不定積分第一類換元法

1、不定積分第一類換元法(湊微分法)一、方法簡介設(shè)f(x)具有原函數(shù)F(u),即F(u)f(u),f(u)duF(u)C,如果U是中間變量，u(x),且設(shè)(x)可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，有dF(x)f(x)(x)dx從而根據(jù)不定積分的定義得f(x)(x)dxF(x)Cf(u)duu(x).則有定理：設(shè)f(u)具有原函數(shù)，u(x)可導(dǎo)，則有換元公式f(x)(x)dxf(u)duu(x)由此定理可見，雖然f(x)(x)dx是一個整體的記號，但如用導(dǎo)數(shù)記號曳dx中的dx及dy可看作微分，被積表達式中的dx也可當(dāng)做變量x的微分來對待，從而微分等式(x)dxdu可以方便地應(yīng)用到被積表達式中。1f(axb

2、)dx-af(axb)d(axb)(a0);f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx,f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosx,dxf(tanx)2f(tanx)dtanx,dxf(cotx)2f(cotx)dcotx；cosxsinx,1f(lnx)dxf(lnx)dlnx,f(ex)exdxf(ex)dex；x-nn11,nn1dx11f(x)xdxf(x)dx(n0),f(一)=f()d(一),幾大類常見的湊微分形式：nxxxx2f(應(yīng))d(&);f(孜)平.xdxf(arcsinx)1 x2f(arcsinx)darcsinx;f(arctanx)rf(arctan

3、x)darctanx;1x(6復(fù)雜因式【不定積分的第一類換元法】已知f(u)duF(u)C求g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x)【湊微分】f(u)duF(u)C【做變換，令u(x)，再積分】F(x)C【變量還原，u(x)】【求不定積分g(x)dx的第一換元法的具體步驟如下：】(1) 變換被積函數(shù)的積分形式：g(x)dxf(x)(x)dx(2) 湊微分：g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x)(3) 作變量代換u(x)得：g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)du(4) 利用基本積分公式f(u)duF(u)C求出原函數(shù)：g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x

4、)f(u)duF(u)C(5) 將u(x)代入上面的結(jié)果，回到原來的積分變量x得：(x)，省略(4)步驟，這與復(fù)合函g(x)dxf(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duF(u)CF(x)C【注】熟悉上述步驟后，也可以不引入中間變量數(shù)的求導(dǎo)法則類似。二、典型例題1rb)dxf(axb)d(axab)(a0);例1.(2x2010.1)dx例2.13x12xxdx例3.1x2(1123x)3例4.-x1xdx14x1.解：令u2x1,du2dx,2010,(2x1)dx2011u2011(2x1)201120112.解:令tx2,3x.1tdt(t1)dt.1t3.解:1d(t1)11d(t

5、1)3(txdxdt,tt22,1、t34.解：分與dx2-13C1(x21戶.1x2323x).(1d(1x2)(122耳x)dtd(t1)x214xdx14-dxx1d(1_x4)1dx2414x21xx3x2,1x4412(arcsinx.121arcsinx2C2x4)Cf(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx,f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosx,例1.例3.例5.dxf(tanx)cosxf(tanx)dtanxdxf(cotx)sinxf(cotx)dcotx；tanxdx2例2.1sinxcosx1dx21sinxdx1sinxcos3x例4.例6.x2

6、dxsinxdx1sinxcos4xsinxcosxsin4xcos4x.1dx例7.設(shè)a,b為常數(shù),tanxdx1sin2xb2cos2x1.解：設(shè)ucosx,dusinx.tanxdxdxcosxsinxdx,dudusinxdxln(u)Cln(cosx)C2.解:x.dxsinxxd(cotx)xcotxcotxdx3.解:1sinx21sin4.解:dxZ_4sinxcosxxcotxcosx,dxlnsinxCdx72-2cosxd(cosx)722cosxd(sinx)212sinxdxcos2x(2secx1)1ln*2cosx2,22cosx1：2ln2、22cosxarct

7、an(sinx)cosxarctan(sinx)-11,2cosx2.22.22sinxcosx4dxxsinxcosarctan(sinx)cosxsinxdxcosx2sindtanx2tan2x1arctan2tanx)C22xcosx2dxsinxcosxdcosx2cosx1.dcosx4cosx1,lncscx3cosxcosxdxsinxcotx5.解：dx3sinxcosxdxT4-tanxcosx一一22sinxcosx,dtanx.2tanxcos1tanxai1.2.八dtanxtanxIntanxCtanx26.解：令u2x,再令vsinxcosx,4dxsinxcos

8、xcosu,有sin2x,dx21.2cos2xsin2x21dcosu421121 cosucosu22sinu212cosusinu2dv1v21arctanvCarctan(cos2x)C2du7.解:I2costanx,-22dxx(atanxb)tanxdtanx222atanxb2221d(atanxb)c22722aatanxb-yln(a2tan2xb2)C2a2r1f(lnx)dxxf(lnx)dlnx,例1.f3例3.例5.例7.xex34edx21.解:2.解x1e(1e2)2xxedxdx11dxx(12lnx)dlnx12lnx12:令u5x,du5dxd(12lnx

9、)12lnxXxXXf(e)edxf(e)de；例2.e5xdx2例4.x32xoxx例6.-rvdx194例8.-dx2cosxsinx2lnxC5x|edx1eudu55euC15xe5xC53.解：令u4ex,du4exdxdx34e11dulnu44.解：令ulnx1ln(34ex)j1du-dxx5.解:6.解:7.解:(12x9xdxxdxarcsin(lnx)arcsinu(1A2(1e)2X4拆(1xeV4x1e(1xJdxe2)2xxeV-dx2令ex2t2,原式3x云一火011ln2(ln3ln2)xd(ex2)0).22、.axsin3xdx.8求sin2xdx.,一，1

10、例9求dx(a為常數(shù),ax例10求secxdx.例11求cos3xcos2xdx.例12求例13求tan5xsecxdx2.求下列不定積分：e5tdt;(2)-d；(4)12x(32x)3dx;Ax；dx;xlnxlnlnx2xe*dx;dx;(10)sinxcosx(11)dx(12)xx；ee(5)Sidt；(6)、t一102.一(7)tanxsecxdx;(8)(13)堂與dx;(14)1x4tan、.1x2dx;.23x2sinxdx;cosxxdx1、解被積函數(shù)中，cos2x是cosu與u2x的復(fù)合函數(shù)，常數(shù)因子2恰好是中間變因此作變量代換u2x,便有量u2x的導(dǎo)數(shù),2cos2xdx

11、cos2x-2dxcos2x(2x)dx=cosudu=sinu+C.再以u2x代入,即得2cos2xdxsin2x+C.1一,、2、解一可看成2x51,與u2x+5的復(fù)合函數(shù)，被積函數(shù)中雖沒有uu2這個因子，但我們可以湊出這個因子:12x52122x5從而令u2x+5,便有121ln2dx2x51x=2(2x+5)d2x5u+C=ln|2x5+C.2x1d(2x+5)=-2-duu般地，對于積分f(ax+b)dx,總可以作變量代換ax+b,把它化為類似地可得4、解f(axtanb)dx=1f(ax+b)d(ax+b)asinxxdxdx=cosx1duu令ucosxcotxdxln|sinx

12、+C.1u2du1-u3+Cf(u)duu(x)(cosx)，dx=cosxd(cosx)cosxln|u+Cln|cosx+C.(1x2)dx12)2d(1x2)(13x2)2+C.在對變量代換比較熟練以后,12a5、解就不一定寫出中間變量1dx6、解xarcsin-+C.a-1dx.a2x27、解sin3xdx=(12cosx)sinxdxu,只需做到“心中有數(shù)”即可.1arctan+C.aad(cos、2x)+cosxd(cosx)2(1cosx)d(cosx)cosx+-cos3x+C.38、解sin2x+C.類似地可得sin2xdx1COs2xdx1d21cos2xd(24x)2cosx+C.11.cxdx=x+sin2249、解dxdx(ax)(ax)d(ax)ax1,11、，1d(ax)()dx2aaxax2aaxIn10、解secxdx2aInax+Cln-+C.2aax-dxcosxcosxdx2cosx2d(sinx)sinx】ln(L)2+c2cosxlln5+C(由例8)21sinxlnsecxtanx+C.類似地可得cscxdxlncscxcotx+C.CC,1，L、，cos3xcos2xdx-(