常見數(shù)學(xué)模型第08章層次分析法

1、所有洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院韓學(xué)長(zhǎng)新浪：韓學(xué)長(zhǎng)有愛第八章層次分析法層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱 AHP）是對(duì)一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡(jiǎn)易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。它是美國運(yùn)籌學(xué)家 T. L. Saaty 教授于上世紀(jì) 70 年代初期提出的一種簡(jiǎn)便、靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。§1 層次分析法的基本原理與步驟人們?cè)谶M(jìn)行的、的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，的常常是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡(jiǎn)潔而實(shí)用的建模方法。運(yùn)用層次分

2、析法建模，大體上可按下面四個(gè)步驟進(jìn)行：（i）建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型；（ii）構(gòu)造出各層次中的所有矩陣；（iii） 層次單排序及一致性檢驗(yàn)；（iv） 層次總排序及一致性檢驗(yàn)。下面分別說明這四個(gè)步驟的實(shí)現(xiàn)過程。1.1遞階層次結(jié)構(gòu)的建立與特點(diǎn)應(yīng)用 AHP 分析決策問題時(shí)，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個(gè)模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對(duì)下一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類：（i）最：這一層次中只有一個(gè)元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。（ii） 中間層：這一層次中包含

3、了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個(gè)層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。（iii） 最底層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等， 因此也稱為措施層或方案層。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過 9 個(gè)。這是因?yàn)橹涞脑剡^多會(huì)給兩兩比較帶來。下面結(jié)合一個(gè)實(shí)例來說明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立。例 1假期旅游有 P1 、 P2 、 P3 3 個(gè)旅游勝地供你選擇，試確定一個(gè)最佳地點(diǎn)。在此問題中，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較 3 個(gè)侯選地

4、點(diǎn)?？梢越⑷鐖D 1 的層次結(jié)構(gòu)模型。圖 1 層次結(jié)構(gòu)模型-167-交流所有洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院韓學(xué)長(zhǎng)新浪：韓學(xué)長(zhǎng)有愛1.2構(gòu)造矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下假設(shè)：將一塊重為 1 千克的石塊砸成n 小塊，你可以

5、精確稱出它們的重量， 設(shè)為 w1 ,L, wn ，現(xiàn)在，請(qǐng)人估計(jì)這n 小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此的數(shù)據(jù)。設(shè)現(xiàn)在要比較n 個(gè)因子n 對(duì)某因素 Z 的影響大小，怎樣比較才能提供的數(shù)據(jù)呢？Saaty 等人建議可以采取對(duì)因子進(jìn)行兩兩比較建立成對(duì)比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子 xi 和 x j ，以 aij 表示 xi 和 x j 對(duì) Z 的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣 A = (aij )n´n 表示，稱 A 為 Z - X 之間的成對(duì)比較矩陣（簡(jiǎn)稱矩陣）。容易看出，若 xi 與 x j 對(duì) Z

6、的影響之比為aij ，則 x j 與 xi 對(duì) Z 的影響之比應(yīng)為1=。aa jiij定義 1若矩陣 A = (aij )n´n 滿足1（i） aij > 0 ，（ii） a ji = a （ i, j = 1,2,L, n ）ij則稱之為正互反矩陣(易見 aii = 1， i = 1,L, n )。關(guān)于如何確定aij 的值，Saaty 等建議數(shù)字 19 及其倒數(shù)作為標(biāo)度。表 1 列出了 19 標(biāo)度的含義：表 1 標(biāo)度的含義從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級(jí)太多會(huì)人們的能力，既增加了作的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty 等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，

7、實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用 19 標(biāo)度最為合適。-168-交流標(biāo)度含義135792，4，6，8 倒數(shù)表示兩個(gè)因素相比，具有相同重要性 表示兩個(gè)因素相比，前者比后者稍重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者明顯重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要表示兩個(gè)因素相比，前者比后者 重要表示上述相鄰 的中間值若因素i 與因素 j 的重要性之比為 aij ，那么因素 j 與因素i 重要性之比為 a ji = 1/ aij 。所有洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院韓學(xué)長(zhǎng)新浪：韓學(xué)長(zhǎng)有愛n(n -1)最后，應(yīng)該指出，一般地作次兩兩是必要的。有人認(rèn)為把所有元素2都和某個(gè)元素比較，即只作n -1 次比較就可以了。這種作法的弊病在于，

8、任何一個(gè)判斷的均可導(dǎo)致不合理的排序，而個(gè)別的對(duì)于難以定量的系統(tǒng)往往是難以n(n -1)避免的。進(jìn)行次比較可以提供的信息，通過各種不同角度的反復(fù)比較，2從而導(dǎo)出一個(gè)合理的排序。1.3層次單排序及一致性檢驗(yàn)矩陣 A 對(duì)應(yīng)于最大特征值lmax 的特征向量W ，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。上述構(gòu)造成對(duì)比較矩陣的辦法雖能減少其它因素的干擾，較客觀地反映出一對(duì)因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣 A 的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：= aik ,"i, j, k = 1,2

9、,Lnaij a jk（1）定義 2滿足關(guān)系式（1）的正互反矩陣稱為一致矩陣。需要檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）矩陣 A 是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受 A 。定理 1正互反矩陣 A 的最大特征根 lmax 必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。 A 的其余特征值的模均嚴(yán)格小于lmax 。定理 2若 A 為一致矩陣，則（i） A 必為正互反矩陣。（ii） A 的轉(zhuǎn)置矩陣 AT 也是一致矩陣。（iii） A 的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而rank( A) = 1 （同樣， A 的任意兩列也成比例）。（iv）A 的最大特征值lmax = n ，其中n 為矩陣 A 的階。A 的其余特

10、征根均為零。wi（v）若 A 的最大特征值l對(duì)應(yīng)的特征向量為W = (w ,L, w )T ，則a =，max1nijwj"i, j = 1,2,L, n ，即é w1w1 ww1 ùLê wúwên ú12w2w2ê w2w2 úLL LA = ê w1wn úê LL úLê wnwn úwn wê wúwë 1n û2定理 3n 階正互反矩陣 A 為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根lmax = n ，且當(dāng)

11、正互反矩陣 A 非一致時(shí)，必有l(wèi)max > n 。根據(jù)定理 3，我們可以由lmax 是否等于n 來檢驗(yàn)矩陣 A 是否為一致矩陣。由-169-交流所有洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院韓學(xué)長(zhǎng)新浪：韓學(xué)長(zhǎng)有愛于特征根連續(xù)地依賴于aij ，故 lmax 比n 大得越多， A 的非一致性程度也就越嚴(yán)重，lmax 對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出n 在對(duì)因素 Z的影響中所占的比重。因此，對(duì)決策者提供的決定是否能接受它。矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以對(duì)矩陣的一致性檢驗(yàn)的步驟如下：（i）計(jì)算一致性指標(biāo)CICI = lmax - nn -1（ii）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 。對(duì)n = 1,L,

12、9 ，Saaty 給出了 RI 的值， 如表 2 所示。表 2RI 的值RI 的值是這樣得到的，用隨機(jī)方法構(gòu)造 500 個(gè)樣本矩陣：隨機(jī)地從 19 及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值l'max ，并定義RI = l'max -n 。n -1（）計(jì)算一致性比例CRCR = CIRI當(dāng)CR < 0.10 時(shí)，認(rèn)為正。矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對(duì)矩陣作適當(dāng)修1.4層次總排序及一致性檢驗(yàn)上面我們得到的是一組元素對(duì)其上一層中某元素的權(quán)重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各方案對(duì)于目標(biāo)的排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇?？偱判驒?quán)重要自上而下地將單準(zhǔn)則下的

13、權(quán)重進(jìn)行。表 3 層次總排序表設(shè)上一層次（ A 層）包含 A1 ,L, Am 共m 個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)重分別為a1 ,L, am 。又設(shè)其后的下一層次（ B 層）包含n 個(gè)因素 B1 ,L, Bn ，它們關(guān)于 Aj 的層-170-交流n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45所有洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院韓學(xué)長(zhǎng)新浪：韓學(xué)長(zhǎng)有愛次單排序權(quán)重分別為b1 j ,L, bnj （當(dāng) Bi 與 Aj 無關(guān)聯(lián)時(shí)， bij = 0 ）?，F(xiàn)求 B 層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重，即求 B 層各因素的層次總排序權(quán)重b1,L, bn ，計(jì)算按表 3 所示方式進(jìn)行，即bi

14、 = åbijaj ， i = 1,L, n 。j =1m對(duì)層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對(duì)比較矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來， 引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。設(shè) B 層中與 Aj 相關(guān)的因素的成對(duì)比較矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為CI ( j) ，（ j = 1,L, m ），相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為 RI ( j)（ CI ( j)、RI ( j) 已在層次單排序時(shí)求得），則 B 層總排序隨機(jī)一致性比例為åCI

15、 ( j)a jmj =1CR =må RI ( j)a jj =1當(dāng)CR < 0.10 時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。§2層次分析法的應(yīng)用在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要有兩個(gè)：（i）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（ii）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際定量化處理。層次分析法對(duì)人們的思維過程進(jìn)行了整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（i）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性，卻無法排除決策者個(gè)人

16、可能存在的嚴(yán)重片面性。（ii）比較、過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP 至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法。在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步。現(xiàn)再分析一個(gè)實(shí)例， 以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。例 2挑選合適的工作。經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如圖 2 所示。圖 2 層次結(jié)構(gòu)模型-171-交流所有洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院韓學(xué)長(zhǎng)新浪：韓學(xué)長(zhǎng)有愛準(zhǔn)則層的矩陣如表 4 所示。表 4 準(zhǔn)則層的矩陣方案層的矩陣如表 5 所示。表 5 方案層的矩陣層次總排序的結(jié)果如表 6 所示。表 6

17、層次總排序根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作 1。計(jì)算的clc,clear程序如下：fid=fopen('txt3.txt','r'); n1=6;n2=3;a=;for i=1:n1 tmp=str2num(fgetl(fid);a=a;tmp; %讀準(zhǔn)則層endfor i=1:n1矩陣str1=char('b',int2str(i),'=;'); str2=char('b',int2str(i),'=b',int2str(i),'tmp;'); eval(str1);fo

18、r j=1:n2tmp=str2num(fgetl(fid);eval(str2); %讀方案層的矩陣end-172-交流準(zhǔn)則研究發(fā)展待遇同事地理課題前途情況位置名氣總排序權(quán)值準(zhǔn)則層權(quán)值0.1507 0.1792 0.1886 0.04720.14640.2879方案層單排序權(quán)值工作 1工作 2工作 30.1365 0.0974 0.2426 0.27900.46670.79860.6250 0.3331 0.0879 0.64910.46670.10490.2385 0.5695 0.6694 0.07190.06670.09650.39520.29960.3052B1C1C2C3C111/

19、41/2C2413C321/31B2C1C2C3C111/41/5C2411/2C3521B3C1C2C3C1131/3C21/311/7C3311B4C1C2C3C111/35C2317C31/51/71B5C1C2C3C1117C2117C31/71/71B6C1C2C3C1179C21/711C31/911AB1B2B3B4B5B6B1 B2 B3 B4 B5 B6111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222331所有洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院韓學(xué)長(zhǎng)新浪：韓學(xué)長(zhǎng)有愛end ri=0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1

20、.32,1.41,1.45;x,y=eig(a);lamda=max(diag(y); num=find(diag(y)=lamda); w0=x(:,num)/sum(x(:,num); cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1) for i=1:n1x,y=eig(eval(char('b',int2str(i); lamda=max(diag(y); num=find(diag(y)=lamda); w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num);cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);endcr1, ts=w1*w0,

21、cr=cr1*w0%一致性指標(biāo)純文本文件txt3.txt中的數(shù)據(jù)格式如下：1111/41214214511/33131/5111/711/71/9111/21/4121/411/31/4123171/311/7111/77111211/51/321/2311/51/211/31/715717719114451331131/3131/21/21/21/311習(xí) 題 八矩陣 A 的非一致性較為嚴(yán)重，應(yīng)如何尋找引起非一致1. 若發(fā)現(xiàn)一成對(duì)比較性的元素？例如，設(shè)已構(gòu)造了成對(duì)比較矩陣éê1ùúúúúûA = êêêë（1）對(duì) A 作一致性檢驗(yàn)。-173-交流所有洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院韓學(xué)長(zhǎng)新浪：韓學(xué)長(zhǎng)有愛（2）如 A 的非一致性較嚴(yán)重，應(yīng)如何作修正。2. 你已經(jīng)去過幾家