(29)包含與排除(上下)

1、(29)包含與排除(上下)奧賽天天練第二十一講包含與排除。包含與排除問(wèn)題也叫重疊問(wèn)題，從三年級(jí)奧數(shù)課堂開始由淺入深逐步學(xué)習(xí)，此類問(wèn)題說(shuō)明及容斥原理具體內(nèi)容，請(qǐng)查閱：三年級(jí)奧數(shù)解析（三十九）重疊問(wèn)題與容斥原理四年級(jí)奧數(shù)解析（二十九）容斥原理這一講將在三、四年級(jí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)運(yùn)用容斥原理二解答稍復(fù)雜的包含與排除問(wèn)題?！救莩庠矶咳绻挥?jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，則：三類元素總個(gè)數(shù)=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)一既是A類又是B類的元個(gè)個(gè)數(shù)一既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)一既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)?！驹碜C明】如下圖，三個(gè)圓片兩兩重疊，用紅色圓

2、片面積表示A類事物元素個(gè)數(shù)、黃色圓片面積表示B類事物元素個(gè)數(shù)、藍(lán)色圓片面積表示C類事物元素個(gè)數(shù)，三個(gè)圓片覆蓋的總面積就表示三類元素的總個(gè)數(shù)：A、B、C三個(gè)圓片共同重疊的正中間的一塊，覆蓋了三層圓片，重疊了2次；剩下的重疊部分都覆蓋了兩層圓片，重疊了1次。三個(gè)圓片覆蓋的總面積就等于三個(gè)圓片的面積之和減去重疊部分的面積，重疊1次的減去重疊面積，重疊2次的減去重疊面積的2倍。但用三個(gè)圓片的總面積依次減去AB的重疊部分、AC的重疊部分和BC的重疊部分，重疊1次的面積正好減去了，可三個(gè)圓片共同重疊的部分既屬于AB的重疊部分，也屬于AC的重疊部分，同時(shí)屬于BC的重疊部分。這一塊兒面積重疊2次，卻減去了3次

3、，多減了1次，要補(bǔ)上去。所以：三類元素總個(gè)數(shù)=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)一既是A類又是B類的元個(gè)個(gè)數(shù)一既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)一既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)。奧賽天天練第21講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)1【題目】：苴題在參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的46人中，做對(duì)第二題的有32人，做對(duì)第4題的有24人，兩I都做對(duì)的有20人，兩道題都沒(méi)有做對(duì)的有幾人？【解析】：如下圖：用做對(duì)第2題與做對(duì)第4題的人數(shù)和，減去兩題都做對(duì)的人數(shù)（重疊部分），求出的就是這兩題中至少做對(duì)了一題的人數(shù)：32+24-20=36（人）。所以這兩道題都沒(méi)有做對(duì)的人數(shù)為：4636=10（人）。奧賽天天練第2

4、1講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)2【題目】：80某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有120名男生、80名女生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有120名女生、名男生，該?？偣灿?60名學(xué)生參加競(jìng)賽，其中75名男生兩科都參加了，那么只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)有參加語(yǔ)文競(jìng)賽的女生有多少人？【解析】：先求出既參加了語(yǔ)文競(jìng)賽又參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的男女生總?cè)藬?shù)：（120+80）X2-260=140（人）。所以既參加了語(yǔ)文競(jìng)賽又參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生人數(shù)為：140-75=65（人）。即參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生中有65人同時(shí)參加了語(yǔ)文競(jìng)賽，則只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)有參加語(yǔ)文競(jìng)賽的女生有：8065=15（人）（三十）包含與排除（下）奧賽天天練第21講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1如圖，在桌

5、面上放置著三個(gè)兩兩重疊的圓紙片，它們的面積都是50平方厘米，三個(gè)圓片共同重疊的面積是12平方厘米，三個(gè)圓片蓋住桌面的總面積是92平方厘米。問(wèn)圖中陰影部分面積是多少平方厘米?個(gè)圓三個(gè)圓片兩兩重疊，中間三個(gè)圓片共同重疊的部分重疊了2次；陰影部分只有兩/片疊放，這部分重疊了1次。先求出重疊的總面積為：50X392=58（平方厘米）。再用重疊的總面積減去中間重疊了兩次的面積，剩下的就是陰影部分面積：5812X2=34（平方厘米）。奧賽天天練第21講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：C地,經(jīng)A如圖，小飛騎自行車去游玩A,B,C三個(gè)景點(diǎn)，他如果從A地出發(fā)，經(jīng)過(guò)B地到共行10千米；如果從B地出發(fā)，經(jīng)C地到達(dá)A地，

6、共行13千米；如果從C地出發(fā),地到達(dá)B地，共行11千米，問(wèn)哪兩個(gè)景點(diǎn)之間的距離最短？最短的距離是多少千米？B【解析】：由題意可知：AB+BO10千米；B8AC=13千米；AGAB=11千米；這三條路線的長(zhǎng)度之和就等于圖中三角形三邊和的2倍。所以：AB+BGAO（10+13+11）+2=17（千米）根據(jù)三邊總和和兩邊之和，可以求出第三邊，三邊總和是一定的，根據(jù)題目給出的條件，可知A、B兩個(gè)景點(diǎn)之間的距離最短，最短距離是：1713=4（厘米）。奧賽天天練第21講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：人，A,C某單位有64人訂A,B,G三種雜志，訂A種雜志的有28人，訂B種雜志的有41訂G種雜志的有20人，訂

7、A,B兩種雜志的有10人，訂B,G兩種雜志的有12人，訂兩種雜志的有12人，問(wèn)三種雜志都訂的有多少人？【解析】：假設(shè)三種雜志都訂的有x人，根據(jù)容斥原理二，可得：64=28+41+20-10-12-12+x解得：x=9所以，三種雜志都訂的有9人。奧賽天天練第21講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：學(xué)向體育課上，50名學(xué)生面向老師站成一行，按老師的口令從左到右報(bào)數(shù)1,2,3,50,報(bào)完后老師讓所有報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同后轉(zhuǎn)，問(wèn)現(xiàn)在仍然面向老師的有多少同學(xué)？【解析】：報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)有：50+4=12（人）2報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)有：50+6=8（人）212既是4的倍數(shù)，

8、也是6的倍數(shù)，所有12的倍數(shù)都是4的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)以這50名同學(xué)中報(bào)數(shù)即使4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)的同學(xué)有：50+12=4（人）2向后轉(zhuǎn)的同學(xué)總?cè)藬?shù)就是報(bào)數(shù)是4的同學(xué)人數(shù)與報(bào)數(shù)是6的同學(xué)人數(shù)之和減去重復(fù)計(jì)算的既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的同學(xué)人數(shù)：12+84=16（人）。所以，現(xiàn)在仍然面向老師的同學(xué)有：5016=34（人）四年級(jí)奧數(shù)解析（二十九）容斥原理奧賽天天練第26講容斥原理。日常生活或數(shù)學(xué)問(wèn)題中，在把一些數(shù)據(jù)按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類時(shí)，常常出現(xiàn)其中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)同時(shí)屬于兩種或兩種以上不同的類別，這樣在計(jì)算總數(shù)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算的情況，這類問(wèn)題就叫做重疊問(wèn)題，容斥原理就是重疊問(wèn)題的解題原理，也叫包含與

9、排除原理。在三年級(jí)奧數(shù)課堂已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了運(yùn)用容斥原理（一）解決簡(jiǎn)單的重疊問(wèn)題，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)請(qǐng)查閱：user3/4092/archives/2009/65608.shtml本講在三年級(jí)學(xué)習(xí)的重疊問(wèn)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)運(yùn)用容斥原理（一）解決稍復(fù)雜一點(diǎn)的重疊問(wèn)題。解答問(wèn)題的關(guān)鍵是，畫出示意圖，認(rèn)真分析已知條件，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？題目要求的又是哪一部分？借助示意圖進(jìn)行思考，找到正確的解答方法。奧賽天天練第26講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)1【題":兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為5厘米，3厘米的正方形重疊在一起，重疊部分的面積為1平方厘米求這個(gè)圖所能覆蓋的面積【解析】：先求出兩個(gè)正方形的面積，分別是：5X5=

10、25（平方厘米）；3X3=9（平方厘米）。根據(jù)容斥原理一，可得所求覆蓋面積為：25+9-1=33（平方厘米）。奧賽天天練第26講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1在一次校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲班參加田賽的有15人，參加徑賽的有12人，既參加田賽又參加徑賽的7人，沒(méi)有參加比賽的有21人，那么這個(gè)班有多少人？【解析】：先畫出參賽情況示意圖，如下圖：用長(zhǎng)方形的面積表示全班人數(shù)；字母A所在的橢圓表示參加田賽的人數(shù)15人；字母B所在的橢圓表示參加徑賽的人數(shù)12人；字母C所在區(qū)域即兩個(gè)橢圓的重疊部分表示既參加田賽又參加徑賽的人數(shù)7人；字母D所在的空白部分表示沒(méi)有參加比賽的人數(shù)21人。根據(jù)容斥原理一，可求出參賽總?cè)藬?shù)為：15+12-

11、7=20（人）。全班人數(shù)即參賽人數(shù)與沒(méi)有參加比賽的人數(shù)之和：20+21=41（人）。奧賽天天練第26講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：有50個(gè)學(xué)生，他們穿的褲子是白色的或黑色的，上衣是藍(lán)色的或紅色的。若有14人穿的是藍(lán)色上衣白褲子，31人穿黑褲子，18人穿紅上衣，那么穿紅上衣黑褲子的學(xué)生有多少人？【解析】：根據(jù)題意，如果有人既沒(méi)穿紅上衣，又沒(méi)穿黑褲子，就一定是穿了藍(lán)上衣白褲子，即穿藍(lán)上衣白褲子的人數(shù)就是既沒(méi)穿紅上衣又沒(méi)穿黑褲子的學(xué)生總數(shù)。所以穿黑褲子或紅上衣或兩樣都穿的學(xué)生總數(shù)為：50-14=36（人）。其中有31人穿了黑褲子，有18人穿了紅上衣，那么穿紅上衣黑褲子的學(xué)生就是前面兩類學(xué)生的重疊部分

12、，人數(shù)為：31+18-36=13（人）。奧賽天天練26講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：在1到100的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【解析】：100+5=20;100+6=164;100+(5X6)=100+30=310的倍1到100的全部自然數(shù)中，5的倍數(shù)有20個(gè)，6的倍數(shù)有16個(gè)，有3個(gè)數(shù)既是5數(shù)又是6的倍數(shù)（既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)最小是30,則所有30的倍數(shù)也就是既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)）。則1至IJ100的全部自然數(shù)中，是6的倍數(shù)和5的倍數(shù)的數(shù)總共有：20+16-3=33（所以既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有：100-33=67（個(gè)）。奧賽天天練第26

13、講，拓展提高，習(xí)題2【題目】:一批外國(guó)旅游者，會(huì)說(shuō)英語(yǔ)的有88人，會(huì)說(shuō)法語(yǔ)的有60人，其中兩種語(yǔ)言都能說(shuō)的有40人，還有16人這兩種語(yǔ)言都聽不懂。這批旅游者一共有多少人？【解析】：這道題與前面的“鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1”相似，可以畫出與上題相似的示意圖，先求出會(huì)說(shuō)英語(yǔ)、法語(yǔ)的這兩類人的總數(shù)：88+60-40=108（人）。把前兩類人的總數(shù)加上兩種語(yǔ)言都不會(huì)說(shuō)的人數(shù)，求出這批旅游者的總?cè)藬?shù)為：108+16=124（人）。三年級(jí)奧數(shù)解析（三十九）重疊問(wèn)題與容斥原理奧賽天天練第45講重疊問(wèn)題。日常生活或數(shù)學(xué)問(wèn)題中，在把一些數(shù)據(jù)按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類時(shí)，常常出現(xiàn)其中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)同時(shí)屬于兩種或兩種以上不同的類別，這

14、樣在計(jì)算總數(shù)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算的情況，這類問(wèn)題就叫做重疊問(wèn)題，解答重疊問(wèn)題常用方法是：先不考慮重疊的情況，把有重復(fù)包含的幾個(gè)計(jì)數(shù)部分加起來(lái)，再?gòu)乃鼈兊暮椭信懦貜?fù)部分元素的個(gè)數(shù)，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又不重復(fù)。這個(gè)原理叫做包含與排除原理，也叫容斥原理。容斥原理包含以下兩條基本計(jì)算公式：容斥原理一，如果被計(jì)數(shù)的對(duì)象，被分為A、B兩大類，則：'數(shù)。被計(jì)數(shù)對(duì)象的總個(gè)數(shù)=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)一同時(shí)屬于A類和B類的元素，容斥原理二，如果被計(jì)數(shù)的對(duì)象，被分為AB、C三大類，則：被計(jì)數(shù)對(duì)象的總個(gè)數(shù)=A類元素+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)一同時(shí)屬于A類和B類的元素個(gè)數(shù)一同時(shí)屬于A類和C類的元素個(gè)數(shù)

15、一同時(shí)屬于B類和C類的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)屬于A、B、C三類的元素個(gè)數(shù)。這條原理比較復(fù)雜，等到高年級(jí)再向孩子介紹。本講學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的重疊問(wèn)題，只需孩子理解容斥原理一就可以了。運(yùn)用容斥原理解答重疊問(wèn)題應(yīng)用題的關(guān)鍵是，畫出示意圖，認(rèn)真分析已知條件，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？題目要求的又是哪一部分？借助示意圖進(jìn)行思考，找到正確的解答方法。奧賽天天練第45講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1【題目】：三(1)班有48人，其中訂少年報(bào)的有32人，訂數(shù)學(xué)報(bào)的有38人，有25人兩份報(bào)都訂，那么：(1)只訂少年報(bào)而沒(méi)有訂數(shù)學(xué)報(bào)的有多少人？(2)只訂數(shù)學(xué)報(bào)而沒(méi)有訂少年報(bào)的有多少人？(3)有多少人兩種報(bào)都沒(méi)訂？【解析】：先畫出訂報(bào)情況

16、示意圖，如下圖：用長(zhǎng)方形的面積表示全班人數(shù)；字母A所在的橢圓表示訂少年報(bào)的人數(shù)32人；字母B所在的橢圓表示訂(數(shù)學(xué)報(bào)的人數(shù)38人；字母C所在區(qū)域即兩個(gè)橢圓的重疊部分表示同時(shí)訂了兩份報(bào)的人數(shù)25人；字母D所在的空白部分表示兩種報(bào)都沒(méi)有的訂的人數(shù)。(1)用訂少年報(bào)的總?cè)藬?shù)A,減去重疊部分C,剩下來(lái)的就是只訂少年報(bào)沒(méi)有訂數(shù)學(xué)報(bào)的人數(shù)：32-25=7(人)；(2)同理,(B-C)就是只訂數(shù)學(xué)報(bào)而沒(méi)有訂少年報(bào)的人數(shù)：38-25=13(,(3)先求出訂報(bào)的總?cè)藬?shù)，即圖中所有陰影部分表示的人數(shù)，再用班級(jí)總?cè)藬?shù)減去訂報(bào)總?cè)藬?shù)，即是兩種報(bào)都沒(méi)訂的人數(shù)Do這題有兩種解法。解法一：在(1)、(2)兩小題中已求出只訂

17、少年報(bào)的人數(shù)7人、只訂數(shù)學(xué)報(bào)的人數(shù)13人，即圖中純黑色陰影部分和純紅色陰影表示的人數(shù)，中間重疊部分為25人,所以訂報(bào)總?cè)藬?shù)為：7+25+13=45(人)。所以，兩種報(bào)都沒(méi)有訂的人數(shù)為：48-45=3(人)解法二：不考慮重疊部分，訂數(shù)學(xué)報(bào)和少年報(bào)的總?cè)藬?shù)為：32+38=70（人）。有25人兩份報(bào)都訂了，這些人既包含在32人之中，又包含在38人之中，我們?cè)谇蠛蜁r(shí)，70-25這25人就加了兩遍，重復(fù)計(jì)算了一遍，要去掉多算的一遍。因此，訂報(bào)總?cè)藬?shù)為：=45（人）。兩種報(bào)都沒(méi)有訂的人數(shù)就是：48-45=3（人）。奧賽天天練第45講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：一次老師給全班同學(xué)做兩道智力趣題，結(jié)果全班10

18、人兩題都對(duì)，8人兩題都錯(cuò),道題有15人錯(cuò)，問(wèn)第一道對(duì)而第二道錯(cuò)的同學(xué)有多少人？【解析】：因?yàn)榈诙李}有 了，所以兩題都錯(cuò)的去掉兩題都錯(cuò)的解答這題要抓住題中的有效條件，避免受無(wú)效條件的干擾。15人錯(cuò)，全班只有8人兩題都錯(cuò)，而兩題都錯(cuò)的人第二道題肯定錯(cuò)8個(gè)人包含在前面15人之中，從15人里去掉這8個(gè)人還剩：15-8=78人，剩下的7人肯定只錯(cuò)了一道題，他們第二道題錯(cuò)了，第一道題肯定是對(duì)的，所以第一道對(duì)而第二道錯(cuò)的同學(xué)有7人。奧賽天天練第45講，拓展提高，習(xí)題2【題目】:100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英語(yǔ)，還有10人兩種語(yǔ)言都不懂。(1)(2)(3)(4)【解析】： (D1090懂中文和英語(yǔ)的一共有多少人?既懂英語(yǔ)又懂中文的有多少人?只懂中文不懂英語(yǔ)的有多少人?只懂英文不懂中文的有多少人?100名旅游者中，有10人兩種語(yǔ)言都不懂，所以懂中文和英語(yǔ)的人一共有:0-10=90(人)。（2）70