新初一規(guī)律探索題參考參考答案

1、前言:七年級上冊數(shù)學(xué)期中考試，主要考察書本前2章，想要考試取得好的成績，首先應(yīng)一般能力：基本知識、基本技能； 計算能力；其次要想獲得高分必須具備高分能力：觀察、猜想、推理、驗證的能力；數(shù)形結(jié)合思想的建立； 分類討論思想的建立；方程思想的建立；對于重點中學(xué)學(xué)生，尤為重要。高分能力是今后學(xué)習(xí)領(lǐng)先的有力保障，需要大量練習(xí)、總結(jié)、體會，七年級涉及的僅僅是一部分。一、規(guī)律探索類題型規(guī)律探索型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形等條件，要求學(xué)生通過：讀題觀察分析猜想驗證，來探索對象的規(guī)律。它體現(xiàn)了 “特殊到一般”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)

2、思想方法，考察學(xué)生的分析、解決問題能力。題型可涉及填空、選擇或解答?！绢}型分類】【1、數(shù)字問題】最好具備數(shù)列的有關(guān)知識（小學(xué)奧數(shù)有涉及），實際考察的是：經(jīng)歷探索事物間的數(shù)量關(guān)系，用字母表示數(shù)和代數(shù)式表示的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維，進(jìn)一步使學(xué)生體會到代數(shù)式是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型。如：1、正整數(shù)規(guī)律1、2、3、4、5、可以表示為 n （其中n為正整數(shù)）2、奇數(shù)規(guī)律1、3、5、7、9、可以表示為2n1 （其中n為正整數(shù)）3、偶數(shù)規(guī)律2、4、6、8、10、可以表示為 2n （其中n為正整數(shù)）I4、正、負(fù)交替規(guī)律變化I I /I一組數(shù)，不看他們的絕對值，只看其性質(zhì)，為正負(fù)交替（1）、-

3、、+、-、+、-、+、-、+ 可以表 7K為（一1）n（2）、+、-、+、-、+、-、+、-可以表不為（一11由5、平方數(shù)規(guī)律 21、4、9、16、可以表不為n （其中n為正整數(shù)），能看得出：上面的規(guī)律數(shù) +1、+2、-1、-26、等差數(shù)列常識按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如：（1） 1, 2, 3, 4, 5, 6, （2） 1, 2, 4, 8, 16, 32;A、一個數(shù)列中從左至右的第 n個數(shù)，稱為這個數(shù)列的第 n項。如，數(shù)列（1 ）的第3項是3,數(shù)列（2）的第3項是4。一般地, 我們將數(shù)列的第n項記作an。B、數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個，如數(shù)列（2） （4）,也可以是無限多個，如數(shù)列

4、（1）（3）（帶省略號）。概念：干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項（記作：a1 ）,最后一項稱為末項（記作：an）。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差（記作：d）。其中:an =&+（n1）d, n =%+1,數(shù)列的和SnJa1*）=（記得住就記，記不住就推理）d2方法說明：掌握3個原則：數(shù)據(jù)表面上看來排列無序，且形式不一致，那么要進(jìn)行數(shù)據(jù)變形，使之形式一致； 一組數(shù)中的每個數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分解，有時可快速得出規(guī)律；對數(shù)據(jù)做一些簡單的運(yùn)算看出規(guī)律，如：加一加、減一減，乘一乘、除一除3 57 911例1觀察一列數(shù)：1, - _,_,一,根據(jù)

5、規(guī)律，請你寫出第 10個數(shù)是。4 9 16 25 36例2古希臘數(shù)學(xué)家把1 , 3 , 6, 10 , 15 , 21 ,叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第 100個與第98個的差為 練習(xí)：（1）觀察一列數(shù)： 1，3, - , , - 根據(jù)規(guī)律，請你寫出第 10個數(shù)是？25 1017 2637 1 11111 .（2）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為一一，一,|“，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中第七個數(shù)是2 310 1526 35（3）某種細(xì)胞開始有2個，1小時后分裂成4并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個,按此規(guī)律，5小時后細(xì)胞存活數(shù)是 , n小時后細(xì)胞存活數(shù)是【2

6、、圖形規(guī)律】產(chǎn)”-根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律。解決圖形規(guī)律問題的方法有兩種：一種是數(shù)形結(jié)合，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，用數(shù)字規(guī)律的解決問題；一種是通過圖形的直觀性，觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小I I及各組成部分的相對位置入手，從中找出變化規(guī)律。n個點陣中的點的個數(shù) s例3觀察圖給出的四個點陣，s表示每個點陣中的點的個數(shù)，按照圖形中的點的個數(shù)變化規(guī)律，猜想第A、3n -2B、3n 1 C、精心整理餐桌張數(shù)12341 .110n可坐人數(shù)例4若按下圖方式擺放餐桌和椅子，請?zhí)剿饕?guī)律并填表:練習(xí):第1個第2個 第3個 第4個S= 1 5=5 S-913（

7、1）觀察下列圖形，則第 n個圖形中三角形的個數(shù)是（）a、 2n 十2B、4n 4c、4n -4d、4n（2）如圖是一組有規(guī)律的圖案，第 1個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第 2個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成,第8個圖案由個基礎(chǔ)圖形組成，第 n（n是正整數(shù)）個圖案中由 一個基礎(chǔ)圖形組成。(3)下是晉商大院窗1中的剪紙，則第 n個圖中所貼剪紙O”的個數(shù)為.(D(2)(3)看看最后所求的與循1,2, 3?！?、循環(huán)排列規(guī)律】循環(huán)排列規(guī)律是運(yùn)動著的規(guī)律，我們只要根據(jù)題目的已知部分分析出圖案或數(shù)據(jù)每隔幾個就會循環(huán)出現(xiàn),環(huán)的第幾個一致即可，關(guān)鍵是找出“循環(huán)節(jié)數(shù)” 。其次，就是利用“余數(shù)”例5如圖所示，數(shù)軸被折成 90

8、,圓的周長為4個單位長度，在圓的4等分點處標(biāo)上數(shù)字0,先讓圓周上數(shù)字2所對應(yīng)的點與數(shù)軸上的數(shù) 3所對應(yīng)的點重合，數(shù)軸固定，圓緊貼數(shù)軸沿著數(shù)軸的正方向滾動，那么數(shù)軸上的數(shù)2009將與圓周上的數(shù)字重合。98例6手的示意圖，在各個手指間標(biāo)記字母A、B、C、D.請你按圖中箭頭所指方向（即A-BfC f D f C f B f A B-C的方式)正整數(shù)1,2,3, 4，當(dāng)數(shù)到12時，對應(yīng)的字母是201次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是（n為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是33;當(dāng)字母C第2n+1 次出現(xiàn)時（用含n的代數(shù)式表示）.（1）如圖所示，圓的周長為對應(yīng)的點與數(shù)軸上的數(shù)練習(xí):4個單位長度，在圓的 4等分點處標(biāo)上數(shù)字

9、0,1,2,3。先讓圓周上數(shù)字0所一1所對應(yīng)的點重合，再讓數(shù)軸按逆時針方向繞在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)-2006將與圓周上的數(shù)字重合。-5-4-3-2-100（2）觀察下圖中正方形四個頂點所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù) 2011A、第CS第之個正方形個正方形白B3個正方形白左上角 D第503個正第502形的右下角第4個“正方形(3)觀察下列圖形排列規(guī)律 (其中是三角形，匚是正方形，。是圓)，匚!P口-，若第一個圖形是正方形,則第2008個圖形是(填圖形名稱)【4、算式規(guī)律】應(yīng)對的一般原則：找出等式中的各個部分；找出等式中的各個部分中不變的部分；找出等式中的各個部分中變化的部分、并尋找他們的變化規(guī)律。例7

10、 1+2+3+-+100=?經(jīng)過研究，這個問題的一般性結(jié)論是1 +2 +3 +.+n J,其中n是正整數(shù)?，F(xiàn)在我們來研究一2個類似的問題：1 m2+2m3+.+n(n+1)=?觀察下面三個特殊的等式：1將這三個等式的兩邊相加，可以得到1X2+2X 3+3X 4 = m3m4x：5=203讀完這段材料，請你思考后回答：例8觀察下列三行數(shù)：1, 2, 4, 8, 16, 32,；2, 4, -8, 161) 科數(shù)蛛么規(guī)律囪0, 6, 6, 18, 30, 66,；(2)第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系？(3)取每行數(shù)的第n個數(shù)，這三個數(shù)的和能否等于- 1278 ,如果能，指出是每行的第幾個數(shù)，并求出這

11、三個數(shù)；如果不能，請說明理由。i- fII練習(xí)：I2222(1)觀察下列算式：1父5+4=3 , 2父6+4=4 , 3M7+4=5 , 4父8+4 = 6，請你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空： X+ =502,第n個式子呢？ (2)觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？II 23X5 =15，而 15 = 4 -1/_一 一2，5X7 =35 ,而 35 = 6 -12,11 X13 = 143，而 143 = 12 -1將你猜想到的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來： (3)下列圖是由同型號黑白兩種顏色的三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形。仔細(xì)觀察圖形可知：圖有1塊黑色的瓷磚，可表示為1 = (1

12、 +1)1圖有3塊黑色的瓷磚，可表示為 1 + 2 =（1+2）2;2圖有3塊黑色的瓷磚，可表示為1 + 2 + 3 =（1 + 3）32實踐探索:（1）請在圖的虛線框內(nèi)畫出第4個圖形（只須畫出草圖）（2）第10個圖形有 塊黑色的瓷磚（直接填寫結(jié)果）（3）第n個圖形有多少塊黑色的瓷磚？（用含 n的代數(shù)式表示）【5、數(shù)表規(guī)律】兼具數(shù)字規(guī)律和圖形規(guī)律的特點，難度加大一 .11111例9將1, , 一 ,|按一定規(guī)律排列如下:23456第1行110,11 1第5行11 12 1314 15例10(1)在 2008年10月的月歷中（見圖1 ）,任意圈出一豎列上相鄰的三個數(shù), 三個數(shù)（從小到大排列）分別

13、是 設(shè)中間的一個為Oa ,則用含日一二三四五六j圖1123456112134（2）現(xiàn)將連續(xù)8910111213567811八91011數(shù)1至2008按15161718192012131415161718的方式排成一22232425262719202122232425方形的數(shù)陣，用293031323334262728293031正方形框出9個363738394041（見圖2）圖434445464748請你寫出第20行從左至右第10個數(shù)是a的整式表示這個數(shù)之和等于2007 ?若不可能，請說明理由；若有可能，199619971998199920002001出該正方形框出的9個數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)。（

14、寫出詳200320042005200620072008出的這9個數(shù)的和是；在圖中，能否使一個正方形框出7自然14圖中21個長28一個35數(shù)42中框49的9請求2002細(xì)的解題過程)練習(xí)：(1)已知一列數(shù)：1 , 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7,將這列數(shù)排成如下所示的形式：按照上述規(guī)律排下去，那么第 10行從左邊數(shù)第5個數(shù)等于.第1行1第2行2 3第3行4 56第 4 行 7 8 9- 10第 5 行 11 1213 1415(2)將正偶數(shù)排成5歹U,如下表:第1列第2列第3列第4列第5列第1仃2468第2仃16141210第3行182022242826根據(jù)上面排列規(guī)律，則 2000應(yīng)在

15、()A、第25行，第1列B、第125行，第2列C、第250行，第1歹U D、第250行，第2歹U(3)觀察一列數(shù)表：1234第一行；r ： 2345第二行3456第三行4567第四行IIIIIIIII,l I第第第第一I.-一 一弟根曲曲咻的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為多少？第 n行與第n列交叉點上的數(shù)應(yīng)為多少？(用 n表岫小)【5、其它規(guī)律】等比數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 q表示(q#0)。等比數(shù)列的通項公式為：分?jǐn)?shù)拆項主要有以下幾種形式:(1 )分母為兩個相鄰自然數(shù)時:1

16、 1 1 +1）檢療 +1（2）分母為不相鄰自然數(shù)時（差為a） := （ 1 ） xj_線（月+1） n n+a a（3）分母為三個相鄰自然數(shù)時：=J.X（ ）”（劉 + 1）（裾+2）2+1）（線+ 1）（月+ 2）為1, 124例ii我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。如圖，在一個邊長為i的正方形紙版上，依次貼上面積。請你用“數(shù)形結(jié)合”的思想，依數(shù)形變化的規(guī)律，計算1 一.，, 一 ，一, 一的矩形彩色紙片（n為大于1的整數(shù)） 2n例12計算:111+ +_ +24 8111+1+ ：2n11 2 3 2 3 4 345 456+2000 2001 2002練習(xí):(

17、1)有一列數(shù):第一個數(shù)為X1 =1,第二個數(shù)為X2 =3,第三個數(shù)開始依次記為X3，X4,.Xn ；從第二個數(shù)開始，每個數(shù)是它相鄰x1 x3兩個數(shù)和的一半。（如：X2=3 ）求第三、第四、第五個數(shù)，并寫出計算過程;根據(jù)（1）的結(jié)果，推測X8=；探索這一列數(shù)的規(guī)律，猜想第 k個數(shù)Xk=。（k是大于2的整數(shù)）(2)將一張長方形的紙對折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線）.繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折三次后，可以得到 7條折痕，那么對折四次可以得到 一條折痕。如果對折n次，可以得到條折痕?！?、數(shù)字問題】3 57 911例1觀祭一列數(shù)：1,7, ,-, ，- , 根據(jù)規(guī)律，

18、請你寫出第 10個數(shù)是。4 9 16 25 36解：正負(fù)控制：（_1）n+形式一致：1 - 5 ,分子規(guī)律：2n1分母規(guī)律：n214916;I串+則該數(shù)列的規(guī)律為：（2nT）（-D ,令n=10 ,第10個數(shù)為：_49n2100例2古希臘數(shù)學(xué)家把1 , 3 , 6, 10 , 15 , 21 ,叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第 100個與第98個的差為 解：第1個數(shù)：1第2個數(shù)：1+2=3第3個數(shù)：1+2+3=6第 4 個數(shù)：1+2+3+4=10依次類推。第 98 個數(shù)：1+2+3+.+98第 100 個數(shù)：1+2+3+100則第100 個與第98個的差為：100+99=199練習(xí)：(1)觀察

19、一列數(shù)： -,-, 包，-根據(jù)規(guī)律，請你寫出第 10個數(shù)是？2510172637解：正負(fù)控制：(_1)n+分子規(guī)律：n分母規(guī)律2 =12 +1 , 5 =22 +1 , 10 =32 +1 ,以此類推 則該數(shù)列的規(guī)律為：“&-*,令n=10 ,第10個數(shù)為：2n2 1101 111111” r(2)按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為_，_，,|“，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中第七個數(shù)是2 310 1526 35解：正負(fù)控制：(_1)n分子規(guī)律：1分母：2,3,10,15.分母規(guī)律：2 =12 +1,3 =22 1,10 =32 +1,15=42 1 ,以此類推：n2 -(-1)n則該數(shù)列的規(guī)律為：1T

20、n 一令n=7，第7個數(shù)為：2nn (1)50(3)某種細(xì)胞開始有2個，1小時后分裂成4并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個,按此規(guī)律，5小時后細(xì)胞存活數(shù)是 , n小時后細(xì)胞存活數(shù)是解：讀題該數(shù)列為：3, 5, 9, 17 ：.(一般一個數(shù)列知道前 3個可推出規(guī)律，再知道第 4個進(jìn)行驗證)不難發(fā)現(xiàn)：3 = 21 +1,5 = 22 +1,9 = 23 +1.,故該數(shù)列規(guī)律：2n +1令 n=5 ,第 5 個數(shù)為:25 +1 =32+1 =33【2、圖形規(guī)律】例3觀察圖給出的四個點陣,s表示每個點陣中的點的個數(shù)，按照圖形中的點的個數(shù)變化規(guī)律，猜想第n個點陣中的

21、點的個數(shù) s為().、A、3n2 B、3n 1 C、4n 鈍于 4n 丑事？/ 解：第1個圖：1第4個0第2個 第3個第4個第 2 個圖：1+4=1+4X - 10二第 3 個圖：1+4+4=1+4X2以此類推第 n個圖：1+4X (n 1) =4n -3例4若按下圖方式擺放餐桌和椅子，請?zhí)剿饕?guī)律并填表:餐桌張數(shù)1234.10n可坐人數(shù)6+4X 06+4X 1=106+4X 2=1418.42練習(xí):(1)觀察下列圖形，則第 n個圖形中三角形的個數(shù)是()第1個 第2個 第3個a、 2n 十2b、 4n +4c、4n4 d、4n解：第1個圖：4個第2個圖：8個第3個圖：12個規(guī)律：4n(2)如圖是

22、一組有規(guī)律的圖案，第 1個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第 2個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成,第8個圖案由 個基礎(chǔ)圖形組成，第 n(n是正整數(shù))個圖案中由一個基礎(chǔ)圖形組成。第 2 個圖(3)4+3=4+3X10第 3 個圖：4+3+3=4+3X2以此類推，第 n個圖：4+3X (n1) =3n+1 ，令n=8 ,第8個圖：3X 8+1=25(3)下列圖案是晉商大院窗格的一部分，其中代表窗紙上所貼的剪紙，則第 n個圖中所貼剪紙 O”的個數(shù)為.(1)(2)(3)解：第1個圖：5=5+3X 0第 2 個圖：5+3=5+3X1第 3 個圖：5+3+3=5+3X2以此類推，第n個圖：5+3X (n1) =3n+2I

23、 【3、循環(huán)排列規(guī)律】/例5如圖所示，數(shù)軸被折成 90,圓的周長為4個單位長度，在圓的4等分點處標(biāo)上數(shù)字0,1,2, 3先讓圓周上數(shù)字2所對應(yīng)的點與數(shù)軸上的數(shù) 3所對應(yīng)的點重合，數(shù)軸固定，圓緊貼數(shù)軸沿著數(shù)軸的正方向滾動，那么數(shù)軸上的數(shù)2009將與圓周上的數(shù)字重合。9解：2與3重合，1與4重合，0與5重合，3月6重合，接著82與7重合，1與8重合，0與9重合，3與10重合，以此類推4567發(fā)現(xiàn)：數(shù)軸上的數(shù)只能與 2、1、0、3這4個數(shù)中的一彳數(shù)重這4個數(shù)(2,1,0,3,2,1,0,3.)反復(fù)的在數(shù)軸上循梟出M而 3 到 2009 間有：2009 -3+1=2007 個數(shù)，2007+ 4=501

24、 余數(shù) 3也就是說2、1、0、3這4個數(shù)循環(huán)了 501次，還要多走3個。當(dāng)余數(shù)為0,說明正好循環(huán)，對應(yīng)數(shù)與 3重合。余數(shù)為1則與2 重合，余數(shù)為2則與1重合，余數(shù)為3則與0重合。本題與數(shù)字0重合。例6手的示意圖，在各個手指間標(biāo)記字母A、B、C、D.請你按圖中箭頭所指方向（即 A-B-C-D-C-B-A-B-C的方式）從 A 夕屏歡正整數(shù)1, 2, 3, 4，當(dāng)數(shù)到12時，對應(yīng)的字母是 止汝!C201次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是 ;當(dāng)字母C第2n+1、次出現(xiàn)時,（n為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是 （用含n的代數(shù)式親衣）.（解：由題知：AfB fCfD -CfBf對應(yīng)數(shù)：123456也就是說字母循環(huán)節(jié)數(shù)為

25、 “6”，每數(shù)6個數(shù)后，字母將循環(huán)出現(xiàn)12+6=2余數(shù)0說明正好循環(huán)完畢，對應(yīng)字母 B,即：當(dāng)數(shù)到12時，對應(yīng)的字母是 B字母C第1次出現(xiàn)對應(yīng)數(shù)為：3,第2次出現(xiàn)對應(yīng)數(shù)為：5, 一個循環(huán)內(nèi)出現(xiàn)了 2次字母C第201次出現(xiàn)時，說明：循環(huán)節(jié)循環(huán)了100次+3 ,即，數(shù)到的數(shù)是：100X 6+3=603循環(huán)節(jié)循環(huán)n次，字母C將出現(xiàn)2n次，字母C第2n+1次出現(xiàn)，說明繼續(xù)走了 3對應(yīng)數(shù)字是：6n+3練習(xí)：（1）如圖所示，圓的周長為 4個單位長度，在圓的4等分點處標(biāo)上數(shù)字0,1,2,3 。先讓圓周上數(shù)字0所i ta |對應(yīng)的點與數(shù)軸上的數(shù)一1所對應(yīng)的點重合，再讓數(shù)軸按逆時針方向繞在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)

26、JI I.-2006 將與圓周上的數(shù)字 重合。-5-4-3-2-10解：按照0,2,3,1 的順序循環(huán)，4個數(shù)一個循環(huán)節(jié)遛）數(shù)1 到 2006 之間有：（ 1 ） （ 2006 ） +1=2006 個數(shù)2006 + 4=501 余數(shù)2 ,余數(shù)1與0對應(yīng)，余數(shù)2與2對應(yīng)，余數(shù)3與3對應(yīng)，余數(shù)0與1對應(yīng) ,i I故 2006與圓周上的數(shù)字2重合。 i（2）觀察下圖中正方形四個頂點所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù) 2011應(yīng)標(biāo)在0E7|一A、第甲2個正方H左下角B，% 502個，;形的右下角,4C、第503個正方形白左上角D第503個正J形的右下角:2011+ 3=5022卷數(shù)務(wù)那么201平 峨淬 503個正

27、方形型的集庫里現(xiàn)戶答案C正方形正方形正方形,規(guī)律 （其中是三角形，匚是正方形，O是圓），匚。P口-，若第一個圖形是正方形,則第2008個圖形是（填圖形名稱）解：看昏了吧，o（n_n）o哈！ 是三角形記作1,匚是正方形記作2,。是圓記作3看出什么？ “ 2312231 ”這7個數(shù)為一個“循環(huán)節(jié)”2008 +7=286 余數(shù)6,余數(shù)6對應(yīng)循環(huán)節(jié)中的第 6個數(shù)：3, 3對應(yīng)的是O,也就是圓【4、算式規(guī)律】例7 1+2+3+-+100=?經(jīng)過研究，這個問題的一般性結(jié)論是1 +2 +3 +.+n =嗎+,其中n是正整數(shù)。現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：1 m2+2m3+.+n(n+1)=?觀察下面三個特殊

28、的等式： .一1將這三個等式的兩邊相加，可以得到1X2+2X 3+3X 4 = 一父3父4父5=203讀完這段材料，請你思考后回答：1 一一一 _斛：1 2 =- 1 2 3-0 1 231以此類推 99 100 =(99 100 101 -98 99 100)這些式子加起來，左邊 =1 2 2 3 JU 100 101 1右邊=_父100父101父102=343400(原理：裂項相消)3如果此題改為：求1x2x3 + 2m3m4+3m4m5+98x99x100的值？1 .提不：1 2 3 = (1 2 3 4 ：0 1 2 3)例8觀察下列三行數(shù)：(武珞路期中考試壓軸題，來自某年某月某日的中

29、考題，超綱了)1, 2, 4, 8, 16, 32,；2, 4, -8, 161) 科數(shù)蛛么規(guī)律囪0, 6, 6, 18, 30, 66,；解：有個常識 a=1(a#0), am an=am + (a=0), a=?(a0):a七年級學(xué)生還沒學(xué)，先記著吧，名校喜歡這么搞超前不看符號：1, 2, 4, 8, .的規(guī)律就是2n/第1項n=1時，20 =1符號控制：()n ,因此該數(shù)列規(guī)律：(_1)n，2n工(2)第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系？I I解：第行數(shù)是第行數(shù)的2倍，第行數(shù)規(guī)彳t是：(_1)n，2nM2= (1)n，2n* = (1)n 2n第行數(shù)比第行數(shù)，每個數(shù)大2,所以第行數(shù)是第行數(shù)的2

30、倍加2第行數(shù)規(guī)律是：()n 2n +2(3)取每行數(shù)的第n個數(shù)，這三個數(shù)的和能否等于- 1278 ,如果能，指出是每行的第幾個數(shù)，并求出這三個數(shù)；如果不能，請說明理由。解：每彳f的第n個數(shù)符號都是一樣的(同為正或負(fù))，要使得這3個數(shù)的和為負(fù)數(shù)，則 3個數(shù)都必須為負(fù)數(shù)，即n應(yīng)該是奇數(shù)，所以：(_1)n=1,取每行數(shù)的第n個數(shù)，這三個數(shù)的和可表示為：(-2n) +(-2n) +(-2n +2),由題知：-2n-2n -2n +2=-1278 (移項)精心整理1整理：2 一+2 +2 =1280, 2，2一+2 2 =1280, 2 +2 2 =1280252n =1280 ,即2n =512,解得

31、n=9 ,即每行的第9個數(shù)之和為12782則 3 個數(shù)為：q56, -512, -510練習(xí)：2222(1)觀察下列算式：1父5+4=3 , 2父6+4=4 , 3父7+4=5 , 4黑8+4 = 6，請你在觀察規(guī)律之后并用你得到的規(guī)律填空：48 M 52+4 =502,第n個式子呢？ 解：第 n 個式子：n(n+4)+4 =(n+2)2(2)觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？23X5 =15，而 15 = 4 1 ：.2,5X7 = 35,而 35 = 6 12,11 X13 = 143 ,而 143 = 12 -1將你猜想到的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來： O jZl I.解：(n -

32、1)(n 1) =n2 -1(3)下列圖是由同型號黑白兩種顏色的三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形。(武珞路期中考，也是中考題 )仔細(xì)觀察圖形可知：圖有1塊黑色的瓷磚，可表示為1 = (1 *1)1 .2圖有3塊黑色的瓷磚，可表示為 1 + 2 = (1 +2) 2 .2 (1 3) 3圖有3塊黑色的瓷磚，可表布為 1 +2 +3 =-2實踐探索：(1)請在圖的虛線框內(nèi)畫出第4個圖形(只須畫出草圖)自己畫吧(2)第10個圖形有 一 塊黑色的瓷磚(直接填寫結(jié)果)(3)第n個圖形有多少塊黑色的瓷磚？(用含 n的代數(shù)式表示)解：第n個圖形中有1+2+3+4+.+n個黑色的瓷磚(其實就是“高斯求和”)這是

33、等差數(shù)列1+2+3+4+.+n(1 . n)n2當(dāng)n=10時，第10個圖形有：55塊黑色的瓷磚【5、數(shù)表規(guī)律】兼具數(shù)字規(guī)律和圖形規(guī)律的特點，難度加大。1 11 11例9將1,，一，一一，一，, |按一定規(guī)律排列如下:2 34 56第1行11第4行71第5行,111 112 131 114 15精心整理111213請你寫出第20行從左至右第10個數(shù)是111111斛：首先找出1, 一一，一，_, ,_ ,|這個數(shù)列的規(guī)律：（_1）2 34 56n第1行1個數(shù)，第2行2個數(shù)，第3行3個數(shù)，以此類推， .1 11 11 那第20仃從左至右第10個數(shù)，TE數(shù)列1 |中的第多少個數(shù)？23 45 6（1 1

34、9） 1911111 .1應(yīng)該是：（1+2+3+.+19） +10= ：1+10 =200,那么數(shù)列 1 -一 | 中的第 200 個數(shù)：2 23 45 6200就是我們要找的例10 （1）在2008年10月的月歷中（見圖1）,任意圈出一豎列上相鄰的三個數(shù)，設(shè)中間的一個為a ,則用含a的整式表示這三個數(shù)（從小到大排列）分別是 。圖1日一二三四五六1 解：12341a -7,a,a 7567891011（2）現(xiàn)將連續(xù)12131415161718數(shù)1至2008按19202122232425的方式排成一262728293031方形的數(shù)陣，用正方形框出9個數(shù)12345678910|1112131415

35、161718192021圖222232425 262728自然29303132333435圖中個長1996199719981999200020012002一個200320042005200620072008（見圖2）圖中框出的這9個數(shù)的和是；在圖中，能否使一個正方形框出的 9個數(shù)之和等于2007 ?18 19 20若不可能，請說明理由； 若有可能，請求出該正方形框出的 9個數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)。（寫出詳細(xì)的解25 26 27題過程）解：對于框中的9個數(shù)之和，你當(dāng)然可以直接加加算出來, 但不建議這么干，要為后面的問題找到一個通用的方法。 設(shè)正中間的數(shù)為a,如圖，這9個數(shù)之和可表示為：a 8 a

36、7 a 6a 1 a a + 1a+6 a+7 a+8=9a當(dāng)a=19 ,圖中框出的這 9個數(shù)的和是：19X 9=171當(dāng)9a=2007 時，a=223 ,此時該正方形框出的 9個數(shù)中最小數(shù)：a 8=223 -8=215 最大數(shù)：a+8=223+8=231練習(xí):（1）已知一列數(shù)：1 , 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7,將這列數(shù)排成如下所示的形式：按照上述規(guī)律排下去，那么第 10行從左邊數(shù)第5個數(shù)等于.第1行1第2行2 3第3行4 5-6i, /III I第 4 行 7 8 9- 10第 5 行 11 1213 1415解：首先找出1 , 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7, 這個數(shù)

37、列的規(guī)律：（1）n*n第1行1個數(shù)，第2行2個數(shù)，第3行3個數(shù)，以此類推,那第10行從左邊數(shù)第5個數(shù)，是數(shù)列1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 , 中的第多少個數(shù)?(1 9) 9應(yīng)該是：(1+2+3+.+9) +5= 1+5=50,那么數(shù)列 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 中的第 50 個數(shù)：-50,就2，是我們要找的（2）將正偶數(shù)排成5歹U,如下表:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行1820222432302826根據(jù)上面排列規(guī)律，則 2000應(yīng)在（）A、第25行，第1列B、第125行，第2列C、第250行，第1歹U D

38、、第250行，第2列解：每行有4個數(shù)，奇數(shù)行第1列空缺，數(shù)由小到大排列；偶數(shù)行第5列空缺，數(shù)由大到小排列2、4、6、82000是一個等差數(shù)列，公差為 2,按照前面所講項數(shù)=（末項首項） +公差十1 ,所以2到2000之間有：1000項那么2000位于：1000+ 4=250 余數(shù)0即2000位于第250行末尾處，偶數(shù)行末尾列是第1列第1歹U第2列第3列第4列第1行1234第2行2345第3行3456;第4行4567（3）觀察一列數(shù)表:根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第 6行與第6列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為多少？第 n行與第n列交叉點上的數(shù)應(yīng)為多少？（用 n表示）解：第1行第1列是數(shù)字1 ,第2行第2列是數(shù)字3,第3行第3列是數(shù)字5,第4行第4列是數(shù)字7以此類推，發(fā)現(xiàn)第 n行第n列的數(shù)字組成數(shù)列：1、3、5、7、.、2n -1J I/ I易知，第6行與第6列的交叉點上的數(shù)應(yīng)為：2X 6-1=11I- 【5、其它規(guī)律】例11我國著名數(shù)學(xué)家