《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)四川省馬爾康中學(xué) 余其剛一、教學(xué)內(nèi)容分析等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，等差數(shù)列求和是實(shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問題。本節(jié)內(nèi)容主要研究如何應(yīng)用倒序相加法推證等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式的應(yīng)用。求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問題，通過對(duì)公式推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)來源于生活，讓學(xué)生掌握從特殊到一般、從直觀到抽象的研究數(shù)學(xué)問題的方法。二、學(xué)情分析在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì)，從小學(xué)到初中，學(xué)生對(duì)高斯算法有所了解，為倒序相加法方法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)；學(xué)生已有了函數(shù)知識(shí)，在教學(xué)中適當(dāng)滲透函數(shù)思想。高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離，如何

2、從首尾配對(duì)法引出倒序相加法，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙。由于我校學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性不高，基礎(chǔ)較差。因此，要提前一天讓學(xué)生預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。三、設(shè)計(jì)理念學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過程，應(yīng)該讓學(xué)生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)。在教學(xué)過程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法。通過設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問題解決中

3、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)同時(shí)根據(jù)我校分層教學(xué)的特點(diǎn)，為促進(jìn)成績(jī)優(yōu)生的發(fā)展，還設(shè)計(jì)了選做題和探索題，培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解決問題的能力，達(dá)到分層教學(xué)的目的。四、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路；了解倒序相加法的原理；2.會(huì)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題；能力目標(biāo)： 通過公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，滲透函數(shù)思想與方程（組）思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、反思的能力；提高學(xué)生的推理能力和應(yīng)用意識(shí)。情感態(tài)度價(jià)值觀：通過小組討論學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)。五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用

4、公式解決一些實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得和靈活應(yīng)用。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的感悟和體驗(yàn)設(shè)計(jì)內(nèi)容世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？（多媒體展示三角形圖案）設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的感悟和體驗(yàn)，從實(shí)際問題入手，圖中蘊(yùn)含算數(shù)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣，并且可引導(dǎo)學(xué)生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊。知識(shí)鏈接 高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。200多年前，高斯的算術(shù)教師提出了下面的問題：計(jì)算從1到10

5、0的自然數(shù)數(shù)之和。那個(gè)老師認(rèn)為，這些孩子算這道題目需要很長(zhǎng)的時(shí)間，所以他一寫完題目，就做到一邊看書去了。誰知，他剛坐下，馬上就有一個(gè)學(xué)生舉手說：“老師，我做完了。”老師大吃一驚，原來是班上年紀(jì)最小的高斯老師走到他身邊，只見他筆記本上者5050，老師看了不由得暗自稱贊。為了鼓勵(lì)他，老師買了一本數(shù)學(xué)書送給他。思考：現(xiàn)在如果要你算，你能否用簡(jiǎn)便的方法算出它的值呢？123+100？據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1100）（299）（5051）101×505050. 學(xué)情預(yù)設(shè)高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性。教學(xué)時(shí)，應(yīng)

6、給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律。學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對(duì)的方法來求和，但估計(jì)他們對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于記憶階段，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了以下三道由易到難的問題。（二）由易到難，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問題1 圖案中，第1層到第61層一共有多少顆寶石？該題組織學(xué)生分組討論，在合作中學(xué)習(xí)，并把小組發(fā)現(xiàn)的方法一一呈現(xiàn) 學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法：方法1：原式（12360）61方法2：原式 0126061方法3：原式（12303261）31以上方法實(shí)際上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解，教師應(yīng)進(jìn)行充分肯定與表?yè)P(yáng)

7、。設(shè)計(jì)意圖 這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問題，若簡(jiǎn)單地摹仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對(duì)的問題，借此滲透化歸思想。問題2：求圖案中從第1層到第n層（1n 100，）共有多少顆寶石？學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生通過激烈的討論后，發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時(shí)不能配對(duì)，可能會(huì)分n為奇數(shù)、偶數(shù)的情況分別求解，教師如何引導(dǎo)學(xué)生避免討論成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵。設(shè)計(jì)意圖 從求確定的前n個(gè)正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的研究方法，旨在讓學(xué)生對(duì)“首尾配對(duì)求和”這一算法的改進(jìn)。啟發(fā)：（多媒體演示）在三角形圖案右側(cè)倒放一個(gè)全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形。設(shè)計(jì)意圖 借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學(xué)生記憶深處的東西，并為

8、倒序相加法的出現(xiàn)提供了一個(gè)直接的模型。通過以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，相信容易得出解法：（多媒體展示以下過程） sn=1 + 2 + 3 + +（n1） + n Sn= n +（n1） + （n2）+ + 2 + 1_2sn= (n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1)sn=1+2+3+n= (公式1)在一般的等差數(shù)列an中如何求其前n項(xiàng)和sn，此問題由學(xué)生自行根據(jù)前面的問題的分析自行解決。問題3： 在公差為d的等差數(shù)列an中，如何用d和a1表示其前n項(xiàng)和？組織學(xué)生討論：在公式1中若將an=a1+（n1）d代入將出現(xiàn)結(jié)果即：（公式2）分析此公式可表示為：充分說明用

9、函數(shù)的思想解題的依據(jù)。（三）設(shè)置典例，促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用對(duì)于以上兩個(gè)公式，初學(xué)的學(xué)生在解決一些問題時(shí)，往往不知道該如何選取教師應(yīng)通過適當(dāng)?shù)睦右龑?dǎo)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行分析，根據(jù)公式各自的特點(diǎn)，幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式。例1 為了參加冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)的5000m長(zhǎng)跑比賽，某同學(xué)給自己制定了7天的訓(xùn)練計(jì)劃（單位：m）如下表：5000550060006500700075008000問這個(gè)同學(xué)7天一共將跑多長(zhǎng)的距離？設(shè)計(jì)意圖 該例題可以鍛煉學(xué)生處理數(shù)據(jù)信息的能力和選用公式的能力。學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式1；也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式2，通過兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)注

10、意選擇適當(dāng)?shù)墓剑员阌谟?jì)算。例2 已知等差數(shù)列5，4 ，3 ，求(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列an的前幾項(xiàng)和為？(3)Sn的最大值為多少？并求出此時(shí)相應(yīng)的n的值。設(shè)計(jì)意圖 通項(xiàng)公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個(gè)基本元素，如果已知其中三個(gè)，就可求其余兩個(gè)（知三求二），主要訓(xùn)練學(xué)生的方程（組）思想。第（3）小題是讓學(xué)生初步接觸用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題，為函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ)。主要熟悉掌握以下知識(shí)：由若令可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是在常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上，可用二次函數(shù)的知識(shí)解決的最值問題； 若數(shù)列的前n項(xiàng)和（），則數(shù)列一定是等差數(shù)列； 由，可知，點(diǎn)在直線上； 在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，最

11、大，當(dāng)時(shí)，最小。（四）反饋調(diào)控，了解學(xué)生掌握知識(shí)情況以便調(diào)控練習(xí)1 已知等差數(shù)列an的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求前n項(xiàng)和Sn練習(xí)2 等差數(shù)列an中，a1= 4， a8= 18， n=8，求公差d及前n項(xiàng)和Sn（五）回顧反思，深化知識(shí)組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，小組之間互相補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深化。1從特殊到一般的研究方法；2體會(huì)倒序相加的算法，掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式，領(lǐng)會(huì)方程組思想；3前n項(xiàng)和公式的函數(shù)意義；（六）布置作業(yè)1課本P122習(xí)題3.3：1，2 2探索題： 數(shù)列的前n項(xiàng)和= + + + + ，求； 若公差為d(d0）的等差數(shù)列中，= + + + ，你能否由題的啟發(fā)，得到的表達(dá)式？設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)探索題的目的是為了給學(xué)生提供提升解決問題和分析問題能力的平臺(tái)，此方法實(shí)際是數(shù)列求和中的裂項(xiàng)求和的方法。培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的能力，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的意志品質(zhì)。七、教學(xué)反思等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和。該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的理解，該推導(dǎo)過程體現(xiàn)了人類研究、解決問題的一般思路本節(jié)課教學(xué)過程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路為了突破這一難點(diǎn)，在教學(xué)中采用了以問題驅(qū)動(dòng)的教