立體幾何復(fù)習講義全解

1、圓夢教育1對1個性化輔導講義學員姓名學校年級及科目教師課題空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系授課時間教學目標掌握平面的基本性質(zhì)，在充分理解本講公理、推論的基礎(chǔ)上結(jié)合圖形理解點、線、面的位 置關(guān)系及等角定理.教學內(nèi)容【基礎(chǔ)知識回顧】1.平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2 :過的三點，有且只有一個平面.公理3 :如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們過該點的公共直線.2直線與直線的位置關(guān)系(1) 位置關(guān)系的分類©面盲基相交直線；同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點； 龍(平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線；不同在任何一個平面內(nèi).沒有公共

2、點。(2) 異面直線所成的角 定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點0作直線a / a, b / b,把a與b 所成的銳角或直角叫做異面直線a, b所成的角(或夾角).(it 1 范圍：0, 1.1 23直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.5平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.6等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.【方法指導】兩種方法異面直線的判定方法：(1)判定定理：平面外一點 A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（2）反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明

3、兩線不可能共面，從而可得兩線異面. 三個作用（1）公理1的作用：檢驗平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi).（2）公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷直線共面”的方法.（3）公理3的作用：判定兩平面相交；作兩平面相交的交線；證明多點共線.【考點自測】1 .下列命題是真命題的是 （）.A. 空間中不同三點確定一個平面B. 空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面C. 一條直線和一個點能確定一個平面D. 梯形一定是平面圖形2. 已知a, b是異面直線，直線 c平行于直線a,那么c與b（）.A. 定是異面直線B. 定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線

4、3. （2013浙江）下列命題中錯誤的是（）.A. 如果平面a丄平面3那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面3B. 如果平面 a不垂直于平面 3,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面3C. 如果平面 a丄平面 y平面3丄平面 Y aCl 3=丨，那么I丄平面 丫D. 如果平面a丄平面3那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面34. （2014武漢月考）如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線（）.A. 12 對 B . 24 對 C . 36 對 D . 48 對5. 兩個不重合的平面可以把空間分成 部分.6. 給出下列四個命題： 垂直于同一直線的兩條直線互相平行； 垂直于同一平

5、面的兩個平面互相平行； 若直線I1、12與同一平面所成的角相等，則11、12互相平行； 若直線I1、12是異面直線，則與I1、12都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)（）A. 1B. 2 C. 3D. 47若三個平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成A. 5部分B. 6部分 C 7部分D. 8部分&如下圖所示，點 P, Q R, S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與 RS是異面直線的一個圖是(AQSB9.三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為 5.如下圖所示，正方體 ABC A1B1C1D仲,(1)求A1C1與B

6、1C所成角的大小； 若E、F分別為AB AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.【考點探究】考點一例1正方體ABCDBCD中，P、Q R分別是AB AD BC的中點，那么，正方體的過 P Q R的截面圖形是().A.三角形B 四邊形C 五邊形D 六邊形方:;匸；律門畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快的確定交線的位置.【訓練1】下列如圖所示是正方體和正四面體,考點二異面直線例2如圖所示，AB正方體 ABCDBCD中，M N分別是 AB、BC的中點.問:(1) AM和CN是否是異面直線？說明理由；DB

7、和CC是否是異面直線？說明理由.【訓練2】 在下圖中，G H M N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH MN是異面直線的圖形CD上的點，且例4正方體ABCD-1BGD中，E、F分別是 AB和AA的中點.求證:(1) E、G D、F四點共面;CE DF、DA三線共點.【訓練4】 如圖所示，已知空間四邊形 ABCDK E、H分別是邊AB AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊CF CG 2 CB" CDT 3,求證:三條直線EF GH AC交于一點.【作業(yè)】知能演練一、選擇題1 .已知a, b是異面直線，直線 c/直線a,則c與bA. 定是異面直線B. 定是相交直線C.不可能是平行直

8、線D.不可能是相交直線2 四面體每相對兩棱中點連一直線，則此三條直線A.互不相交B.至多有兩條直線相交C.三線相交于一點D.兩兩相交有三個交點3 .若P是兩條異面直線I、m外的任意一點，則A.過點P有且僅有條直線與I、m都平行B.過點P有且僅有條直線與I、m都垂直C.過點P有且僅有條直線與I、m都相交D.過點P有且僅有條直線與I、m都異面4.正四棱柱ABCB ABCD中,AA= 2AB則異面直線 AiB與AD所成角的余弦值為1A. 52B.53C.54 D.5、填空題5.如圖所示，在三棱錐 C-ABD中, E、F分別是 AC和 BD的中點，若 CD= 2AB= 4, EF丄ABEF 與 CD所

9、成的角是4個頂點，這些幾何體是 .(寫出所有正6 在正萬體上任意選擇 4個頂點，它們可能是如下各種幾何體的 確結(jié)論的編號). 矩形 不是矩形的平行四邊形 有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體 每個面都是等邊三角形的四面體 每個面都是直角三角形的四面體三、解答題7 有一矩形紙片ABCD AB= 5, BC= 2, E, F分別是 ABCD上的點，且 BE= CF= 1，如下圖現(xiàn)在把紙片沿EF折成圖形狀，且/ CFD= 90 °DF CAE B口CAE(1) 求BD的距離；(2) 求證：AC BD交于一點且被該點平分.高考模擬預(yù)測1.正方體ABCB ABCD的棱上到異面

10、直線 AB CC的距離相等的點的個數(shù)為A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知三棱柱 ABC-ABC的側(cè)棱與底面邊長都相等，A在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線 AB與B. 543D.4CC所成的角的余弦值為A. C.47 3已知正四棱柱 ABCDAiBiCD中，AA = 2AB, E為AA中點，則異面直線 BE與CD所成角的余弦值為4A.1010B.5D.4 空間四邊形 ABC中，各邊長均為1,若BD= 1，則AC的取值范圍是立體幾何知識點:1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱:幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截

11、 面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點（4） 圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。（5） 圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。（6） 圓臺：定義：以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)

12、面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。幾何特征：球的截面是圓;（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體球面上任意一點到球心的距離等于半徑。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。（2） 特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，I為母線）S直棱柱側(cè)面積=chS圓柱側(cè)二2二rh S正棱錐側(cè)面積ch'2S圓錐側(cè)面積=rl1 (S正棱臺側(cè)面積=2 (ci c2) hS圓柱表=2二r r I(3)柱體、錐體、臺體的體積公式2V柱=ShV圓柱=Sh =二 rS圓臺側(cè)面積-(r R)二1S圓錐表二-T r

13、 1S圓臺表-： r2 rl RlR2V臺 J(s' + Js'S +S)hV圓臺3(4)球體的表面積和體積公式：1hV錐Sh3= ；（s'、SS S）h二V 球=tjiR331 2 V圓錐=-r h31 2 2二（r2 rR R2）h 32；S球面=4二R圓錐1、平面及基本性質(zhì) 公理 1 A 三 I, B ：= I, A 三：£, B : =T 二：: 公理 2 若 P 三：；，P ：=,則:-":=a 且 P e .：公理3不共線三點確定一個平面(推論 1直線和直線外一點,2兩相交直線,3兩平行直線)2、空間兩直線的位置關(guān)系共面直線：相交、平行(

14、公理4)異面直線3、異面直線(1) 對定義的理解：不存在平面：，使得a二：且b =:(2) 判定：反證法(否定相交和平行即共面)( 3)求異面直線所成的角：平移法即平移一條或兩條直線作出夾角，再解三角形向量法 cosB =| cos <a, b a|=丨$ 21|a|b|(注意異面直線所成角的范圍(吒)(4)證明異面直線垂直，通常采用三垂線定理及逆定理或線面垂直關(guān)系來證明;向量法 a _ b ：= a 2=0(5)求異面直線間的距離：大綱僅要求掌握已給出公垂線或易找出公垂線的有關(guān)問題計算9.2直線與平面的位置關(guān)系1、直線與平面的位置關(guān)系a - ：ja ： ,a： = A2、直線與平面平行

15、的判定b <Z a（1）判定定理：b/a »二ba （線線平行，則線面平行）a c a/ I-一一（2） 面面平行的性質(zhì)：=a/ :（面面平行，則線面平行）a u a J3、直線與平面平行的性質(zhì)a/ 】,a 二"二a/b （線面平行,則線線平行4、直線與平面垂直的判定一 I 丄 G ,（1 ）直線與平面垂直的定義的逆用、二I丄aa匚a J丨丄m, I丄n'（2） 判定定理：m,n= I _（線線垂直，則線面垂直）mn 二 Aa/b '（3）a 丄 a b丄m Jo（丄 0（4） 面面垂直的性質(zhì)定理：=1丄P （面面垂直，則線面垂直）a u c（, a丄

16、丨（5）面面平行是性質(zhì):5、射影長定理 6、三垂線定理及逆定理線垂影=線垂斜9.3 兩個平面的位置關(guān)系1、 空間兩個平面的位置關(guān)系相交和平行2、兩個平面平行的判定a/o（ b/«1（1） 判定定理：'一./-（線線平行，則面面平行）a,bu E,acb = PI（2）一 ： / ：垂直于同一直線的兩個平面平行I -:（3）/ =平行于同一平面的兩個平面平行3、兩個平面平行的性質(zhì)(1)(2)面面平行的性質(zhì)定理:J/Q 咐=a, 一：二 b= a/b （面面平行，則線線平行）(3)性質(zhì)2: : /卩,丨.I性質(zhì) 1 ： 、； / I', a ： = a/ '4、兩個平面垂直的判定與性質(zhì)(1)判定定理：a ,a - . = ：.1（線面垂直，則面面垂直）（2）性質(zhì)定理：面面垂直的性質(zhì)定理:a丄P （面面垂直，則線面垂直）a 二：；，a _ I 9.4 空間角1、異面直線所成角22、斜線與平面所成的角（0,）2（1）求作法（即射影轉(zhuǎn)化法）：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足（2）向量法：設(shè)平面:-的法向量為n，則直線AB與平面所成的角為二，則|AB n |. 二sin）-：|cos ： AB, n |（0,）I A