第14章組合變形

1、第第14章章 組合變形及連接部分的計算組合變形及連接部分的計算141 143 拉伸（壓縮）與彎曲拉伸（壓縮）與彎曲144 偏心拉伸（壓縮）偏心拉伸（壓縮） 截面核心截面核心142 斜彎曲斜彎曲145 彎曲與扭轉(zhuǎn)彎曲與扭轉(zhuǎn)1414概述概述一、組合變形一、組合變形 ：在荷載作用下，構(gòu)件往往產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，當幾種變形所對應(yīng)的應(yīng)力屬同一數(shù)量級時，則構(gòu)件的變形稱為組合變形。 煙囪（圖a）有側(cè)向荷載（風荷，地震力）時發(fā)生彎壓組合變形。 齒輪傳動軸（圖b）發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形（兩個相互垂直平面內(nèi)的彎曲加扭轉(zhuǎn)）。 吊車立柱（圖c）受偏心壓縮，發(fā)生彎壓組合變形。二、組合變形的研究方法二、組合變形

2、的研究方法 疊加原理疊加原理 對于組合變形下的構(gòu)件，在線性彈性范圍內(nèi)且小變形的條件下，可應(yīng)用疊加原理將各基本形式變形下的內(nèi)力、應(yīng)力或位移進行疊加。、外力分析外力分析：外力向形心(后彎心)簡化并沿主慣性軸分解；、內(nèi)力分析內(nèi)力分析：求每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險面；畫危險面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險點的強度條件。 14142 2 斜彎曲斜彎曲一、定義：一、定義：雙對稱截面梁在水平和垂直兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)同時承受橫向外力時，桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與合成彎矩不共面。這種彎曲也稱斜彎曲。二、斜彎曲的研究方法二、斜彎曲的研究方法 ：1、分解：將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是

3、得到兩個正交的平面彎曲。2、疊加：對兩個平面彎曲進行研究；然后將計算結(jié)果疊加。 圖示懸臂梁承受如圖所示的荷載作用。分析其任意截面處內(nèi)力及截面任一點的應(yīng)力情況。1、任意截面mm處的彎矩xFMy1)(2axFMz由F1引起的：由F2引起的：這里彎矩的正負號系根據(jù)圖b所示，由右手螺旋法則按它們的矢量其指向是否與y軸和z軸的指向一致來確定的。My引起的應(yīng)力：zIMyyMz引起的應(yīng)力：yIMzz 總應(yīng)力：yIMzIMzzyy 2、 截面上C 點處的正應(yīng)力為： 為確定截面上最大正應(yīng)力點的位置，先確定中性軸的方程：設(shè)x0、y0為中性軸上任一點的坐標，由中性軸各點處的正應(yīng)力均為零，得中性軸方程為：000yIM

4、zIMzzyytantan00zyzyyzIIIIMMyz中性軸與y軸的夾角：3、 中性軸方程 其中 角為合成彎矩 與y的夾角。22zyMMM4、最大正應(yīng)力 在中性軸兩側(cè)，距中性軸最遠的點為拉壓最大正應(yīng)力點。按下述方法確定： 作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面的周邊相切，這兩個切點（圖a中的點D1，D2）就是該截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力為最大的點。從而可分別計算水平和豎直平面內(nèi)彎曲時這兩點的應(yīng)力，然后疊加。 1maxDt2maxDc 對于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其橫截面都有兩個相互垂直的對稱軸，且截面的周邊具有棱角，故橫截面上的最大正應(yīng)力必發(fā)生在截面的棱角處。于是，可以根據(jù)梁的變形情況，

5、直接確定截面上最大拉應(yīng)力、壓應(yīng)力的位置，而無需定出中性軸。5、變形計算22zyfff fzfyfzyfftg例題例題14-1 14-1 20a號工字鋼懸臂梁承受均布荷載 q 和集中力F=qa/2，已知鋼的許用彎曲正應(yīng)力160MPa，a1m。試求梁的許可荷載集度q。qaFFy383. 040cos解：解： 將集中力沿兩主軸分解。，zyFq40ABCaaqaFFz321. 040sin繪出兩個主軸平面內(nèi)的彎矩圖。求A、D截面上的最大拉應(yīng)力。EIFlEIFlEIFly362333max 0.617a0.266qa20.383qa20.456qa2Mz 圖(Nm)My 圖(Nm)0.642qa2ADC

6、0.444qa20.321qa2可見，梁的危險點在A截面處。強度條件為：qqqWMWMzzAyyAA36262max105 .21102371266. 0105 .311642. 0 qqqWMWMzzDyyDD36262max1002.16102371456. 0105 .311444. 0 63maxmax10160105 .21qAkN/m44. 7q解得： 14143 3 拉伸（壓縮）與彎曲拉伸（壓縮）與彎曲橫向力和軸向力共同作用在軸向力作用下各截面各點處應(yīng)力均為：AFAFtNtFFtl WFlWMbmax 桿件的最大正應(yīng)力是危險截面上邊緣各點處的拉應(yīng)力，其值為： 在橫向力作用下，固定

7、端截面彎矩最大，所以，支座截面是桿的危險截面。由彎矩引起的彎曲最大正應(yīng)力出現(xiàn)在該截面的上下邊緣處，其絕對值為：WFlAFttmax, 例題142 一折桿由兩根無縫鋼管焊接而成。已知兩鋼管的外徑均為140mm，壁厚均為10mm。試求折桿危險截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。1.6m1.6m10kNABC1.2mFBFAFAX 解：解：1.先求出約束力FA=FB= 5 kN。折桿的受力圖如圖b。10kNABC1.2mFBFAFAxFAyxmm圖(b)由于折桿及受力均對稱，取一半及桿AC分析。將約束力FA分解為FAx =3 kN和FAy=4 kN后可知，AC 桿的危險截面為m-m(圖b)，其上的內(nèi)力為

8、 FN=-FAx=-3 kNMmax=FAy2= 8 kNm 2. AC桿危險截面m-m上的最大拉應(yīng)力t,max和最大壓應(yīng)力c,max分別在下邊緣f點處和上邊緣g點處(圖b)： WMAFmaxNmax, tWMAFmaxNmax, c36m101242/DIW10kNABC1.2mFBFAFAxFAyxmm圖(b)gf 2. AC桿危險截面m-m上的最大拉應(yīng)力t,max和最大壓應(yīng)力c,max分別在下邊緣f點處和上邊緣g點處(圖b)： 3. 根據(jù)鋼管的橫截面尺寸算得：2422m108 .40)2(4DDA4844m10868)2(64DDI36m101242/DIW36m101242/DIW 4

9、. 將FN 和Mmax以及A和W的值代入得 MPa63.8Pa108 .63m10124mN108m1040.8N103636-324-3maxt,MPa65.2Pa102 .65m10124mN108m1040.8N103636-324-3max, c 作用在直桿上的外力。當其作用線與桿的軸線平行但不重合時，將引起偏心拉伸或偏心壓縮。如圖（a)所示。zxyF（b）MF（a）zyezxFMz（c）Myy（yF，zF) 14144 4 偏心偏心拉伸（壓縮）拉伸（壓縮） 1、偏心拉伸（壓縮）內(nèi)力、應(yīng)力分析偏心拉伸（壓縮）內(nèi)力、應(yīng)力分析 將偏心拉力F向其作用截面的形心O1簡化為軸向拉力F和力偶矩Fe

10、，再將該力偶矩分解為對形心主慣性軸y和z的分量Mey和Mez(圖b及圖c)：yzMeyMezFeO1則任意橫截面nn上的內(nèi)力為0FN=F, My=Mey=FzF, Mz=Mez=FyF 橫截面上任意點C ( y, z ) 處的正應(yīng)力為AFNyzMeyMezFeO1C(y,z）yFyyIzFzIzM 由軸力FN引起的正應(yīng)力為：由彎矩My引起的正應(yīng)力為：zFyFzzyyIyFyIzFzAFIyMIzMAFN由彎矩Mz引起的正應(yīng)力為：zFzzIyFyIyM 疊加，得C點的正應(yīng)力為：(a) 式中，A為橫截面面積， Iy和Iz分別為橫截面對y軸和z軸的慣性矩。利用慣性矩與慣性半徑的關(guān)系：2yyAiI 2

11、zzAiI 式(a)可寫為：)1 (22zFyFiyyizzAF上式是一個平面方程，它表明偏心拉伸時桿的橫截面上的正應(yīng)力按直線規(guī)律變化。(b) 2 2、 偏心拉偏心拉( (壓壓) )桿橫截面上中性軸的位置桿橫截面上中性軸的位置令中性軸上任意點的坐標為y0，z0，以此代入式(b)并令=0可得中性軸的方程：012020zFyFiyyizz可見，偏心拉伸時中性軸為一條不通過橫截面形心的直線（圖a）。yzO1中性軸 為定出中性軸的位置，可利用其在y 軸、z 軸上的截距y、z，上式中，令z0 =0，相應(yīng)的y0即為y ，令y0 =0，相應(yīng)的z0即為z，由此求得yzO1中性軸Fzyyia2Fyzzia2，由

12、此可知，中性軸與偏心拉力作用點位于截面形心的相對兩側(cè)。 3、 橫截面上危險點的位置 對于沒有外棱角的截面，可作兩條平行于中性軸的直線使與橫截面的周邊相切，如圖所示，切點D1和D2分別就是橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的危險點，根據(jù)它們的坐標即可確定最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。 對于周邊具有棱角的截面，其危險點必定在橫截面的外棱角處，并可根據(jù)桿件的變形情況來確定。 例如，矩形截面桿受偏心拉力例如，矩形截面桿受偏心拉力F F作用作用, ,若桿任一橫截面上的內(nèi)若桿任一橫截面上的內(nèi)力分量為軸力力分量為軸力F FN N= =F F，彎矩，彎矩M My y=F=Fz zF F和和M Mz z=F=Fy

13、 yF F，則與各內(nèi)力分量，則與各內(nèi)力分量相對應(yīng)的正應(yīng)力變化規(guī)律如圖相對應(yīng)的正應(yīng)力變化規(guī)律如圖a a，b b，c c所示；所示； 由疊加原理，即得桿在偏心拉伸時橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律（圖d），可見，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別在截面的棱角D1、D2處，其值為： zFyFzFyFWFyWFzAFWFyWFzAFmax, cmax, t上式對于箱形、工字形等具有棱角的截面都是適用的。由上式還可看出，當外力的偏心距e(亦即yF , zF)較小時，橫截面上就可能不出現(xiàn)壓應(yīng)力，亦即中性軸不與橫截面相交。 例題例題14-314-3 桁架的一斜拉桿由一根100mm80mm10mm的不等邊角鋼制成，其兩端在長

14、邊的中點處用鉚釘連接于厚度為12mm的結(jié)點板上。圖中mm為鉚釘軸線，DD為結(jié)點板厚度中線。已知斜桿所受的軸向拉力F通過結(jié)點板厚度中線與鉚釘軸線的交點A，其值為F=100kN,試求斜桿內(nèi)的最大拉應(yīng)力，并將結(jié)果與軸向拉伸時的應(yīng)力相比較。解解：由于不等邊角鋼為非對稱截面，為求出斜桿內(nèi)的最大拉應(yīng)力，應(yīng)先從型鋼規(guī)格表中查出角鋼截面的形心主慣性軸位置以及其它有關(guān)數(shù)據(jù)。 m50100yCBzCAmzz0y0y0By0Fz0By型鋼規(guī)格表中得：0.622tan31.2mm,mm3 .21CCzy，由此可得角鋼截面的形心主慣性軸y0、z0如圖所示。 m50100yCBzCAmzz0y0y0By0Fz0By48z

15、0zyy0m105 .212IIII所以m1069. 1cm69. 1im101 .49cm1 .49m107 .94cm7 .94m109 .166cm9 .661m1017.17cm17.172z0484z0484z484y242，IIIA24y020m104 .12AIiy m104m102 . 2220z0220y0FyFzziyi中性軸在y0、z0軸上的截距為：m101 . 3mm31zm103 . 1mm1320F20F，y按截距畫出中性軸nn如圖所示，由圖可知截面拉應(yīng)力區(qū)中B點離中性軸最遠，該點即為最大拉應(yīng)力所在的點，其坐標值可由圖量得為：m50100yCBzCAmzz0y0y0

16、By0Fz0Bynn m50100yCBzCAmzz0y0y0By0Fz0Bynnm1045. 1mm5 .14zm105 . 3mm3520B20B，y最大拉應(yīng)力為：MPa130)1 (02000200max, tBzFByFByiyzizAF由上例計算可見，與軸向拉伸時的應(yīng)力相比，偏心拉伸時的應(yīng)力增大至2.23倍。 4 4、截面核心、截面核心 當偏心拉力F的偏心距較小時，桿件的橫截面上可能不出現(xiàn)壓應(yīng)力。同理，當偏心壓力F的偏心距較小時，桿件的橫截面上可能不出現(xiàn)拉應(yīng)力。土建工程中的混凝土或磚、石砌體，其抗拉強度遠低于抗壓強度，這就要求構(gòu)件在偏心受壓時，橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力。這就要求偏心壓力只

17、能作用在橫截面形心附近的某個范圍內(nèi)；這個范圍稱之為截面核心。1 1）、截面核心的定義：）、截面核心的定義： 2 2）、截面核心的確定：）、截面核心的確定： 圖中所示任意形狀的截面，y軸和z軸為其形心主慣性軸。 為確定截面核心的邊界(圖中的封閉曲線1-2-3-4-1)，可將與截面周邊相切的任一直線看作中性軸，其在y、z兩個形心主慣性軸上的截距分別為ay1、az1。ay1az1yz1234 ay1az1yz1234 根據(jù)中性軸在形心主慣性軸上截距的計算公式Fzyyia2Fyzzia2可求出該中性軸所對應(yīng)的偏心壓力作用點1的位置，亦即截面核心邊界上一個點的坐標ry1,rz1：121yzyai121z

18、yzai ay1az1yz1234 同樣，分別將與截面周邊向切或外接的直線、.等看作中性軸，并按上述相同方法求得與其相應(yīng)的截面核心邊界上點2、3 、.等的坐標。連接這些點所得到的一條封閉曲線，即為所求截面核心的邊界，而該邊界曲線所包圍的帶陰影線的面積，即為截面核心。注意：截面核心的每一邊界點與對應(yīng)的截面周邊上的切線和外接的直線（中性軸）總是位于截面形心的相對兩側(cè)。 (1) 圓截面的截面核心： 圓截面對圓心（形心）O是極對稱的，因而其截面核心的邊界必然也是一個圓心為O的圓。作一條如圖所示與截面周邊相切的直線，它在形心主慣性軸y和z上的截距為：11, 2/zyadayz1對于圓截面有：164/64

19、/22422dddAIAIiizyzy 則與其對應(yīng)的截面核心邊界上點1的坐標為：82/16/2121dddaiyzyyz10121zyzai從而可知，截面核心邊界是一個以O(shè)為圓心，以d /8為半徑的圓，其包圍的范圍就是圓形截面的截面核心。 (2) (2) 矩形截面的截面核心：矩形截面的截面核心：11, 2/zyaha12,122222hibizy對于矩形截面有：對于邊長為b和h的矩形截面，y軸和z軸為截面的形心主慣性軸。先將與AB邊相切的直線看作是中性軸，其在y軸和z軸上的截距分別為 可求出該中性軸所對應(yīng)的偏心壓力作用點1的位置，亦即截面核心邊界上一個點的坐標ry1,rz1：062/12/12

20、12121zyzyzyaihhhai 同理，分別將與BC、CD、DA邊相切的直線、看作之中性軸，可求得對應(yīng)的截面核心邊界上點2、3、4的坐標依次為：60, 06,60443322bhbzyzyzy， 這樣，就得到了截面核心邊界上的4個點。當中性軸從截面的一個側(cè)邊繞截面的頂點旋轉(zhuǎn)到其鄰邊時，例如當中性軸繞頂點B從直線旋轉(zhuǎn)到時，將得到一系列通過B點但斜率不同的中性軸，而B點的坐標yB、zB是這一系列中性軸上所共有的，將其代入中性軸方程，得0122FzBFyByiyziz由于B點的坐標yB、zB是常數(shù)，因此上式可看作是表示外力作用點坐標yF，zF間關(guān)系的直線方程。 即當中性軸繞B點旋轉(zhuǎn)時，相應(yīng)的外力作用點移動的軌跡是一條連接點1、2的直線。于是將1、2、3、4四點中相鄰的兩點連以直線，即得矩形截面的截面核心邊界。它是個位移截面中