(xué)生用邏 輯思維嘗試解較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)使用題提供了可能。三是從本課的新課引入過程看。老師把教材基本的復(fù)習(xí)題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)場編題， 即“電教室里大約有 300 人，其中學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的，學(xué)生約有多少人？” ，學(xué) 生不假思索的列出了算式300X。接下來，由學(xué)生改變問題成“求老師有多少人?！?抽象列式的時(shí)機(jī)已成熟， “跳板”已設(shè)好，此時(shí)不用“先作圖再列式” 。相信多數(shù) 學(xué)生能夠“遷移”出300- 300X，也肯定有部分學(xué)生會(huì)列出300x( 1 )等算 式。當(dāng)然，學(xué)生們在研究討論解題方法及道理的過程中， 肯定有部分學(xué)困生特別 感到是第二種解法較難理解，會(huì)有“言欲答而心不通”的情況產(chǎn)生， 。

4、此時(shí)正好 抓住時(shí)機(jī)讓學(xué)生在解難釋疑的過程中引出線段圖， 利用數(shù)形結(jié)合的方法， 一是引 出或者說明其它解法， 溝通聯(lián)系；二是縱向比較， 抓住“簡”和“繁”的生長點(diǎn)， 找到解題的關(guān)鍵所在。四是從思維能力培養(yǎng)的要求看。 小學(xué)生的思維能力發(fā)展處在以具體形象思維 為主，逐漸過渡到以抽象思維為主的階段。 到了高年級他們的邏輯思維往往也需 要具體形象作支撐。在這里使用線段圖導(dǎo)出算式， 其實(shí)仍是以直觀形象思維為主， 而不是“支撐”的問題，長此以往似乎會(huì)阻滯學(xué)生邏輯思維的發(fā)展。2、課末小結(jié)是否更應(yīng)以“數(shù)”為主抽象化。在小結(jié)、歸納分析方法時(shí)，老 師似乎不應(yīng)該順著學(xué)生的回答， 單方面強(qiáng)調(diào) “線段圖是個(gè)好朋友”。而應(yīng)

5、指出“可 以用作圖的方法幫助分析” 。小結(jié)的重點(diǎn)應(yīng)放在抽象“建摸”上。針對第二種解 法，進(jìn)一步，突出“抓住單位一的量” “關(guān)鍵看所求問題占單位 1'的幾分之 幾，再用單位 1'的量乘以分率，如這個(gè)分率未知，應(yīng)先求出來” 。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生 離開線段圖抽象出一般的邏輯分析方法， 建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型， 為后續(xù)學(xué)習(xí)較 復(fù)雜的乘、 除法使用題奠定邏輯思維的基礎(chǔ)， 以免老是停留在作圖分析上。 但遺 憾的是，教者在這里，淡化了“建摸”環(huán)節(jié)，失去及時(shí)抽象概括的大好時(shí)機(jī)。單 從本節(jié)課學(xué)生會(huì)解題來看， 確實(shí)十分順利， 但不見得是真正落實(shí)了雙基， 可能影 響后繼學(xué)習(xí)及邏輯思維的發(fā)展。我想，教者淡化“建

6、摸”這一抽象概括環(huán)節(jié)，以線段圖作為本課的主要分析 方式，是否怕背上“傳統(tǒng)”二字。 “教改”到今天，我們已清楚的認(rèn)識(shí)到，傳統(tǒng) 教學(xué)中的有效方法怎能拋去。 邏輯思維畢竟是科學(xué)研究的重要方法， 數(shù)學(xué)模型和 數(shù)學(xué)概念一樣， 是邏輯思維的細(xì)胞。 建立起分?jǐn)?shù)使用題的分析模式， 就為離開線 段圖利用抽象思維分析、 推理解決問題提供了方法基礎(chǔ)。 所以在本課的小結(jié)中停 留在“線段圖是我們的好朋友”實(shí)際上是降低了小結(jié)功能之歸納、抽象、概括的 作用，同時(shí)使分析方法單一的落腳到形象思維上。二、數(shù)形結(jié)合中“數(shù)” 和“形”誰先誰后？ 已知信息告訴我們， 形象思維和邏輯思維是兩種不同的， 又相互聯(lián)系的思維 方式，它們沒有誰

7、“高”誰“低”之分，都各自有從低級到高級逐漸發(fā)展的過程。 邏輯思維是以概念為支柱間接反映事物的本質(zhì)。 是通過分析、 綜合、比較、抽象、 概括去把握概念，并使用概念進(jìn)行判斷、推理，有根有據(jù)的去分析新的問題。形 象思維是以直觀形象為支柱的思維，是運(yùn)用事物的形象進(jìn)行分析、綜合、比較、 抽象、概括去把握知識(shí)的思維。由于形象思維， 依靠表象進(jìn)行聯(lián)想， 思維常常具有跳躍性， 往往能產(chǎn)生奇特 想法，有利于創(chuàng)新。 無疑應(yīng)在小學(xué)階段大力開展訓(xùn)練， 開展這一思維訓(xùn)練的突破 口是“數(shù)形結(jié)合”。 同時(shí)“數(shù)形結(jié)合”的方法也起著聯(lián)系形象思維和邏輯思維的 橋梁作用，多數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)都是在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上逐步抽象概括， 上升為理

8、性的?！皵?shù)形結(jié)合”體現(xiàn)在課堂上，多數(shù)表現(xiàn)在動(dòng)手操作實(shí)物以及用各種圖形說明、 說理、分析解題上。 依靠圖形的直觀性分析和解決問題較容易， 就在于抽象的數(shù) 量關(guān)系形象化了。 因此，不少教師在教學(xué)中逐漸形成了審題作圖列式這 樣一種教學(xué)模式。 當(dāng)然，這種模式無疑為課堂教學(xué)帶來了可喜的收獲提高了 解題的正確性，靈活性，學(xué)生的形象思維能力得到發(fā)展。但應(yīng)認(rèn)識(shí)到，這種模式 是一把“雙刃劍”，如使用恰當(dāng)，確實(shí)能促進(jìn)學(xué)生的形象思維水平提高，反之則 會(huì)抑制學(xué)生邏輯思維的發(fā)展。我們應(yīng)看到， 形象思維具有跳躍性， 有的思維過程可能別人不理解， 有的不 一定合符實(shí)際，有時(shí)具有不確定性，還需作邏輯論證；問題解決后，思維過程

9、的 闡述往往也要用到邏輯思維的方法。如，“歌德巴赫猜想”稱景潤不是花了大量時(shí)間、精力去進(jìn)行邏輯證明嗎。又如，本節(jié)課中，有的學(xué)生列式為：300- 4X 3。學(xué)生問：這個(gè)3是怎么來得？ 學(xué)生還得從算理上解釋。由此說明兩者思維形式都很重要，不可偏廢。數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生的心理特點(diǎn)， 決定了這兩種思維方式應(yīng)緊密結(jié)合， 協(xié) 調(diào)發(fā)展。但高年級是小學(xué)的最后階段， 應(yīng)逐漸加大邏輯思維培養(yǎng)訓(xùn)練的力度。 我 們看到，整個(gè)小學(xué)階段， 從直觀教學(xué)發(fā)展而來的形象思維教學(xué)訓(xùn)練的手段大量使 用于課堂教學(xué)中， 到高年級了也常是如此， 這雖然對提高學(xué)生的形象思維水平極 為有利，但小學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練是一個(gè)普片存在的薄弱環(huán)

10、節(jié)和教學(xué)難 點(diǎn)，需要花大力氣去教學(xué)。 也許有的老師滿足于學(xué)生會(huì)解題即可， 而忽視對學(xué)生 有目的的進(jìn)行邏輯思維訓(xùn)練，應(yīng)該引起我們足夠的重視。怎樣才能做好這兩種思維的協(xié)調(diào)發(fā)展呢？很有必要探索研究 “數(shù)” 和 “形” 先和后的問題。我認(rèn)為可從如下角度考慮?？唇滩妮^“新舊”程度。較新內(nèi)容先“形”后“數(shù)”，后繼教材先“數(shù)” 后“形”。如統(tǒng)編教材十一冊一個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義 ，是較新教材，先“形” 后“數(shù)”抽象意義較好； 而上面提到的 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)使用題 一課是后繼教材， 完全可讓學(xué)生利用“遷移規(guī)律”先“數(shù)”后“形” ?？茨昙壐叩?。中底年級學(xué)生心理發(fā)展的特征決定了他們的思維處于以具體 形象思維為主，邏輯思維

11、開始萌芽的階段，因此便于先“形”后“數(shù)” 。但應(yīng)注 意在利用“形”學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中應(yīng)時(shí)時(shí)地、適當(dāng)?shù)刂鸩綒w納上升到理性認(rèn)識(shí)， 為邏輯思維作準(zhǔn)備。 中高年級學(xué)生邏輯思維力已有一定程度的發(fā)展， 應(yīng)逐漸過渡 到先 “數(shù)”后“形”，把形象真正放在“支撐”地位。看問題的難易程度。較易內(nèi)容，先“形”后“數(shù)”；較難教材，可先“數(shù)” 后“形”?？磳W(xué)生的層次性。較差學(xué)生，可先“形”后“數(shù)”；較好學(xué)生可先“數(shù)” 后“形”?？此季S的發(fā)散性。 發(fā)散思維在促進(jìn)創(chuàng)新性思維的發(fā)展過程中具有不可代替 的作用。數(shù)形結(jié)合往往會(huì)激勵(lì)學(xué)生產(chǎn)生發(fā)散思維。 經(jīng)過長期發(fā)散思維訓(xùn)練的同學(xué) 的解題方法多樣， 思維靈活多變， 往往在發(fā)散的基礎(chǔ)上產(chǎn)

12、生出奇特的思路， 為實(shí) 現(xiàn)對學(xué)生的發(fā)散性訓(xùn)練， “形”和“數(shù)”可以交替出現(xiàn)。例如：“一本書 80 頁，王平第一天看了它的，第二天看了余下的，第三天應(yīng) 從多少頁看起？”，此題對于初學(xué)較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)使用題的學(xué)生來說是較難的。老 師可先讓學(xué)生抽象列式，學(xué)生列出了： A、80X =20（頁），（80-20） X =20 （頁）， 20+20+仁41（頁）;B、80X + （1-） X +仁20 （頁）。再讓學(xué)生作線段圖分析， 結(jié)果有學(xué)生得出：80- 2+1= 41 （頁）看學(xué)生思維的個(gè)性品質(zhì)。 從教師角度看問題， 就要考慮學(xué)生思維發(fā)展的個(gè) 性差異。如有的學(xué)生邏輯思維能力較強(qiáng)， 有的學(xué)生形象思維較優(yōu)。 教

13、學(xué)中既要照 顧到形象思維發(fā)展較好或較強(qiáng)的學(xué)生； 也要照顧到邏輯思維發(fā)展較快或較優(yōu)的學(xué) 生；同時(shí)也不要忘記這兩種思維能力的發(fā)展都較差的學(xué)生。 因此在教師經(jīng)過較長 時(shí)間的數(shù)形結(jié)合地教學(xué)后，可放手讓學(xué)生自由選擇 “數(shù)”和“形”的先和后， 或者二者任選一。 如在學(xué)生作業(yè)的要求中， 老師可提出“某題作圖分析再解答” ；某題先解答再作圖說明正確性” ；“某題自選方法解答” 。如長期堅(jiān)持訓(xùn)練，學(xué) 生的思維將可能達(dá)到較高境界。總之，數(shù)形結(jié)合中 “數(shù)”和“形”的先和后，應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維的發(fā)展特點(diǎn)而定，根據(jù)教材的階段性而定， 目標(biāo)仍是瞄準(zhǔn)形象思維和邏輯思維相互促進(jìn)、 協(xié)調(diào)發(fā)展，同時(shí)讓具有不同思維特征的學(xué)生有個(gè)性的發(fā)

14、展。 湖北省優(yōu)質(zhì)課評比錄像課觀后感悟 （ 一） 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想對湖北省武昌水果湖二小易玲老師執(zhí)教的分?jǐn)?shù)除法的微格評議 教學(xué)實(shí)錄：師：今天希望小學(xué)的小伙伴們正在為秭歸臍橙設(shè)計(jì)包裝紙呢，瞧，第一組的設(shè)計(jì)師們正遇到了問題。 （課件出示問題：我們將一張長方形紙的 4/5 平均分成 兩份，在其中一份畫上了同學(xué)們設(shè)計(jì)的秭歸臍橙圖標(biāo)， 你知道這一份是這張包裝 紙的幾分之幾嗎？）師：誰能用簡潔的語言來說說這個(gè)問題？生：一張長方形紙的 4/5 ，把它平均分成兩份，求一份占這張包裝紙的幾分之 幾？師：同意嗎？生：（齊）同意。師：怎樣列式呢？生：4/5 - 2=2/5師：哦，你已經(jīng)計(jì)算出結(jié)果了！

15、 （板書算式）同意他算的這個(gè)結(jié)果嗎？ 生：（齊）同意。師：你們都認(rèn)為是 2/5 ，那 2/5 是怎樣算出來的？老師請四人小組的同學(xué)利用 我們學(xué)過的知識(shí)或方法來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)， 也可以借助手中的材料， 注意實(shí)驗(yàn)時(shí)記下各 自不同的算法。小組活動(dòng)開始！生小組活動(dòng)，師巡視輔導(dǎo)。師：哪個(gè)小組先來匯報(bào)？到前面來！生：先把這張紙平均分成 5 份，找出這樣的 4 份，把空白的一份折起來，然后把 這 4 份對折，對折之后再攤開，這樣的 2 份就是 2/5 。師：這樣的 2 份是？生：這樣的 1份是 2/5 。師：你怎么不把這一份用顏色標(biāo)出來？這樣我們就看得更清楚些。 哪個(gè)小組和他 們的想法一樣，并且又涂了顏色的？請你

16、說！生：我的想法和他們不一樣。師：你是怎么想的？生：把這張紙平均分成 5份， 4/5 就是其中的 4份，把 4個(gè)1/5 平均分成 2份， 每份是 2 個(gè) 1/5 ，也就是 2/5 。師：其實(shí)你的想法同他們是一樣的， 只不過他們沒有涂顏色， 我們不能看得更明 了些。老師把你們的想法再演示一遍，好嗎？（課件演示）師：把咱們這么好的想法用算式表示出來吧：4/5 - 2=2/5，這里的2是怎么算出來的？（板書算式）把 4 個(gè) 1/5 平均分成 2 份，每份是 2 個(gè) 1/5 ，也就是 2/5 。 師：板書 4/5 - 2=（4 - 2）/5=2/5師：其他組還有沒有別的想法？生：把 1/5 折到后面，

17、再把 4/5 橫著對折，用紅色的彩筆涂出其中一份。 師：我想問問你了，涂色的部分是 4/5 的多少呢？ 生：（齊） 1/2 。師：那是這整張紙的多少呢？生： 2/5 。 師：老師也把這種想法演示給大家看看吧， （課件演示）多好的想法！我們把這 種想法也用算式表示出來，把 4/5平均分成2份，每份是4/5的 生： 1/2 。師：求 4/5 的 1/2 可以怎樣算？生：4/5 X1/2 師：還有誰想說？ 生： 4/5 X 1/2 師：那4/5 -2我們也可以這樣算（板書）4/5 X 1/2 =25。還有別的算法嗎？ 師：看看這兩種算法， ：一種是將 4 個(gè) 15 平均分成 2 份，每份是 2 個(gè)

18、15 ，也就 是 25 ；第二種是把 45 平均分成 2 份，每份是 45 的 12 。最后的結(jié)果都是 25 ， 這里的兩種算法都挺好。 同學(xué)們就是聰明， 自己動(dòng)手折一折、 算一算就幫助小設(shè) 計(jì)師們解決了問題。看，這就是設(shè)計(jì)的圖標(biāo)（課件演示） ，占整張包裝紙的 生：（齊） 2/5 。教學(xué)評議 ：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。 雖然數(shù)學(xué)得到了很大的發(fā) 展，但是數(shù)和形仍是數(shù)學(xué)研究的兩大對象。它們往往緊密聯(lián)系，相互補(bǔ)充，在一 定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了抽象思維和形象思維相互補(bǔ)充。 在小學(xué)的計(jì)算教學(xué)中恰當(dāng)?shù)膽?yīng)該用數(shù)形結(jié)合的思想能清楚的揭示計(jì)算的道理， 拓 寬學(xué)生解決問題策

19、略。 因此在小學(xué)階段滲透數(shù)形結(jié)合的思想對學(xué)生的現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)和 繼續(xù)學(xué)習(xí)都有著很重要的意義。分?jǐn)?shù)除法的法則實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了除法和乘法相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系， 對于學(xué)生來說是 比較抽象的。 在教學(xué)中為了突破教學(xué)的難點(diǎn)， 使學(xué)生能夠真正的理解分?jǐn)?shù)除以整 數(shù)計(jì)算法則的算理，易老師啟發(fā)、組織學(xué)生動(dòng)手操作“ 以形論數(shù) ”，通過對長方 形紙的兩種不同的平分方式，很好的揭示這一道理?！耙孕握摂?shù)”的核心是將形的變化抽象為數(shù)學(xué)符號。在學(xué)生得出4/5寧2=2/5 ,且用圖形驗(yàn)證出其結(jié)果正確后，教師很恰當(dāng)?shù)奶釂枺?“我們這個(gè)分子 2 是怎么算 來的呢？”“我們?nèi)绾斡盟闶奖硎灸兀俊?、“我們把這種想法也用算式表示出來， 把 4/5 平

20、均分成 2 份，每份是 4/5 的 1/2 ”“求 4/5 的 1/2 可以怎樣算？”，這 樣就把形和數(shù)緊密地聯(lián)系起來， 將形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號。 數(shù)學(xué)實(shí)際上是一個(gè)翻譯的 過程，將語言翻譯成數(shù)學(xué)符號， 或?qū)D形翻譯成數(shù)學(xué)符號， 或者語言翻譯成圖形。 易老師這節(jié)課好就好在，先把文字轉(zhuǎn)化成圖形，然后把圖形轉(zhuǎn)抽象為數(shù)學(xué)符號， 讓學(xué)生體會(huì)到這種數(shù)和形的結(jié)合淺談“數(shù)形結(jié)合思想” 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的使用數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通俗地說就是代數(shù)和幾何相結(jié)合的思 想。著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出： “數(shù)缺少形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。 ”這句話說 明了“數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的。 我們在研究“數(shù)”的時(shí)候，往往要

21、借助于“形”， 在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，又往往離不開“數(shù)” ?？v觀近年來的中考，熔“數(shù)”和“形”于一體的試題屢見不鮮。目前我們使用的 新課本，不再把這句話說明了“數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的。我們在研究“數(shù)” 的時(shí)候，往往要借助于“形” ，在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，又往往離不開“數(shù)” 縱觀近年來的中考，熔“數(shù)”和“形”于一體的試題屢見不鮮。目前我們使用的 新課本，不再把數(shù)學(xué)課劃分為“代數(shù)” 、“幾何”，而是綜合為一門數(shù)學(xué)課，這樣 更有利于“數(shù)”和“形”的結(jié)合，因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要做好“數(shù)”和“形” 關(guān)系的揭示和轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘，剖析其所具有 的幾何模型，這對于幫助學(xué)生深化思

22、維，擴(kuò)展知識(shí)，提高能力都有很大的幫助。綜合教學(xué)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，有目的、有計(jì) 劃地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)， 使學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合思想， 并使之成為學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的工具， 是我數(shù)學(xué)教學(xué)著力追求的目標(biāo)。 為培養(yǎng)學(xué)生在解決 數(shù)學(xué)問題中熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，我從以下幾個(gè)方面入手的：1、在教學(xué)過程中適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想。一方面要盡量擺脫對代數(shù)問題的抽象討論。 更多地把代數(shù)里的東西用圖形表示出 來。如相反數(shù)、絕對值的幾何解釋，乘法公式的面積法的驗(yàn)證將較難、抽象 的概念、定理具體化。另方面，在幾何圖形的一些基本性質(zhì)的教學(xué)時(shí)，多讓學(xué)生 動(dòng)手量一量， 自己發(fā)

23、現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系， 對一些特殊的幾何圖形， 還可以賦值 研究。2、通過典型例題的分析講解突出數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)例 1二次函數(shù) y=ax2bxc 的圖象大致如圖（ 1）所示，試確定 a、 b、 c 和 b2 4ac 的符號。二次函數(shù)y=ax2+ bx+ c（a工0）中的a、b、c決定函數(shù)的形狀和位置，判別式厶 的符號把拋物線和x軸的位置關(guān)系和一元二次方程的根聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形 結(jié)合的思想。圖（ 1）圖（ 2）例2 .已知a、b、c、k均為正數(shù)，且a2+b2=c2, c=a2求證：ab=ck分析不難發(fā)現(xiàn) a2+b2=c2的形式符合勾股定理，故可構(gòu)造 Rt ABC（圖4）使BC=a,AC=b,

24、AB=c作 CD 丄AB 于 D，貝U c=a2 和 c=a2 比較可知：CD=K SA ABC=ab=ck，二 ab=kc這道題借直角三角形的性質(zhì)，使解答簡捷、靈活、流暢，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合之優(yōu)越， 激發(fā)了學(xué)生興趣，增強(qiáng)了用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)解題的意向。解題中，還可以有意識(shí)地將代數(shù)方法和幾何方法并用，以增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)。例 3解方程組2x-y=13x+y=9先要求學(xué)生用一般解方程組的方法求解。再要求學(xué)生把每個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)關(guān)系式， 并在平面直角坐標(biāo)系中 畫出每個(gè)函數(shù)圖象，用交點(diǎn)坐標(biāo)求方程組的解。3、精選一些練習(xí)題，讓學(xué)生借助幾何圖形的性質(zhì)解決代數(shù)問題，或運(yùn)用代數(shù)方 法解決幾何問題，或?qū)?/p>

25、幾何、代數(shù)的方法并用，讓學(xué)生在訓(xùn)練中逐漸領(lǐng)悟數(shù)形結(jié) 合思想的實(shí)質(zhì)。例4數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖，試完成下列的計(jì)算，判斷或作圖。a01bc a+b的符號 c-b的符號 abc的符號 比較I c I和I a I的大小 比較和的大小 比較c2和a2的大小 化簡I a-b I - I a I 化簡 I a+c I + Ib - a I若數(shù)d滿足a+c+d=O,試在數(shù)軸上標(biāo)出d的位置 例5.若函數(shù)圖象y=ax2 + bx+ c如下列各圖所示,試分別決定a、b、c及的符 號。例6.矩形ABC呼,AB=10cm,BC=8cmO是以BC為直徑的圓,點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)（不 和A、D重合），BP交。0于Q

26、,連線CQ設(shè)線段BP的長為xcm, CQ的長為ycm, 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式和自變量 x 的取值范圍。4、把教材中滲透數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容系統(tǒng)化如數(shù)軸的引入為初一至初二的學(xué)生形象地研究有理數(shù), 進(jìn)而研究實(shí)數(shù)提供了工 具。 七年級下冊“變量間的關(guān)系” ,和八年級上冊“平面直角坐標(biāo)系” ,明確了平面 直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系, 并且研究了坐標(biāo)符號和點(diǎn) 的位置的關(guān)系及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離。 利用函數(shù)圖象直觀的解決一些實(shí)際問題，拓寬了數(shù)形結(jié)合的教學(xué)。 動(dòng)態(tài)問題是今后數(shù)學(xué)經(jīng)常研究的問題, 用函數(shù)解決一些簡單的動(dòng)態(tài)問題是常用 的方法。數(shù)形結(jié)合思想和其他各種數(shù)學(xué)思想一樣, 滲透在

27、整個(gè)教學(xué)內(nèi)容之中。 學(xué)生對數(shù)形 結(jié)合思想的掌握, 要經(jīng)歷從模糊到清晰的階段, 教學(xué)中要根據(jù)各年級學(xué)生的實(shí)際 水平和個(gè)別差異, 使他們萌發(fā)意識(shí)形成意向掌握深化, 在數(shù)學(xué)思想方法 的發(fā)展上更深入一步數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的使用“數(shù)形結(jié)合”我是這樣理解的：“數(shù)”是指課程中包括數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)原 理、數(shù)學(xué)法則等在內(nèi)的所有的知識(shí)和技能； “形”是指和知識(shí)、技能相關(guān)的的各 種教具、情景等； “數(shù)形結(jié)合”即把教具運(yùn)用、情景設(shè)計(jì)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)和技能 的教學(xué)中去， 并在整個(gè)過程中發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)精神， 增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 提高 學(xué)生思維水平。實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合和抽象思維協(xié)同運(yùn)用，和諧發(fā)展，全面提高 學(xué)生素質(zhì)的重

28、要方法之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有至關(guān)重要作用和地位。一、數(shù)形結(jié)合是激發(fā)學(xué)生求知欲，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效手段。 學(xué)生對學(xué)習(xí)的需要和興趣是調(diào)動(dòng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)的動(dòng)力。 數(shù)形結(jié)合，創(chuàng)設(shè)和知 識(shí)信息相關(guān)的各種情景，可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的濃厚興趣，產(chǎn)生學(xué)習(xí)熱情。例如：在 教學(xué)“比例尺”時(shí)，老師先出示一張我們國家的全國地圖，指出我國面積約有 960 平方公里，從東到西最長的距離有 5500千米，還有遼闊的海域，是世界上 的大國。正當(dāng)學(xué)生以祖國疆域的遼闊而感到自豪時(shí)，老師話鋒一轉(zhuǎn)： “這么廣大 的疆域怎么能畫在一張紙上呢？” 一語激起千層浪， 學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲 被調(diào)動(dòng)起來，教學(xué)過程在輕松愉快的氣氛中自然而然的繼續(xù)

29、。又如：在教學(xué)平面圖形的時(shí)候， 我布置學(xué)生自己復(fù)習(xí)我們所學(xué)的平面圖形有 哪些，各是什么樣子的，有什么特征？剛一開始， 學(xué)生們非常投入的高聲讀起來， 不一會(huì)兒，就各自為政， 注意力就從當(dāng)前的學(xué)習(xí)任務(wù)上轉(zhuǎn)移開來。 這時(shí)候我發(fā)現(xiàn) 這個(gè)苗頭，就及時(shí)調(diào)整了任務(wù)，同學(xué)們，我都熟悉了那些平面圖形，你能否用這 些圖形組成一幅畫哪？大家動(dòng)手拼一下， 看看誰拼的畫最美麗， 然后拿到前面來展示一下， 并且向 大家介紹你所拼組的圖畫有哪些平面圖形組成？學(xué)生的興趣立刻被激發(fā)起來， 不 一會(huì)兒，學(xué)生的作品就完成了，有的用三角形，長方形，圓形，正方形拼成了一 把寶劍：有的組成了一所學(xué)校；有的組成了一艘輪船 ; 還有的組成汽

30、車，大炮。 真是五花八門，豐富多彩。在此同時(shí)，學(xué)生加深了對這些平面圖形的認(rèn)識(shí)，圓滿地完成了學(xué)習(xí)任務(wù)。二、數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，幫助學(xué)生解難釋疑的良好方法。 數(shù)形結(jié)合解題，實(shí)際上是一個(gè)“數(shù)”和“形”互相轉(zhuǎn)化的過程，即把題目中 和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形， 將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化， 再根據(jù)對圖形的觀察、 分析、 聯(lián)想，逐步轉(zhuǎn)化成算式，以達(dá)到問題的解決。例：某校開展第二課堂活動(dòng)，參加 課外天文小組的共有 80 人，其中男生占 60%，后又有一批男生加入，這時(shí)男生 占總?cè)藬?shù)的 2/3 。問后又加入男生多少人？先把題中的數(shù)量關(guān)系化成圖形如下：再從圖形的觀察分析可以知道：若把原來的總?cè)藬?shù) 80 人看作 5 份，則男生 占 3 份，女生占 2 份，因而推知現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)為 6 份，加入的男生為