線性代數(shù)第四章答案說(shuō)課材料

1、線性代數(shù)第四章答案第四章向量組的線性相關(guān)性1 設(shè) V1(1 10)TV2 (0 1 1)T V3(3 4 0)T 求 V1 V2 及3vi 2v2 V3解 V1 V2(1 10)T(0 1 1)T(1 0 1 1 0 1)T(1 0 1)T3V1 2V2 V3 3(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T(3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0)T(0 1 2)t2 設(shè) 3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a)求 a 其中 a1 (2 5 1 3)Ta2 (10 1 5 10)T a3 (4 11 1)T解由 3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a)

2、整理得a 1(3a12a2 5a3)6g3(2,5,1,3)T2(10, 1,5,10)t 5(4,1, 1,1)T6(1 2 3 4)t3已知向量組A a1 (0 1 2 3)t a2 (3 0 1 2)T a3 (2 3 0 1)T B b1 (2 1 1 2)t b2 (02 1 1)T b3 (4 4 1 3)T證明B組能由A組線性表示但A組不能由B組線性表示證明由4 4 7 92 0 5 7.12 113 2 6 80 3121 o o Or 4 4 130 2 112 1122 3 0 13 0 120 12 3B)1 03124103124r 0 16157r 0161570 0

3、20515250041350 04135000000僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝2知R(A) R(A B) 3所以B組能由A組線性表示由410 210 24 02201110110003011000知R(B) 2因?yàn)镽(B) R(B A)所以A組不能由B組線性表示4已知向量組A a1 (0 1 1)T a2 (1 1 0)TB b1 ( 1 0 1)T b2 (1 2 1)T b3 (3 21)T證明A組與B組等價(jià)證明由1130 1 r13 01r131(B,A)0221 1 02 110211111 0 02 1100知 R(B)R(B A) 2顯然在A中有二階非零子式故R(A

4、)2又 R(A)R(BA)2!所以R(A) 2從而R(A)R(B)R(AB)因此A組與B組等價(jià)5 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 證明(1) a1能由a2 a3線性表示(2) a4不能由a1 a2 a3線性表示證明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4線性無(wú)關(guān)故a2a3也線性無(wú)關(guān)又由R(a1a2a3)2知a1 a2 a3線性相關(guān) 故a1能由a2 a3線性表示(2)假如a4能由a1a2a3線性表示貝V因?yàn)閍1能由a2a3線性表示故a4能由a2a3線性表示從而a2 a3 a4線性相關(guān) 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3線性表示6判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)(

5、1) ( 1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T(2 3 0)T ( 1 4 0)T (0 0 2)t解 以所給向量為列向量的矩陣記為A因?yàn)? 21 r 1 21 rA 314 077 1 0 1 0 2 2所以R(A) 2小于向量的個(gè)數(shù)從而所給向量組線性相關(guān)B因?yàn)閨B|22 0所以R(B) 3等于向量的個(gè)數(shù) 從而所給向量組線性相無(wú)關(guān)7問(wèn)a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？ai (a 1 1)T a2 (1 a 1)T a3 (11 a)T解 以所給向量為列向量的矩陣記為A由a11|A|1a111a如能使行列式等于 o,則此時(shí)向量組線性相關(guān)(具體看書(shū)后相應(yīng)答案)8設(shè)a1 a2線性無(wú)關(guān)a

6、1 b a2 b線性相關(guān) 求向量b用a1 a2線性表示的表示式解 因?yàn)閍1 b a2 b線性相關(guān) 故存在不全為零的數(shù)12使1(a1 b)2 b) 0由此得b1 2 1 a1 2- a21 2 1 2-a1(11 2-)a21 2設(shè)c1則12b ca1(1 c)a2 c R9設(shè)aia2線性相關(guān)bib2也線性相關(guān)問(wèn)aibia2b2是否一定線性相關(guān)？試舉例說(shuō)明之(也可看書(shū)后答案)解不一定例如當(dāng)ai(1 2)T,a2(2 4)T, bi( 11)T, b2 (0 0)T時(shí)有aibi(i2)t bi(0i)T, a2 b2(2 4)T (0 0)T (2 4)T而ai bi a2 b2的對(duì)應(yīng)分量不成比例

7、是線性無(wú)關(guān)的iO舉例說(shuō)明下列各命題是錯(cuò)誤的(1) 若向量組ai a2am是線性相關(guān)的 則ai可由a2am線性表示解設(shè)ai ei (i 0 00) a2 a3am 0貝U ai a2am線性相關(guān) 但ai不能由a2am線性表示(2) 若有不全為0的數(shù)i 2 m使iaimam i bimbm 0成立則ai a2am線性相關(guān)，bi b2bm亦線性相關(guān)解有不全為零的數(shù) i 2 m使iaimami bimbm 0原式可化為i(ai bi)m(am bm) 0取aieibia2e2 b2amembm其中eie2em為單位坐標(biāo)向量則上式成立而ai a2am和bi b2bm均線性無(wú)關(guān)(3)若只有當(dāng)i 2m全為0

8、時(shí)等式iaimami bimbm 0才能成立則ai a2am線性無(wú)關(guān)，bi b2bm亦線性無(wú)關(guān)解由于只有當(dāng)im全為0時(shí)等式成立所以只有當(dāng)i由iaimamibimbm 0m全為0時(shí)等式i(ai bi)2(a2 b2)m(am bm) 0成立 因此ai bi a2 b2am bm線性無(wú)關(guān)取ai a2am 0取bibm為線性無(wú)關(guān)組則它們滿足以上條件 但ai a2 am線性相關(guān)(4)若ai a2am線性相關(guān)，bi b2bm亦線性相關(guān)則有不全為0的數(shù) i 2>使iaimam 0 ibimbm 0同時(shí)成立解 ai (i 0)T a2 (2 0)T bi (0 3)T b2 (0 4)Tiai2a2

9、0 i 2 2i bi2b2 0 i (3/4) 2i 2 0與題設(shè)矛盾ii設(shè) biaia2b2a2a3b3 a3a4b4a4ai證明向量組bi b2 b3 b4線性相關(guān)證明由已知條件得aibia2a2b2a3a3b3a4a4b4ai于是 ai bi b2 a3bi b2 b3 a4bi b2 b3 b4 ai從而 bi b2 b3 b4 0這說(shuō)明向量組bi b2 b3 b4線性相關(guān)i2 設(shè) bi ai b2 ai a2br ai a2ar且向量組 ai a2ar線性無(wú)關(guān)證明向量組bi b2br線性無(wú)關(guān)證明已知的r個(gè)等式可以寫(xiě)成iii(b!, b2,br)(ai, a2,ar)0ii00i上式

10、記為B AK因?yàn)閨K| 1 0 K可逆所以R(B) R(A) r從而向量組b1 b2br線性無(wú)關(guān)13求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無(wú)關(guān)組(1)a1 (1 21 4)t a2 (9 100 10 4)T a3 ( 24 28)T解由1921921 92/ 、 21004 r0820r 0 10(a1, a2, a3)110201900 0044803200 00知R(a1 a2a3)2因?yàn)橄蛄縜1與a2的分量不成比例故a1a2線性無(wú)關(guān)所以a1a2是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組(4T2a3)121T1 a43UT3a6)512 131 o o o二15 5 0 di4 9 9 8di1 o o o二13 4 7

11、4 15 615 0 0知R(aiTa2Ta3T)R(aia2a3)2因?yàn)橄蛄縜iT與a2T的分量不成比例故aiTa2T線性無(wú)關(guān)所以aiT a2T是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組14利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組25 31 17 4375 94 53 132(1) 75 94 54 13425 32 20 48解因?yàn)?53117432 312531174325311743759453132r3 3r1123r432759454134B11353201253220481300所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無(wú)關(guān)組112 210 2 151(2) 2 0 313110 41解因?yàn)?1 22111

12、2211 122102 151/ 02151320 215120 3134102151340 022211 041002220 0000所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無(wú)關(guān)組（關(guān)于14的說(shuō)明：14題和書(shū)上的14題有些不同，答案看書(shū)后的那個(gè)）15設(shè)向量組(a 3 1)T (2 b 3)t (1 2 1)T (2 3 1)T的秩為2求a b16 設(shè) a1 a2an是一組n維向量 已知n維單位坐標(biāo)向量 e1 e2en能由它們線性表示證明a1 a2an線性無(wú)關(guān)證法一記A （a1 a2an) E (e1 e2en）由已知條件知存在矩陣K使解設(shè) a1 (a 3 1)T a2(2b3)Ta3(1 2 1)Ta

13、4 (23 1)T因?yàn)?2a21 1131113(a3，a4, a1, a2)233b0 1a 1101a1111130 11b 6002a b5而 R(a1 a2 a3 a4)2 所以 a 2 b 5E AK兩邊取行列式得El |A|K|可見(jiàn)|A| 0所以R(A) n從而ai a2an線性無(wú)關(guān)證法二 因?yàn)?ei e2en能由ai a2an線性表示所以R(ei e2en) R(ai a2an)而 R(ei e2en) n R(ai a2an) n所以R(ai a2an) n 從而 ai a2an線性無(wú)關(guān)17設(shè)ai a2an是一組n維向量，證明它們線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任一 n維向量都可由它們

14、線性表示證明 必要性 設(shè)a為任一 n維向量 因?yàn)閍i a2an線性無(wú)關(guān) 而ai a2an a是n 1個(gè)n維向量 是線性相關(guān)的 所以a能由ai a2an線性表示 且表示式是唯一的充分性已知任一 n維向量都可由ai a2an線性表示故單位坐標(biāo)向量組 ei e2en能由ai a2an線性表示于是有n R(ei e2en) R(ai a2an) n即R(ai a2an) n所以ai a2an線性無(wú)關(guān)I8設(shè)向量組ai a2am線性相關(guān) 且ai 0證明存在某個(gè)向量 ak (2 k m)使ak能由ai a2ak i線性表示證明 因?yàn)閍i a2am線性相關(guān) 所以存在不全為零的數(shù)i 2 m使iai 2a2mam

15、 0而且2 3m不全為零這是因?yàn)槿缛舨蝗?則iai 0由ai 0知i 0矛盾因此存在k(2 km)使k 0 k i k 2m 0于是iai 2a2kak 0ak (i/ k)( iai2a2k iak i)即ak能由ai a2ak i線性表示19設(shè)向量組B bibr能由向量組A aias線性表示為(bibr) (aias)K其中K為s r矩陣 且A組線性無(wú)關(guān) 證明B組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K) r證明 令 B (bibr) A (aias)則有 B AK必要性 設(shè)向量組B線性無(wú)關(guān)由向量組B線性無(wú)關(guān)及矩陣秩的性質(zhì)有r R(B) R(AK) min R(A) R(K) R(K)及

16、R(K) minr s r因此R(K) r充分性 因?yàn)镽(K) r所以存在可逆矩陣 C使KCEr O為K的標(biāo)準(zhǔn)形于是(bibr)C ( aias)KC (aiar)因?yàn)镃可逆 所以R(bibr) R(aiar) r從而bibr線性無(wú)關(guān)20設(shè)123n213nn1 23n1證明向量組 i 2n與向量組1 2n等價(jià)證明將已知關(guān)系寫(xiě)成011111(i，2,n)(1, 2,n)111110將上式記為B AK因?yàn)? 1 11 0 1 |K|1101 1 1111 ( 1)n 1(n 1) 0所以K可逆故有A BK 1由B AK和A BK 1可知向量組n與向量組12n可相互線性表示 因此向量組12n與向量組

17、12n等價(jià)021已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x 3Ax A2x且向量組x Ax A2x線性無(wú)關(guān)(1) 記P (x Ax A2x)求3階矩陣B使AP PB解因?yàn)锳P A(x Ax A2x)(Ax A2x A3x)(Ax A2x 3Ax A2x)0 0 0(x, Ax, A2x) 1 0 30 1 10 0 0所以B 1 0 30 1 1求Al解由 A3x3AxA2x得 A(3x AxA2x)0 因?yàn)?x AxA2x 線性無(wú)關(guān)故 3x AxA2x0即方程Ax 0有非零解 所以R(A) 3 |A| 0(從22題開(kāi)始，凡涉及到基礎(chǔ)解系問(wèn)題的，答案都不是唯一的，可以參考本文答案，也可以看書(shū)后的答

18、案，不過(guò)以書(shū)后的答案為主。每一題不再一一說(shuō)明)22求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系x1 8x2 10X3 2X4 0(1)2兇 4x2 5x3 x4 03為 8x2 6X3 2x4 018102r 104A 2451013/43862000解對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換有0 1/40于是得x14x3X2 (3/4必(1/4風(fēng)取(X3 X4)T (4 0)T 得(X1 X2)T ( 16 3)T 取(X3 X4)T (0 4)T 得(X1 X2)T (0 1)T 因此方程組的基礎(chǔ)解系為1 ( 16 3 4 0)T 2 (0 1 0 4)t2 3x2 2x3 X4 0 3為 5x2 4x3 2x4 08

19、為 7x2 6x3 3x4 02321r102/1935420114/198763000解對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換有1/197/190于是得x1(2/19)卷(1/19)x4x2(14/19)X3 (7/19)x4取(X3 X4)T (19 0)T 得(X1 X2)t ( 2 14)T取(X3 X4)t (0 19)T 得(X1 X2)t (1 7)t因此方程組的基礎(chǔ)解系為1 ( 2 14 19 0)T 2 (1 7 0 19)t(3) nxi (n 1)X22xn 1 xn 0.解原方程組即為Xn nX1 (n 1)X22xn 1取 X1 1X2X3Xn 1 0 得 Xn n取 X2 1 X

20、1 X3 X4Xn 1 0 得 Xn (n 1) n 1取 Xn 1 1 X1 X2Xn 2 0 得 Xn 2因此方程組的基礎(chǔ)解系為1 (1 0 02 (0 1 000n)n 1)Tn 1 (00 012)T23設(shè)A29251 3,求一個(gè)4 2矩陣B,使AB 0,且2 8R(B)2.解顯然B的兩個(gè)列向量應(yīng)是方程組 AB 0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 因?yàn)?2 1 3 101/81/895 2 8 0 15/8 11/8所以與方程組AB 0同解方程組為X (1/8)x3 (1/8)x x2 (5/8)x3 (11/8)X4取(X3 X4f (8 0)T 得(X1 X2)T (1 5)T取(X3 X4)T

21、 (0 8)T 得(X1 X2)T ( 1 11)T方程組AB 0的基礎(chǔ)解系為1 (1 5 8 0)T 2(1 11 0 8)T因此所求矩陣為B15 8 0110 824求一個(gè)齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為1 (0 1 2 3)T 2 (3 2 1 0)T解顯然原方程組的通解為X1X2X3X401233X1 32i 2剛x2匕2 &k2 1，即 x3 2k, & (k1 k2 R)0x4 3k1消去k1 k2得2x1 3x2 X4 0 x1 3卷2冷025設(shè)四兀齊次線性方程組I兇X20 IIX1X2X30X2x4 0x2X3X40求(1)方程I與II的基礎(chǔ)解系1與II的公共解

22、此即所求的齊次線性方程組解(1)由方程1得：x4x4取(X3X4)T(10)T得(X1X2)T(00)T取(X3X4f(01)T得(X1X2)T(1 1)T因此方程I的基礎(chǔ)解系為1 (0 0 1 0)T 2(110 1)T由方程11得:X4X3取(X3X4f(1 0)T 得(X1X2)T(0 1)T取(X3X4)T(0 1)T 得(X1X2)T(11)T因此方程II的基礎(chǔ)解系為1 (0 1 1 0)T2 ( 1 1 0 1)T(2) I與II的公共解就是方程X!X20IIIX2X400X!X2X3X2X3X0的解因?yàn)榉匠探MIII的系數(shù)矩陣11001001A 0101 0101A 1110001

23、201110000所以與方程組III同解的方程組為X1X4X2XX32x4取X4 1得(X1 X2 X3)T ( 1 1 2)T 方程組III的基礎(chǔ)解系為(11 2 1)T因此1與II的公共解為x c( 1 1 2 1)Tc R26設(shè)n階矩陣A滿足A A E為n階單位矩陣，證明R(A) R(A E) n 證明 因?yàn)?A (A E) A2 A A A 0 所以 R(A) R(A E) n 又 R(A E) R(E A)可知R(A) R(A E) R(A) R(E A) R(A E A) R(E) n由此 R(A) R(A E) n27設(shè)A為n階矩陣(n 2) A*為A的伴隨陣 證明n當(dāng) R(A)

24、nR(A*)1當(dāng) R(A)n10當(dāng) R(A)n2證明 當(dāng)R(A) n時(shí)|A| 0故有|AA*| |A|E| |A| 0 A*l 0所以R(A*) n當(dāng)R(A) n 1時(shí)|A| 0故有AA* |A|E 0即A*的列向量都是方程組 Ax 0的解 因?yàn)镽(A) n 1所以方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解向量即基礎(chǔ)解系的秩為1因此R(A*) 1當(dāng)R(A) n 2時(shí)A中每個(gè)元素的代數(shù)余子式都為0故A* O從而R(A*) 028求下列非齊次方程組的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(1)為2x15X(x2 5X2X3 2x4 13x2 2x3 2x4 3解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換有1 100 5r

25、101 08B 2 112 1 0 11 0135 322 30 00 12與所給方程組同解的方程為xX3 8x2X3 13&2當(dāng)X3 0時(shí)得所給方程組的一個(gè)解(813 0 2)t與對(duì)應(yīng)的齊次方程組冋解的方程為X1X3x2X3X40當(dāng)X3 1時(shí)得對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系(1 11 0)Tx1 5x2 2x3 3X4 11 5x( 3x2 6x3 X412 4x2 2x3 x46解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換有15 23 11r109/71/21B 5 3 611011/71/222 4 2 1600000與所給方程組同解的方程為X1 (9/7)X3 2)X4 1 x2 (1X (1/2)

26、x4 2當(dāng)X3 X4 0時(shí)得所給方程組的一個(gè)解(1 2 0 0)T與對(duì)應(yīng)的齊次方程組同解的方程為X1 (9/7風(fēng)(1/2)X4 X2(1/7)X3 ("2)X4分別取(X3 X4)T (1 0)T (0 1)T得對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系1 ( 9 1 7 0)T 2 (11 0 2)t29設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3已知12 3是它的三個(gè)解向量1 (2 3 4 5)t23 (1 2 3 4)t求該方程組的通解解 由于方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)是 4系數(shù)矩陣的秩為3所以對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的 基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量且由于1 2 3均為方程組的解由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得2

27、1( 23) ( 12) ( 13) (3 4 5 6)t為其基礎(chǔ)解系向量故此方程組的通解x k(3 4 5 6)T (2 3 4 5)T (k R)30 設(shè)有向量組 A ai (2 10)T a2 ( 2 1 5)T a3 ( 1 1 4)T 及 b (11)T 問(wèn) 為何值時(shí)(1) 向量b不能由向量組 A線性表示(2) 向量b能由向量組A線性表示 且表示式唯一(3) 向量b能由向量組A線性表示 且表示式不唯一一并求一般表示式121r121解(a3, a2, a1, b) 112 01114 5 1010043(1) 當(dāng)40時(shí)R(A) R(A b)此時(shí)向量b不能由向量組 A線性表示(2) 當(dāng)4

28、時(shí)R(A) R(A b) 3此時(shí)向量組a1 a2 a3線性無(wú)關(guān) 而向量組a1 a2 a3 b線性相關(guān) 故向量b能由向量組A線性表示 且表示式唯一(3) 當(dāng) 40時(shí)R(A) R(A b) 2此時(shí)向量b能由向量組A線性表示 且表示式不唯一當(dāng) 40時(shí)124 1 r 1 02 1(a3, a2,a1, b) 112 0 0 1 314 5 1010000方程組(a3 a2 a”x b的解為人212c 1x2c 313C 1 c RX310c因此 b (2c 1)a3 (3c 1)a2 ca1即 b ca1 ( 3c 1)a2 (2c 1)a3 c R31 設(shè) a (a1 a2 a3)T b (b1 b

29、2 b3)T c (C1 C2 C3)T 證明三直線11 a1x b1y C1 012 a2x b2y C2 0 (ai2 bi2 0 i 1 2 3)13 a3x b3y C3 0相交于一點(diǎn)的充分必要條件為向量組a b線性無(wú)關(guān) 且向量組a b c線性相關(guān)證明三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為方程組有唯一解上述方程組可寫(xiě)為 xa ybc因此三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為C能由qxq0a1xQyQyc20即a2xdydyc30asxdyCiC2C3a b唯一線性表示 而c能由a b唯一線性表示的充分必要條件為向量組a b線性無(wú)關(guān) 且 向量組a b c線性相關(guān)32設(shè)矩陣 A (aia2a3a4)其

30、中a2a3a4線性無(wú)關(guān)ai2a2a3向量b ai a2a3a4求方程Ax b的通解解由b ai a2 a3 a4知(1 1 1 1)T是方程 Ax b的一個(gè)解由 ai 2a2 a3得 ai 2a2 a3 0 知 (12 1 0)T 是 Ax 0 的一個(gè)解由a2 a3 a4線性無(wú)關(guān)知 R(A) 3故方程Ax b所對(duì)應(yīng)的齊次方程 Ax 0的基礎(chǔ)解系中含一 個(gè)解向量 因此 (12 1 0)T是方程Ax 0的基礎(chǔ)解系方程Ax b的通解為x c(1 2 1 0)T (1 1 1 1)T c R33設(shè)*是非齊次線性方程組Ax b的一個(gè)解，12 nr是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明(1) *1 2

31、n r線性無(wú)關(guān)(2) *1*2* n r線性無(wú)關(guān)證明(1)反證法，假設(shè)*12 n r線性相關(guān) 因?yàn)?2 n r線性無(wú)關(guān) 而*12 n r線性相關(guān) 所以*可由1 2 n r線性表示 且表示式是唯一的這說(shuō)明*也是齊次線性方程組的解矛盾顯然向量組 *1*2* n r與向量組 * 1 2 n r可以相互表示 故這兩個(gè)向量組等價(jià)而由知向量組* 1 2 n r線性無(wú)關(guān) 所以向量組* * 1*2* n r也線性無(wú)關(guān)34 設(shè) 12s是非齊次線性方程組Ax b的s個(gè)解k：1 k2ks為實(shí)數(shù)滿足k1ks 1.證明x k1 1k2 2ks s也是它的解證明因?yàn)?2s都是方程組Axb的解所以A i b (i1 2s)

32、從而A(k1 1k22kss)k1A1k2A2ksAs(k1 k2ks)b b因此x k1 1 k22ks s也是方程的解n r 1是它的n r 1個(gè)線35設(shè)非齊次線性方程組 Ax b的系數(shù)矩陣的秩為r 12設(shè)x為Ax b的任意解則x1為Ax0的解故x 1可由12x 1 k2 1k3 2kn r 1n rk2( 21) k3(31)kn r 1(n r 11)x 1(1 k2k3knr 1) k2 2 k3 3k n r 1 n r 1k1 1 k2 k3kn r1則k1k2 k3kn r 1 1于是n r線性表出設(shè)性無(wú)關(guān)的解試證它的任一解可表示為x k11 k2 2kn r 1 n r 1

33、(其中 k1 k2kn r 1 1).證明 因?yàn)?2n r 1均為Ax b的解所以121231nrn r 11均為Ax b的解用反證法證1 2n r線性無(wú)關(guān)設(shè)它們線性相關(guān)則存在不全為零的數(shù)12n r使得1 12 2nr n r 0即1(2 1)2( 31)n r( n r 11) 0亦即(1 2n r) 1122 3n r n r 10由12n r1線性無(wú)關(guān)知(12n r)12n r 0矛盾因此1 2n r線性無(wú)關(guān) 12n r 為 Axb的一個(gè)基礎(chǔ)解系x kl 1 k2 2kn r 136設(shè)Vi x (xi X2Xn)T | X1Xn R 滿足 X1 X2Xn 0V2 X (Xi X2Xn)T | X1Xn R 滿足 X1 X2Xn 1問(wèn)V1 V2是不是向量空間？為什么?解V1是向量空間因?yàn)槿稳∮?a1 a2an)T V1(b1 b2bn)T V1 Ran 0b1 b2bn 0從而 (a1 b1)(a2b2)(an bn)所以(a1 a2a1a2(a1 b1(a1 a2V2不是向量空間(a1 a2有a1 a2b2an) (b1an (a1 a2a2 b2an)T因?yàn)槿稳n)T V1an 1an bn)TV1(b1 b2V1bn) 0an) 0bn)T V1b1 b2bn 1從而 (a1 b1)(a2b2)(an bn)(a1