八年級上數(shù)學(xué)全等三角形典型例題一

1、全等三角形典型例題:例1:把兩個(gè)含有45角的直角三角板如圖證：AFBE.ECA練習(xí)1:如圖，在ABC中，/BAC=90,AB=AC,AE是過點(diǎn)A的直線,BDAE,CEXAE,1放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE,AD,AD的延長線交BE于點(diǎn)F.求如果CE=3,BD=7,請你求出DE的長度。CMN等邊三角形；（4）例2:DAC,EBC均是等邊三角形，AE,BD分別與CD,CE交于點(diǎn)M,N,求證：(1)AE=BD(2)CM=CN;(3)例3:（10分）已知，ABC中，/BAC=90:AB=AC,過A任作一直線1,作BDl于D,CEl于E,觀察三條線段BD,CE,DE之間的數(shù)量關(guān)系.如圖1,當(dāng)1經(jīng)過BC中

2、點(diǎn)時(shí)，DE=（1分），此時(shí)BDCE（1分）.如圖2,當(dāng)1不與線段BC相交時(shí)，BD,CE,DE三者的數(shù)量關(guān)系為,并證明你的結(jié)論.（3分）如圖3,當(dāng)1與線段BC相交，交點(diǎn)靠近B點(diǎn)時(shí)，BD,CE,DE三者的數(shù)量關(guān)系為.證明你的結(jié)論（4分），并畫圖直接寫出交點(diǎn)靠近C點(diǎn)時(shí)，BD,CE,DE三者的數(shù)量關(guān)系為(1分)練習(xí)1:以直角三角形ABC的兩直角邊ABBC為一邊，分別向外作等邊三角形4ABE和等邊BCF連結(jié)EF、EG試說明：(1)EF=EC(2)EBCF練習(xí)2:如圖（1）AE、F、C在同一直線上，AE=CF過EF分另1J作DEIAC,BFAC若AB=CDG是EF的中點(diǎn)嗎？請證明你的結(jié)論。若將/ABC的邊

3、EC經(jīng)AC方向移動變?yōu)閳D（2）時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？例四：如圖1,已知，ACCE,AC=CE,/ABC=/CDE=90,問BD=AB+ED嗎？分析：（1）凡是題中的垂直往往意味著會有一組90。角，得到一組等量關(guān)系；（2）出現(xiàn)3個(gè)垂直，往往意味著要運(yùn)用同（等）角的余角相等，得到另一組等量關(guān)系;（3）由全等得到邊相等之后，還要繼續(xù)往下面想，這幾組相等的邊能否組合在一起：如如圖6,除了得到三組對應(yīng)邊相等之外，還可以得到AC=BD。解答過程：得到ABCCDE之后，可得到BC=DE,AB=CDBC+CD=DE+AB（等式性質(zhì)）即：BD=AB+DE變形1:如圖7,如果ABCACDE,

4、請說明AC與CE的關(guān)系。注意:兩條線段的關(guān)系包括：大小關(guān)系（相等，一半，兩倍之類）位置關(guān)系（垂直，平行之類）變形2:如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作FAXAE交CB的延長線于點(diǎn)F,求證：DE=BF分析:注意圖形中有多個(gè)直角，利用同角的余角相等或等式性質(zhì)可到一組銳角相等。變形3:如圖8,在ABC中，/BAC=90,AB=AC,AE是過點(diǎn)A的直線，BDAE,CEXAE,如果CE=3,BD=7,請你求出DE的長度。分析:說明相等的邊所在的三角形全等，題中“AB=AC，發(fā)現(xiàn)：AB在RtAABD中，AC在RtACAE中,所以嘗試著去找條件，去說明它們所在的兩個(gè)Rt全等(如圖9)于是：已

5、經(jīng)存在了兩組等量關(guān)系：AB=AC,直角=直角，再由多個(gè)垂直利用同角的余角相等，得到第三組等量關(guān)系。解：由題意可得：在RtAABD中，/1+/ABD=90(直角三角形的兩個(gè)銳角互余)又/BAC=90（已知）,即/1+/CAE=90/ABD=/CAE（等角的余角相等）故在4ABD與4CAE中，/BDA=/AEC=90（垂直定義）JZABD=ZCAE（已求）、AB=AC（已知）AABDACAE（AAS）AE=BD=7,AD=EC=3（全等三角形的對應(yīng)邊相等）DE=AEAD=73=4BEXMN于E。變形4:在4ABC中，/ACB=900,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且ADXMN于D,(1)當(dāng)直線MN

6、繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9的位置時(shí)，ADCACEB,且DE=AD+BE。你能說出其中的道理嗎?(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí),DE=AD-BE。說說你的理由。等腰三角形、等邊三角形的全等問題必備知識:如右圖，由/1=/2,可得/CBE=/DBA;反之，也成立例五：已知在ABC中，AB=AC,在ADE中，AD=AE,且/1=72,請問BD=CE嗎?分析這類題目的難點(diǎn)在于，需要將本來就存在于同一個(gè)三角形中的一組相等的邊,分別放入兩個(gè)三角形中，看成是一組三角形的對應(yīng)邊，題目中所給的ABC與4ADE是用來干擾你的思路的，應(yīng)該去想如何把兩組相等的邊聯(lián)系到一起,加上所求的“BD=CE，你會發(fā)現(xiàn)BD在4A

7、BD中，CE在ACE中,這樣一來，AB=AC”可以理解為：AB在4ABD中，AC在ACE中，它們是一組對應(yīng)邊;AD=AE”可以理解為：AD在4ABD中，AE在ACE中，它們是一組對應(yīng)邊;所以只需要說明它們的夾角相等即可。關(guān)鍵還是在于：說明相等的邊（角）所在的三角形全等解：/1=/2（已知）/1+/CAD=/2+/CAD（等式性質(zhì)）即：/BAD=/CAE在4ABD與4ACE中,AAB=AC（已知）ZBAD=/CAE（已求）IAD=AEAABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）變形1:如圖14,已知/BAC=/DAE,/1=/2,BD=CE,5/7請說明ABDACE.嗎？為什么?

8、SAS說明全等,分析:例三是兩組邊相等，放入一組三角形中，利用此題是兩組角相等，那么該如何做呢？變形2:過點(diǎn)A分別作兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形，連接BD,CE,請說明它們相等。分析:此題實(shí)際上是例三的變形，只不過將等腰三角形換成了等邊三角形，只要你根據(jù)所求問題，把BD看成在4ABD的一邊，CE看成ACE的一邊，自然就得到了證明的方向。解：,ABC與4ADE是等邊三角形，AB=AC,AD=AE/BAC=/DAE=60/BAC+/CAD=/DAE+/CAD（等式性質(zhì)）即：/BAD=/CAE接下來的過程與例三完全一致，不予描述!變形3:如圖1618,還是剛才的條件，把右側(cè)小等邊三角形的位置稍加變化，

9、連接BD,CE,請說明它們這里僅以圖17進(jìn)行說明解：:AABC與4ADE是等邊三角形,AB=AC,AD=AE/BAC=/DAE=60ZBAC/CAD=/DAE/CAD【僅這步有差別】即：/BAD=ZBAD=/CAE在4ABD與4ACE中,AAB=AC（已知）/BAD=/CAE（已求）IAD=AEAABDAACE（SAS）BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）6/7圖16,圖18的類型，請同學(xué)們自己去完成60。換成直角了，思路一樣變形4:如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M,CG與AD相交于點(diǎn)N.求證：AECG；分析:和上面相比，只不過等邊三角形換成正方形,例六：如圖，ABC中，/C=90,AB=2AC,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，MNXAB.求證：AN平分/BAC