數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形單元質(zhì)量評(píng)估

1、第一章單元質(zhì)量評(píng)估(一)一、選擇題(每小題5分，共60分)1在ABC中，a7，b14，A30°，則此三角形解的情況是()A一解B兩解C一解或兩解 D無解解析：因?yàn)閍bsinA，故該三角形有一解答案：A2邊長(zhǎng)為2,4,2的三角形的最大角與最小角的和是()A90° B120°C135° D150°解析：由已知條件可知，該三角形是直角三角形，而且最小角為30°，所以最大角與最小角的和是120°.故選B.答案：B3在ABC中，AB，A45°，C75°，則BC等于()A3 B.C2 D3解析：AB，A45°

2、;，C75°，由正弦定理得，即.BC3.答案：A4在ABC中，AB3，AC2，BC，則·等于()A BC. D.解析：根據(jù)余弦定理，得cosA.于是，·AB·ACcosA3×2×.答案：D5.某市在“舊城改造”工程中，計(jì)劃在如圖所示的一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境已知這種草皮價(jià)格為a元/m2，則購(gòu)買這種草皮需要()A450a元 B225a元C150a元 D300a元解析：草皮的面積為×20×30×sin150°150(m2)答案：C6在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2C，且sinA

3、2sinBcosC，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B等邊三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：由sin2Asin2Bsin2C及正弦定理可知a2b2c2A為直角；而由sinA2sinBcosC，可得sin(BC)2sinBcosC，整理得sinBcosCcosBsinC，即sin(BC)0，故BC.綜合上述：BC，A.答案：D7在ABC中，A>B，則以下不等式正確的個(gè)數(shù)為()sinA>sinBcosA<cosBsin2A>sin2Bcos2A<cos2BA0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)解析：由題意知，sinA>sinB，cosA<cosB均正確，由

4、sinA>sinB>0可知sin2A>sin2B，cos2A<cos2B.故正確個(gè)數(shù)為3個(gè)，選D.答案：D8.在ABC中，A15°，B30°，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且b1，則ABC的面積為()A. B.C. D.解析：由，得c，又sin15°sin(45°30°)，所以SABCbcsinA×1××.答案：C9飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為30°，向前飛行10 000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)C的

5、距離為()A5 000米 B5 000米C4 000米 D4 000米解析：如圖，在ABC中，AB10 000米，A30°，C75°30°45°.根據(jù)正弦定理，BC5 000(米)答案：B10甲船在島B的正南方A處，AB10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是()A.分鐘 B.分鐘C21.5分鐘 D2.15分鐘解析：設(shè)t小時(shí)后，甲、乙兩船相距l(xiāng)千米，此時(shí)甲離B島(104t)千米，乙離B島6t千米根據(jù)余弦定理，l2(104t)2(6t)2

6、2(104t)×6tcos120°28t220t100.當(dāng)t小時(shí)分鐘時(shí)，甲、乙兩船相距最近答案：A11在ABC中，若2···，則ABC是()A等邊三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D直角三角形解析：由已知得2·()·2··0，即，故三角形是以角C為直角的直角三角形答案：D12.某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽(如圖)，它由腰長(zhǎng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成該八邊形的面積為()A2sin2cos2Bsincos3C3sincos1D2sincos1解析：每個(gè)等腰三角形的底邊為2sin，底

7、邊上的高為cos，所以該八邊形的面積為4×·2sin·cos4sin22sin2cos2.答案：A二、填空題(每小題5分，共20分)13在ABC中，a5，b3，C120°，則sinA_.解析：由余弦定理得c2a2b22abcosC，c7.由正弦定理有sinA.答案：14若3ab2c,2a3b3c，則有sinAsinBsinC_.解析：解方程組abc357，sinAsinBsinCabc357.答案：35715在銳角ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若B2A，則的取值范圍是_解析：CAB3A，<A<.由正弦定理得2cosA(，)答

8、案：(，)16代號(hào)為“狂飆”的臺(tái)風(fēng)于某日晚8點(diǎn)在距港口的A碼頭南偏東60°的400千米的海面上形成，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心將以40千米/時(shí)的速度向正北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心350千米的范圍都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，則A碼頭從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束，將持續(xù)_小時(shí)解析：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心開始時(shí)的位置為P，移動(dòng)后(A碼頭受到臺(tái)風(fēng)影響時(shí)或影響結(jié)束時(shí))的位置為Q，記PQx，由題意得35024002x22x·400cos60°，解得x150或250，則A碼頭從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束時(shí)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的距離為100千米，需時(shí)間2.5小時(shí)答案：2.5三、解答題(共70分)17(本小題10分)(2010年全國(guó)卷)

9、ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD33，sinB，cosADC，求AD.解：由cosADC>0知B<，由已知得cosB，sinADC，從而sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB××.由正弦定理得，所以AD25.18(本小題12分)如圖所示，在四邊形ABCD中，AC平分DAB，ABC60°，AC7，AD6，SACD，求AB的長(zhǎng)解：在ACD中，SACDAC·ADsin1，sin1，sin2.在ABC中，BC5且cos2，BC2AB2AC22AB·ACcos2，即25AB24911AB，(AB8)·

10、;(AB3)0，AB8或AB3.19(本小題12分)已知：在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B45°，b，cosC.(1)求邊a的長(zhǎng)；(2)設(shè)D為AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)解：(1)cosC，sin2Ccos2C1,0<C<，sinC.B45°，ABC，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC××.由正弦定理，得a3.(2)方法1：在ABC中，由余弦定理得c2b2a22abcosC()2(3)22××3×4，即ABc2，BDAD1.在DBC中，CD2BD2BC22BD·BCco

11、sB12(3)22×1×3×13，CD.方法2：延長(zhǎng)CD到E點(diǎn)，使CDDE，連接AE，BE，則四邊形ACBE為平行四邊形(2CD)2BE2BC22BE·BCcos(ACB)()2(3)22××3×()52，CD.20(本小題12分)在ABC 中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sinB2sinA，求ABC的面積解：(1)由余弦定理，得c2a2b22abcosC，整理得a2b2ab4，又因?yàn)锳BC的面積等于，所以absinC，得ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2

12、.(2)由正弦定理，sinB2sinA可轉(zhuǎn)化為b2a，聯(lián)立方程組解得a，b.所以ABC的面積SabsinC.21(本小題12分)如圖，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一艘船正在向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°方向，航行30海里后，在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45°方向，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？解：在ABC中，BC30海里，B30°，ACB135°，A15°.由正弦定理知，即，AC15()(海里)于是，A到BC所在直線的距離為：ACsin45°15()×15(1)40.98(海里)它大于38海里，所以船繼續(xù)向南航行沒有觸礁