三角形四心競賽講義

1、三角形四心競賽講義一、“四心”分類討論11、外心12、內(nèi)心23、垂心34、重心55、外心與內(nèi)心66、重心與內(nèi)心67、外心與垂心78、外心與重心89、垂心與內(nèi)心810、垂心、重心、外心8旁心9二、“四心”的聯(lián)想91、由內(nèi)心、重心性質(zhì)產(chǎn)生的聯(lián)想92、重心的巧用113、三角形“四心”與一組面積公式12三角形各心間的聯(lián)系15與三角形的心有關(guān)的幾何命題的證明16三角形的內(nèi)心、外心、垂心及重心(以下簡稱“四心”)是新頒發(fā)的初中數(shù)學(xué)競賽大綱特別加強的內(nèi)容。由于與四心有關(guān)的幾何問題涉及知識面廣、難度大、應(yīng)用的技巧性強、方法靈活，是考查學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造思維能力的較佳題型，因此，它是近幾年來升學(xué)、競賽的熱點

2、。92、93、94、95連續(xù)四年的全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽均重點考察了這一內(nèi)容。本講擬分別列舉四心在解幾何競賽中的應(yīng)用，以期幫助同學(xué)們掌握這類問題的思考方法，提高靈活運用有關(guān)知識的能力。一、“四心”分類討論1、外心三解形三條垂直平分線的交點叫做三角形的外心，即外接圓圓心。ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性質(zhì)：(1)外心到三頂點等距，即OA=OB=OC。(2)A=。如果已知外心或通過分析“挖掘”出外心，與外心有關(guān)的幾何定理，尤其是圓周角與圓心角關(guān)系定理，就可以大顯神通了。下面我們舉例說明。例2證明三角形三邊的垂直平分線相交于一點，此點稱為三角形的外心已知：ABC中，XX，YY，ZZ分別是BC，A

3、C，AB邊的垂直平分線，求證：XX，YY，ZZ相交于一點(圖3111)分析先證XX，YY交于一點O，再證O點必在ZZ上即可證因為XX，YY分別是ABC的BC邊與AC邊的中垂線，所以XX，YY必相交于一點，設(shè)為O(否則，XXYY，那么C必等于180°，這是不可能的)因為OB=OC，OC=OA，所以O(shè)B=OA，所以O(shè)點必在AB的垂直平分線ZZ上，所以XX，YY，ZZ相交于一點說明由于O點與ABC的三個頂點A，B，C距離相等，所以以O(shè)點為圓心，以O(shè)A長為半徑作圓，此圓必過A，B，C三點，所以稱此圓為三角形的外接圓，O點稱為三角形的外心例1、如圖9-1所示，在ABC中，AB=AC，任意延長C

4、A到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓。分析一、O是外心，作ABC的外接圓O，并作OEAB于E，OFAC于F，連接OP、OQ。易知OE=OF，BE=AF，從而RtOPFRtOQE，于是P=Q，從而O、A、P、Q四點共圓。分析二、延長BA至G，使AG=AP，連接OP、OA、OG、OQ，并作OEAB于E(圖略)。利用PAOPGO和QEOGEO也可證得結(jié)論。例2、如圖9-2所示，在ABC的大邊AB上取AN=AC，BM=BC，點P為ABC 的內(nèi)心，求證：MPN=A+B。 分析、連接PA、PB、PC及PM、PN。由已知易證APCAPN，BPCBPM。從而PC=P

5、N，PC=PM，即PM=PN=PC。故P為CMN的外心，此時有MPN=2MCN。而CAN=90ºA，BCM=90ºB，故ACN+BCM=180º(A+B)，即 MCN+ACB=180º(A+B)，則MCN=(180ºACB)(A+B) = (A+B)。故MPN=2MCN=A+B。例3、AB為半圓O的直徑，其弦AF、BE相交于Q，過E、F分別作半圓的切線得交點P，求證：PQAB。分析、延長EP到K，使PK=PE，連KF、AE、EF、BF，直線PQ交AB于H(圖9-3)。因EQF=AQB=(90º1)+(90º+2)=ABF+B

6、AE=QFP+QEP，又由PK=PE=PF知K=PFK，故EQF+K=QFK+QEK=180º，從而E、Q、F、K四點共圓。由PK=PF=PE知，P為EFK的外心，顯然PQ=PE=PF。于是1+AQH=1+PQF=1+PFQ=1+AFP=1+ABF=90º。由此知QHAH，即PQAB。2、內(nèi)心三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。ABC的內(nèi)心一般用字母I表示，它具有如下性質(zhì)：(1)內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點與內(nèi)心的連線平分頂角。(2)A的平分線和ABC的外接圓相交于點D，則D與頂點B、C、內(nèi)心I等距(即D為BCI的外心)。(3)BIC=90º+

7、A，CIA=90+B，AIB=90º+C。例1證明：三角形三內(nèi)角平分線交于一點，此點稱為三角形的內(nèi)心已知：ABC中，AX，BY，CZ分別是A，B，C的平分線，求證：AX，BY，CZ交于一點(圖3110)證因為AX，BY是A，B的平分線，所以AX，BY必相交于一點，設(shè)此點為I(不然的話，AX，BY必平行，則BAX+YBA=180°，這是不可能的)，所以I與AB，AC邊等距，I與AB，BC邊等距，所以I與AC，BC邊等距，所以I必在CZ上，所以AX，BY，CZ相交于一點說明若證明幾條直線共點，可先證其中兩條直線相交，再證這個交點分別在其余各條直線上，則這幾條直線必共點于此交點由

8、于三角形三內(nèi)角平分線的交點與三邊距離相等，所以以此交點為圓心，以此點到各邊的距離為半徑作圓，此圓必與三角形三邊內(nèi)切，所以稱此交點為三角形內(nèi)切圓圓心，簡稱內(nèi)心例1、如圖9-4所示，在ABC中，AB=AC，有一個圓內(nèi)切于ABC的外接圓，且與AB、AC分別相切于P、Q，求證：線段PQ的中點O是ABC的內(nèi)心。分析、設(shè)小圓圓心為，與ABC的外接圓切于D，連A，顯然APQ，且ABC為等腰三角形，所以A過ABC的外接圓，D在A的延長線上，從而O為ABC的頂角BAC的平分線的點，下面只需證OB平分ABC。為此，連接OB、PD、QD，由對稱性易知，OD平分PDQ，而APQ=PDQ，PQBC，故APQ=ABC，P

9、DQ=ABC，由P、B、D、O四點共圓得PBO=PDO=PDQ。所以PBO=ABC。于是O為ABC的內(nèi)心。說明：本題還可證明O到ABC的三邊距離相等，得到O為ABC的內(nèi)心。例2、如圖9-5所示，I為ABC的內(nèi)心，求證：BIC的外心O與A、B、C四點共圓。分析、如圖，連接OB、OI、OC，由O是外心知ABC=2IBC。由I是內(nèi)心知ABC=2IBC。從而IOC=ABC。同理IOB=ACB。而A+ABC+ACB=180º，故BOC+A=180º，于是O、B、A、C四點共圓。例3、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，順次取ABD，ABC，CDB、CDA的內(nèi)心。求證：四邊形是一個矩形。分析、順

10、次連接(圖9-6)。則：AO1B=90º+ADB，AO2B=90º+ACB。但ADB=ACB，AO1B=AO2B，從而A、B、O2、O1四點共圓，則AO1O2=180ºABO2=180º-ABC。同理有：AO1O4=180ºADC。故AO1O2+AO1O4=360º(ABC+ADC)=270º，故O2O1O4=90º。同理有O1O2O3=90º，O2O3O4=90º。因此四邊形O1O2O3O4J 是矩形。3ABC中，I是內(nèi)心，過I作DE直線交AB于D，交AC于E求證：DE=DB+EC3、垂心三角

11、形三條高線所在的直線的交點叫做三角形的垂心。ABC的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性質(zhì)：(1)頂點與垂心連線必垂直對邊，即AHBC，BHAC，CHAB。(2)若H在ABC內(nèi)，且AH、BH、CH分別與對邊相交于D、E、F，則A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六組四點共圓。(3)ABH的垂心為C，BHC的垂心為A，ACH的垂心為B。(4)三角形的垂心到任一頂點的距離等于外心到對邊距離的2倍。例4證明：三角形三條高線交于一點，這點稱為三角形的垂心已知：如圖3114，ABC中，三邊上的高線分別是AX，BY，CZ，X，Y，Z為垂足，求證

12、：AX，BY，CZ交于一點分析要證AX，BY，CZ相交于一點，可以利用前面的證明方法去證，也可以轉(zhuǎn)化成前面幾例的條件利用已證的結(jié)論來證明為此，可以考慮利用三角形三邊垂直平分線交于一點的現(xiàn)有命題來證，只須構(gòu)造出一個新三角形ABC，使AX，BY，CZ恰好是ABC的三邊上的垂直平分線，則AX，BY，CZ必然相交于一點證分別過A，B，C作對邊的平行線，則得到ABC(圖3114)由于四邊形ABAC、四邊形ACBC、四邊形ABCB均為平行四邊形，所以AC=BC=AB由于AXBC于X，且BCBC，所以AXBC于A，那么AX即為BC之垂直平分線同理，BY，CZ分別為AC，AB的垂直平分線，所以AX，BY，CZ

13、相交于一點H(例2)例1、設(shè)H是等腰三角形ABC的垂心。在底邊BC保持不變的情況下，讓頂點A至底邊BC的距離變小，問這時乘積的值變大？變?。窟€是不變？證明你的結(jié)論。分析、構(gòu)造以垂心為頂點的菱形HBGC(圖9-7)，并借助于四點共圓是完成本題的一條捷徑。延長HD至G，使DG=HD，連BH、CH、BG、CG，易證四邊形HBGC是菱形，則3=1。因H是垂心，故A、B、D、E四點共圓，1=2，從而2=3，A、B、G、C四點共圓，AD·DG=BD·CD，又DG=HG，故AD·HD=。從而=·AD·BC·HD·BC=(定值)。例2、設(shè)H

14、為銳角ABC的三條高AD、BE、CF的交點，若BC=a，AC=b，AB=c，則AH·AD+BH·BE+CH·CF等于( )(A)(ab+bc+ca)； (B)；(C)(ab+bc+ca)； (D)。分析、因H為ABC垂心，故H、D、C、E四點共圓，從而AH·AD=AC·AE=AC·AB·cosBAE=。同理BH·BE=，CH·CF=。故AH·AD+BH·BE+CH·CF=。例3、求證：銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內(nèi)心。分析、由性質(zhì)不難得到證明。由本例結(jié)論，可得到下述命

15、題的簡捷證明：已知ABC中，H為垂心，AD、BE、CF是高，EF交AD于G，求證：。例4、如圖9-8所示，已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圓分別為O和O1，求證：O與O1的半徑相等。分析、過A作O和O1的直徑AP、AQ，連接PB、QB，則ABP=ABQ=90º。故P、B、Q三點共線。因H是ABC的垂心，故D、C、E、H四點共圓，AHE=C。而AHE=Q，C=P，故P=Q，AP=AQ。因此O與O1的半徑相等。說明：由本題結(jié)論，可得垂心的另一個性質(zhì)：若H是ABC的垂心，則ABH=BCH=CAH=ABC。4設(shè)G為ABC的垂心，D，E分別為AB，AC邊的中點，如果SABC

16、=1，那么SGDE=？4、重心三角形三條中線的交點叫三角形的重心。ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性質(zhì)：(1)頂點與重心G的連線必平分對邊。(2)重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍。(3)。例3證明：三角形的三條中線相交于一點，此點稱為三角形的重心重心到頂點與到對邊中點的距離之比為21已知：ABC中，AX，BY，CZ分別是BC，AC，AB邊上的中線，求證：AX，BY，CZ相交于一點G，并且AGGX=21(圖3112)證設(shè)AX，BY交于一點G，作AG，BG中點D，E由于X，Y分別是BC，AC的中點，所以XY平等且等于DE，所以，四邊形DEXY為平行四邊形，所以G

17、D=DA=GX，GY=GE=EB，所以AGGX=21，BGGY=21同理，若BY與CZ相交于一點G，必有BGGY=21，GCGZ=21，所以G與G重合所以三角形三條中線相交于一點明為什么稱G點為ABC的重心呢？這可以從力學(xué)得到解釋設(shè)ABC為一個質(zhì)量均勻的三角形薄片，并設(shè)其重量均勻集中于A，B，C三點，如果把B，C兩點的重量集中于BC邊中點X時，那么ABC的三頂點A，B，C的集中重量作了重新分配若A點為1，則X點為2，因此在AX上的重心支撐點必在AGGX=21處的G點這樣一來，如果在G點支起三角形，那么ABC必保持平衡，所以G點為三角形的重心(圖3113)例1、已知G是ABC的中心，過A、G的圓

18、與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：。分析、構(gòu)造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積。延長GP至F，使PF=PG，邊FB、FC、AD(圖9-9)。因G是重心，故AG=2GP。因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP。從而AG=GF。又1=2=3=D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC·GD。于是。例2、設(shè)G是等腰ABC底邊上的高、AD與腰AC上的中線BE的交點。若AD=18，BE=15，則這個等腰三角形的面積為多少？分析、由等腰三角形“三線合一“性質(zhì)知，AD為中線，從而G為ABC的重心，故DG=AD=6，BG=BE=10。在RtBD

19、G中，BD=8。因此。AD=144。例3、平行四邊形ABCD的面積是60，E、F分別是AB、BC的中點，AF分別與ED、BD交于G、H，則四邊形BHGE的面積是_。解：連接AC交BD于O，分別延長AF和DC相交于M，則點H是ABC的重心。又ABDM，可得AGEAGD，從而EGGD=AEMD=14。于是。例7如圖3118設(shè)G為ABC的重心，從各頂點及G向形外一直線l引垂線AA，BB，CC，GG(其中A，B，C，G為垂足)求證：AA+BB+CC=3GG分析由于圖中有許多可以利用的梯形，故可考慮利用梯形中位線定理來證明 證設(shè)M為AC的中點，N為BG的中點，作MMl于M，NNl于N，則由已知條件可知，

20、MM是梯形AACC的中位線，NN是梯形BBGG的中位線，所以又MM+NN=2GG，所以所以，所以說明當(dāng)本題中AA，BB，CC，GG不垂直于l，但仍保持互相平行時，本題結(jié)論是否還成立？試作出你的猜想，并加以證明5、外心與內(nèi)心例1、已知ABC中，O為外心，I為內(nèi)心，且AB+AC=2BC。求證：OIAI(圖9-10)。分析、因I是內(nèi)心，故，。又因AC+BC=2BC，故AB=2BE。由ABEADC知AD=2DC。又DC=DI(內(nèi)心性質(zhì))，故AD=2DI。而O是外心，從而OIAI。2如圖3119在ABC中，O為外心，I為內(nèi)心，且ABBCCA求證：(1)OAIOBI；(2)OAIOCI6、重心與內(nèi)心例1、

21、如圖9-11所示，已知ABC的重心G與內(nèi)心I的連線GIBC。求證：AB、BC、CA成等差數(shù)列。分析一、(利用內(nèi)角平分線定理)連接AG、AI且延長分別交BC于D、E，連接IC，則AD為中線，AE、CI為角平分線。因GIBC，故GIBC，。在CAE中，有，即AC=2CE，同理AB=2BE。AB+AC=2(BE+CE)=2BC。證畢。分析二、(利用面積公式)，連接AG交BC于D，作IEBC于E，AHBC于H，則IE為內(nèi)切圓I的半徑，設(shè)IE=r。因IGBC，故，即AH=3r。因，即2BC=AB+CA。證畢。7、外心與垂心例1、如圖9-12所示，在ABC中，H為垂心，O為外心，BAC=60º，

22、求證：AH=AO。分析、結(jié)合外心，構(gòu)造以垂心H為頂點的平行四邊行AHCE是解決問題的關(guān)鍵。因O是外心，CEBC，又H是垂心。故AHBC，從而AHCE。同理CHAE。于是AHCE為平行四邊形，AH=CE。又BEC=BAC=60º，從而EBC=30º。所以EC=BE=OA，故AH=CE=OA。例2、證明：三角形任一頂點至垂心的距離等于外心到它的對邊的距離的2倍。把條件改寫一下：已知AD、BE為ABC的兩高線，其交點為H，OM、ON分別為BC、CA的中垂線且交于O。須證：AH=2OM，BH=2ON。分析一、(中線定理)取AH、BH中點F、G，連接FG(圖9-13)，則FGAB，F(xiàn)

23、G=AB。連接MN，則MNFG，MN=AB。故MNFG，MNFG。因FDBC，OMBC，故FHOM。從而HFG=OMN。同理HCF=ONM。于是HFGOMN。OM=FH=AN，ON=GH=BH。即AH=2OM，BH=2ON。分析二、(中線定理)連接CH，取CH中點F，連接NF、MF。(圖略)，則NFAH，同理MFBH，但BEON(因BE、ON同垂直于BC)。故MFON。同理NF=OM。從而OMFN是平行四邊形。于是OM=NF=AH。即AH=2OM，BH=2ON。分析三、(利用相似)，連接MN(圖同分析一)，則MNAB，MN=AB。因ADOM(AD、OM同垂直于BC)，BEON。故ABHMNO，

24、。于是AH=20M，BH=20N。例6如圖3116已知H是ABC的垂心，O是外心，OLBC于L求證：AH=2OL分析1：要證，由中的中位線，轉(zhuǎn)而證明MK=OL即可由于OLAH，MKAH，所以O(shè)LMK，因此，只需證明LKOM即可由已知，這是顯然的證法1作OMAC于M，取CH的中點K，連結(jié)MK，LK，則有MKAHOL，LKBHOM，所以四邊形為平行四邊形，所以。又，所以AH=2OL分析2因為O為ABC的外心，故可作其外接圓，為了證明AH=2OL，可證AH等于另一線段a，而a=2OL，則AH=2OL為此，需添加一些輔助線，見證明2(圖3117)證法2連接BO并延長交O于D，連結(jié)CD，AD，則CD=2

25、OL又CDBC，AHBC，所以AHCD同理，ADHC，所以四邊形AHCD為平行四邊形，所以AH=CD，所以AH=2OL8、外心與重心例1、如圖9-14所示，已知RtABC中，AH為斜邊BC上的高，M為BC 中點，O為ABC外心，OB交AH于D。求證：AD=2DH。 分析、因O為外心，則連接CE(直徑)后，易知B、A、E三點共線，連接EM交OB于G，顯然G為EBC重心。又O為外心，故EMBC，AHBC，從而AHEM。又G為重心，故。從而，于是AD=2DH。5在ABC中，A=60°，O是外心，H是垂心求證：AOAH9、垂心與內(nèi)心例1、如圖9-15所示，已知O為正三角形ABC 的高AD、B

26、E、CF的交點，P是ABC所在平面上的任一點，作PLAD于L，PMBE于M，PNCF于N。試證：PL、PM、PN中較大的一條線段等于其它兩條線段的和。分析、題設(shè)中有正三角形和垂直的條件，由PLAD，PNCF知P、L、O、N、四點共圓。同理P、L、N、M四點共圓，因此P、L、O、N、M五點共圓。要證PN=PL+PM?？梢月?lián)想到“如果G是正三角形RST的外接圓劣弧弧上一點，那么GR=GS+GT”這一基本問題，只須證LMN為正三角形，亦只需證MNL=MLN=60º。事實上O既是正ABC的垂心，又是ABC的內(nèi)心，易求出AOE=COE=60º，再由共圓的條件得到MNL=LON=60&

27、#186;，MLN=MON=60º。故MNL=MLN=60º。10、垂心、重心、外心例題、證明：ABC的垂心H、重心G和外心O在同一條直線上。分析一、(從三角形重心的唯一性入手)主證HO與中線BE的交點與重心G重合。連接中位線DE(圖9-16)則DEAB，又AHOD，BHOE(BH、OE同垂直于AC)故DEOABH，從而OE：HB=DE：AB=1：2。連接OH交中線BE于。因BHOE，故。因此，：=OE：HB=1：2。這說明點即為ABC的重心G。從而H、G、O三點共線。分析二、(從三點邊線組成平角入手)。如圖9-17所示，因G為重心，BE為中線，故G在BE上，連接GO、GH

28、，則GE：GB=1：2。又OE：HB=1：2(同分析一所證)，BHOE，故1=2。OEGHBG，EGO=EGH。EGO+EGH=BGH+EGH=180ºH、G、O三點共線。分析三、為避免添輔助線的困難，這命題還可采用解析法證明，只要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，分別求出G、H、O的坐標(biāo)，而依三點共線的條件進行推證。如圖9-18所示，選取直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a，0)，B(b，0)，C(0，C)，且ADBC于D、E、F分別是AB、BC的中點，則E，于是CH的直線方程x=0。AD直線方程：y=，從而CH、AD交點坐標(biāo)為H()。又OE的方程：，OF的方程：，從而OE、OF的交點O。由重心公式得G 。由H、

29、G、O坐標(biāo)得斜率：，。，又知它們都通過G點，從而H、G、O三點共線。旁心例5證明：三角形兩外角平分線和另一內(nèi)角平分線交于一點，此點稱為三角形的旁心已知：BX，CY分別是ABC的外角DBC和ECB的平分線，AZ為BAC的平分線(圖3115)，求證：AZ，BX，CY相交于一點分析先證明BX，CY必交于一點M，然后證明M點在AZ上，則AZ，BX，CY必交于一點以下請讀者寫出證明，并思考，為什么把點M叫作旁心，一個三角形有幾個旁心？二、“四心”的聯(lián)想1、由內(nèi)心、重心性質(zhì)產(chǎn)生的聯(lián)想內(nèi)心性質(zhì)：在ABC中，AD是角平分線，I是內(nèi)心，則。重心性質(zhì)：在ABC中，AD是一條中線，G是重心，則。聯(lián)想：若P是ABC內(nèi)

30、的任意一點，是否有通用的類似性質(zhì)？性質(zhì)：設(shè)P為ABC內(nèi)任意一點(稱P為ABC 的內(nèi)點)，AP交BC于D，令BPC，CPA，APB的面積分別為，則。()證明：如圖9-19所示，作BC于，BC于，并設(shè)ABC面積為S。則，從而，即。()式中，當(dāng)P為內(nèi)心時，(r為內(nèi)切圓半徑)，于是；當(dāng)P為重心時，于是。故()式是三角形內(nèi)心。重心性質(zhì)的推廣，我們不妨稱之為三角形內(nèi)點性質(zhì)。利用它，許多數(shù)學(xué)競賽題都可求解。例1、已知R為銳角ABC外接圓半徑，O是外心，AO、BO、CO分別交對邊于 (圖9-20)。求證：。證明：由()式知，于是，則。同理。因此，從而。于是。即。注意到OA=OB=OC=R，從而OA1+OB2+

31、OC2。例2、設(shè)OABC內(nèi)任意一點，AO，BO，CO分別交對邊于A1，B1，C1，令。求證：W12。證明：(同圖9-20)由()式及基本不等式，得。再由平均值不等式得。即W12，當(dāng)且僅當(dāng)O為三角形的重心時取等號。2、重心的巧用重心，在物理學(xué)中指質(zhì)點的重心，所謂“他山之石可以攻玉”，這一概念在解決數(shù)學(xué)問題，尤其是比值問題上，也大有“用武之地”。關(guān)于質(zhì)點重心，我們結(jié)合圖形給出幾個真命題(證明過程略去)。命題1：設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量分別為，它們的重心為G，則G在的連線上，且滿足(這里指質(zhì)點G的質(zhì)量)。命題2：在如圖9-21所示的ABC中，若E為質(zhì)點B、A的重心，F(xiàn)為質(zhì)點B、C的重心，EC與AF相交于G，則G

32、必為三個質(zhì)點A、B、C的重心。連接BG，延長交AC于H，則H必為質(zhì)點A、C的重心。命題3：如果平面上有n個質(zhì)點，它們的質(zhì)量為，則這些質(zhì)點的重心G的坐標(biāo)為。這幾個命題看似簡單，但它卻為解平面幾何問題提供了一種嶄新的思路。例1、三只蒼蠅沿ABC的三邊爬行，使由這三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的與ABC的重心保持不變，求證：如果某只蒼蠅爬過了三角形的三條邊，那么三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的重心與原三角形的重心重合。分析、如圖9-22所示，若一只蒼蠅在頂點A，那么由三只蒼蠅構(gòu)成的三角形重心在ADE中，其中DE：BC=2：3(P為三角形的重心)，因其中有一只蒼蠅到過所有的頂點，則蒼蠅三角形的重心應(yīng)在這三個三角形ADE，

33、BGF，CKH內(nèi)，這些三角形有唯一一個公共點P，且為三角形重心。命題得證。例2、如圖9-23所示，已知P1P2P3和其內(nèi)任一點P，直線P1P、P2P和P3P分別與對邊交于Q1，Q2，Q3。證明：在比值中至少有一個不大于2。分析、在P1、P2、P3上放置質(zhì)量分別為的質(zhì)點，使得P恰為P1，P2，P3三點的重心，則Q1為P2、P3的重心，Q2為P1、P3的重心，Q3為P1、P2的重心，它們的質(zhì)量分別為。不妨設(shè)。即，證畢。例3、從三角形的一個頂點到對三等分點作線段，過第二頂點的中線被這些線段分成邊比xyz，設(shè)xyz，求xyz (圖9-24)。分析、放置適當(dāng)質(zhì)點，使得F為A、C的重心，D為B、C重心，則

34、G為A、B、C三點的重心，此時有：，從而；，從而=2mc。不妨設(shè)，從而x=y+z。重新放置質(zhì)點，使F為A、C的重心，E為B、C的重心，則H為A、B、C三點的重心，此時有，從而；。不妨設(shè)。由、可得xyz=532。例4、如圖9-25所示，在ABC中D、E分別為BC、CA上一點，且BDDC= m1，CEEA=n1，AD與BE相交于F，求的幾倍？分析：連接CF，并延長交AB于G。則。在A、B、C上放置適當(dāng)質(zhì)點，使F恰為A、B、C的重心，此時有：，即。不妨設(shè)，即。以上幾例，以質(zhì)量為過渡，利用重心的性質(zhì)，使問題得以簡化，并巧妙地加以解決。3、三角形“四心”與一組面積公式有這樣一道競賽題：ABC為銳角三角形

35、，過A、B、C分別作此三角形外接圓三條直徑，求證：。該題中，三直徑之交點即為ABC的外心，若就外心這一條件進行一些聯(lián)想和變化，經(jīng)探索可得一系列與面積有關(guān)的結(jié)果。我們歸納如下(證明略去)。定理：設(shè)P為ABC平面內(nèi)的點，AP、BP、CP所在直線分別交ABC的外接圓于，那么(1)若P為ABC的外心，則對銳角三角形，有。對非銳角三角形(不妨設(shè)A90º，下同)，有。(2)若P為ABC的垂心，則對銳角三角形，有式成立，對非銳角三角形，有式成立。(3)若P為ABC的重心，則有。當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形的時等號成立。(4)若P為ABC的內(nèi)心，則有式成立，當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時等號成立。據(jù)以上定理

36、，可得以下若干推論：推論1、已知O的內(nèi)接銳角三角形ABC，是O的三角條直徑，且BC=a，CA=b，AB=c，=，則有。若，則又可得，它等于三角恒等tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC。推論2、設(shè)ABC的重心為G，AG、BG、CG的延長線分別交三邊BC、CA、AB于D、E、F，交ABC的外接圓于，則。(若將“重心”改為“內(nèi)心”，其他條件不變，可知該結(jié)論仍成立)。例1、已知銳角ABC內(nèi)接于圓O，作ABC的BC邊上的高，CA邊上的中線，C的平分線并延長，分別交圓O于A1、B2、C2。求證：。證明：如圖9-26所示，設(shè)ABC中，CA，AB上的高的延線分別交ABC外接圓于B1、C1，則據(jù)定理(2)

37、有又由定理(3)、(4)可知其中，當(dāng)且僅當(dāng)ABC為正三角形時等號成立。例2、如圖9-27所示，銳角ABC中，A的平分線與三角形的外接圓交于另一點A1，點B1，C1與此類似，直線AA1與B、C兩角的外角平分線相交于A0，點B0、C0與此類似。求證：A0B0C0的面積是六邊形AC1BA1CB1面積的2倍；A0B0C0的面積至少是ABC面積的4倍。證明：因AA0、BB0的交點I是ABC的內(nèi)心，易知A1I=A1B。又BB0，BA0分別是B的內(nèi)角和外角平分線，則BB0BA0，A1BA0=90ºA1BI=90ºBIA0=BA0I。故A1B=A1A0=A1I，故。同理，還有類似的這樣五個

38、等式，將此六式相加，即有。(2)據(jù)定理(4)可知，。即。即 A0B0C0的面積至少是ABC面積的4倍。練習(xí)題1、在ABC中，A=20º，AB=AC，在AB、AC上各取一點D、E，滿足BD=BC，AE=BE，求BED的度數(shù)。2、如圖9-28所示，已知ACE=CDE=90º，點B在CE上，CA=BC=CD，過A、C、D三點的圓交AB于F，求證：F為CDE的內(nèi)心。3、在ABC中，C=90º，A和B的平分線相交于P點，又PEAB于E點。若BC=2，AC=3，則AE·BE=_。4、ABC中，G 為重心，l是過G的一條動直線，且分別交AB、AC于點E、F，設(shè)，問l在

39、何處時，所截得的AEF面積取到最大值或最小值。5、銳角三角形ABC的三邊長滿足不等式AB<AC<BC，如果I為ABC的內(nèi)心，O為外心，求證：直線IO與線段AB及BC相交。6、已知ABC中，A=60º，H為垂心，O為外心，I是內(nèi)心，直線AI交O于F，交BH于G。求證：(1)AO=AH；(2)OAG=HAG；(3)B、O、I、H、C五點共圓。7、(同圖9-11)已知重心G，內(nèi)心I，且AB+AC=2BC，求證：GIBC。8、已知ABC中，H為垂心，AD、BE、CF是高，EF交ADG，求證：。9、ABC的A、B、C的內(nèi)角平分線分別與外接圓交于A1，B1，C1，證明：。10、已知B

40、DEF，B、D分別在AE、AF上，DE、BF交于點C，AC交EF于點M，求證：EM=MF。11、設(shè)H是ABC的垂心，求證：。12、設(shè)O是ABC的外心，AB=AC，D為AB的中點，E是ACD的重心。證明：OECD。答案1、作CBG=A=20º交AC于G，連DG、BG。易知BCGABC，BG=BC=BD；又DBG=ABCCBG=60º，故BDG為一正三角形，GB=GD。由AE=BE，得ABE=A=20º，EBG=ABCABECBG=40º，而BEG=A+ABE=40º，故BEG=EBG，GE=GB。于是GE=GB=DG，從而G為BDE的外心，BED

41、=BGD=30º2、AC=BE、ACB為直角，故CAB=CBA=45º。又A、C、F、D四點共圓，故CDF=CAF=45º，CDE=90º，因而EDF=CDECDF=45º=CDF，于是DF平分CDE。又CB=CD，故CBD=CDB，又FBD=CBD45º，F(xiàn)DB=CDB45º，故FBD=FDB，因而FB=FD。于是BCFDCF，由此得BCF=DCF，故CF平分DCE。因此F為CDE的內(nèi)心 。3、易知P為ABC的內(nèi)心，于是P到AC、BC的距離PD、PE都等于PE，且CD=CF=(AC+BCAB)=(5)，AD=ACCD=，B

42、F=BCCF=(1)，從而AE·BE=AD·BF=·=3。4、如附圖-9所示，連接AG并延長交BC于D，分別過A、B、D、C作l的垂線，垂足分別為H、K、P、Q，則。又。同理。又G為ABC的重心。故BD=DC。從而BK+CQ=2DP，。設(shè)(0x1)，則。而2(當(dāng)時，右邊取等號；當(dāng)x=0或1時，左邊取等號)，從而。5、連接AO、CO并延長分別交對邊于D、E，現(xiàn)證I在AOE內(nèi)，從而直線IO與線段AE及CD相交。因AOC=2B，故OAC=90ºB<90ºC(A>B>C)，但90ºB+90ºC=A，從而OAC<A，即I在BAD內(nèi)部。又ACO=90ºB>90ºA，同理有OCA>C。故I在ACE內(nèi)部，即I在AOE內(nèi)，從而I與線段AB及BC相交。8、易證ABC的垂心H必為DEF的內(nèi)心，由H是DEF的內(nèi)心知。又不難證明EA是GED的外角平分線，故。從而。9、(圖參見二、3中例2圖，由例2(1)可知)A0A1=A1I，C0C1=C1I，從而A1C1A0C0。又，從而。同理，AA0B1C，故I為A1B1C1的垂心。由二、中定理(2)可得。就是。再據(jù)例2的結(jié)論知。此即。10、在A、E、F上放置適當(dāng)質(zhì)點，使得C為它們的重心，則B、D、M分別為相應(yīng)二頂點的重心。故。因BD