大學(xué)高數(shù)常用公式大全

1、百度文庫1導(dǎo)數(shù)公式:高等數(shù)學(xué)公式2(tgx) sec x(arcsin x)(ctgx)2csc x(secx)secx tgx(arccos x)(cscx)cscx ctgx(ax)axI na(arctgx)(IogaX)1(arcctgx)1a1 x1?112x11 x2基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分:tgxdxIn cosxdx2cosxsec xdxtgx CctgxdxIn sin xsecxdxInsecxtgxdx-2sin xcsc2xdxctgx CcscxdxIncscxctgx Csecxtgxdxsecxcscx ctgxdxcscx Cdx1Inxa222axa

2、xadx1ax22II1ax2aax1CCdx22a xarctgaCaaxdxshxdxchxdxIn achxshx_ dxa2.x arcsinadxx2In( xx2a2) Csinnxdx2cosnxdxIn.x2a2dxx2i x2a2x22adxx2 x2a2 a22xdxx2a2x2亠2ucosx12uutg2，sin x2，1 u12，uooIna2I (In(x22a . In x2x2a2) Cx2a2a2ix C arcs in C2dx2du1 u2百度文庫22、arshx ln(x x1)archxIn (xx21)三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：函數(shù)角Asincostgc

3、tg-a-sinacosa-tga-ctga90 acosasinactgatga90 acosa-sina-ctga-tga180asina-cosa-tga-ctga180a-sina-cosatgactga270 a-cosa-sinactgatga270 a-cosasina-ctga-tga360 a-sinacosa-tga-ctga360 asinacosatgactga-和差化積公式:一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦：shx雙曲余弦：chx雙曲正切:thxsinxlim1x 0 x1xlim(1 -)x xxe 2.718281828459045shxchxarthx丄In

4、1sin(cos(tg(ctg(sincostgcoscostg1 tg tg ctgctg ctg ctgcos sinsin sinsinsincossinsincos2sin cos-2 22 cos sin 2 22 cos cos 2 2coscos2 sin-sin-2 2-和差角公式:百度文庫13cos22 22 cos1 1 2s inctg212cos2sinsi n3cos33si n4si n34cos33cosctg232ctg3tg tg倍角公式:sin 22si ncos1 3tgtg22tg1 tg2sin 2tg2. 1 cos-半角公式:1 cos1 cos1

5、 cossinsin1 coscos2ctg-正弦定理：，一sin Asin B亠2Rsin C-余弦定理:-反三角函數(shù)性質(zhì):arcs in xarccosxarctgx高階導(dǎo)數(shù)公式一一萊布尼茲(Leibniz公式:(uv)(n)nCnU(nk 0k)v(k)u(n)vnu(n 1)vn(n 1)u2!(n 2)vn(n1) (n kk!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(b)f (a)f (a)F ()f ( )(b a)1 cos21 cos1 cossin1 cossin1 cosb22abcosC1)arcctgx(n k)v(k)uv(n)當(dāng)F(x) x時

6、,曲率：F(b) F(a)柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理?；∥⒎止?ds 1y2dx,其中y tgs：MM弧長。平均曲率：K:從M點到M點，切線斜率的傾角變化量;M點的曲率:lism0I J Ids直線：K 0;y|.(1 y2)3半徑為a的圓:百度文庫4b矩形法：1(x)(yoyianb梯形法：1b a1 /(x)(y。an 2定積分的近似計算:yn)yib拋物線法：f (x)a字(y。yn)3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W水壓力:yyn l2(y2y4yn 2)4(yiy3yn 1)為引力系數(shù)。r函數(shù)的平均值：y b a引力：Fbf(x)dxa均方根：/1”b abf2(t)dta空間

7、解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離：dM1M2向量在軸上的投影：Pr juAB(X2Xi)2AB cos ,是AB與u軸的夾角。(y2yj2(Z2乙)2Prju(aia2)Pr jaiPr ja2a b cosaxbxaybyazbz，是一個數(shù)量，兩向量之間的夾角:cosaxbx2 2axayaybyazbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxaybyazbza b sin.例: 線速度:向量的混合積:abc (ab) caxbx代表平行六面體的體積 。Cxcb I c cosazbaybyc、.為銳角時,百度文庫x5二次曲面:多元函數(shù)微分法及應(yīng)用多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dz平面的方程：1、

8、點法式：A(x xo) B( y yo) C(z般方程：Ax By3、截距世方程：-ya bzo)0,其中n A, B,C, Mo(Xo,yo,Zo)2、Cz D 0平面外任意一點到該平面的距離:AxoBy。CzoD A2B2C2Xo空間直線的方程:x XomZopt,其中s m, n, p;參數(shù)方程:y。ZmtntPt1、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222:xyz:2 22abc222:xyz:2.22abc全微分：dz dxx全微分的近似計算：dy yz dzdu dx dy dz y zfy(x,y) yxfx(x, y) xz fu(t),v(t)2、橢球面

9、:1拋物面:雙曲面:11(馬鞍面)單葉雙曲面雙葉雙曲面百度文庫6dtz fu(x,y),v(x,y)x當(dāng) u u(x,y), v v(x, y)時，du dx dyx y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：dvdxxdyy隱函數(shù) F(x,y) 0,dydxd2y隱函數(shù) F(x,y,z) 0,Fy，F(xiàn)Fz，dx2(音)+(x FyyFxydydxFz百度文庫x7FF隱函數(shù)方程組：F(x,y,u,v)0J(F,G)u飛FuFvG(x,y,u,v) 0/ (u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)XJ(x,v)XJ(u,x)u1(F,G) / v1(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用

10、:曲面F (x, y,z) 0上一點M(Xo,y,Zo),則:1、 過此點的法向量:n Fx(x, yo,z), Fy(x,yo, zo), Fz(x,y,z。)2、 過此點的切平面方程 :Fx(Xo,yo,z)(x Xo) Fy(Xo,y,Zo)(y y) Fz(x, y,z)(zx Xoy yoz ZoFx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo, yo,Zo)Fz(x,yo,Zo)方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù) z f (x, y)在一點 p(x,y)沿任一方向 I 的方向?qū)?shù)為：fcos sinl xy其中為 x 軸到方向 I 的轉(zhuǎn)角。函數(shù) z f (x, y)在一點 p(x,y)的梯度：gradf(x,

11、y) i jx y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：-f grad f (x,y) e,其中 e cos i sinj，為 I 方向上的單位向量。f 是 gradf (x, y)在 l 上的投影多兀函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(xo,yo)fy(Xo, yo)0,令:fxx(Xo, yo) A,fxy(Xo, yo) B,fyy(x,yo)CAC2B0時，Ao,(Xo,yo)為極大值A(chǔ)o,(Xo,yo)為極小值則：ACB20時，無極值x空間曲線yz(t)(t)在點M (x0, y0, z )處的切線方程:(t)X Xo(to)y y。(to)z Zolt0)在點M處的法平面方程:(to)(x Xo)(to)

12、(y yo)(to)(z Zo)o若空間曲線方程為:F(X，y，Z),則切向量 TG(x,y,z) oFyFyGyGZGzGxGxGyZo) o3、過此點的法線方程:百度文庫8ACB20時，不確定百度文庫9重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面積A2dxdy平面薄片的重心：x業(yè)Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量： 對于X軸IX平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xd3?D/222X2(x y a )柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：Fxy2(x, y)d ,D對z軸上質(zhì)點M (0,0, a),(a(x, y)yd

13、y (x,y)dD(x, y)dD對于y軸Iy0)的引力:FyD /(x y3,a2)2Fzx r cos柱面坐標(biāo)：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrd(x, y)dfadz,Fx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐標(biāo)：y r sin sin，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d01M轉(zhuǎn)動慣量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲線積

14、分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)設(shè)f (x, y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為:(t)f(x,y)ds f (t),L(t).2(t)2(t)dtr(,)F(r,0)r2sindrdv,其中Mdvdv,Izy2) dv(x2),則:特殊情況:y (t)百度文庫102、P(x,y)， Q(x,y)在 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(t) Q(t),(t)(t) dt(P cosLQ cos)ds，其中和分別為格林公式：Q(P)dxdy:PdxQdyDxyLD 的面積AdxdyxdyydxD2L且Q P。注意奇點,如(0,0)，應(yīng)xy減去對此奇點的積分，注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積：在Q-時，

15、PdxQdy 才是二兀函數(shù)u (x , y )的全微分，其中xy(x,y)u(x,y)P (x, y) dxQ ( x, y )dy，通常設(shè)Xoyo0。(xo,y)曲面積分:對面積的曲面積分：f (x, y, z)dsfx, y,z(x,y)1 z；(x,y) zj(x, y)dxdyDxy對坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy，其中：高斯公式:咼斯公式的物理意義通量與散度：散度：divQR,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若 div0,則為消失P( x,y )dx Q(x,y )dyLP (t),(t)兩類曲線積分之間的關(guān)系：P

16、dxQdyL 上積分起止點處切向量的方向角。格林公式：(Q_P)dxdy- Pdx QdyDxyL當(dāng) Py,Q x，即：QP2 時，得到xy平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：設(shè) L 的參數(shù)方程為y1、G 是一個單連通區(qū)域;第二類曲線積分(對坐標(biāo)的曲線積分)，則：(t)R( x, y, z) dxdyP(x, y, z)dydzQ(x, y, z)dzdxRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上側(cè)時取正DxyPx(y,z), y,zdydz,取曲面的前側(cè)時取正yzQx, y(z,x), zdzdx,取曲面的右側(cè)時取正號;號;號。zx兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz Qdzdx Rdxdy(

17、P cos Q cosRcos )ds)dvzPdydz Qdzdx Rdxdy(Pcos QcosRcos )ds百度文庫11xyz通量： A ndsAnds(Pcos QcosRcos )ds，因此，高斯公式又可寫 成：div Adv - Ands百度文庫12斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:()dydz ( )dzdxy zzxdydz dzdx上式左端又可寫成：xyPQ空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：i jk旋度：rotAx yzP QR向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量:QP()dxdyo Pdx QdyRdzxydxdycoscoscoszxyzRPQRRQPRQ Pyzzxx y

18、常數(shù)項級數(shù):等比數(shù)列：1q2qn 1qn1 q1 q等差數(shù)列：123(nn1)n2調(diào)和級數(shù)：1111是發(fā)散的23n級數(shù)審斂法:絕對收斂與條件收斂:c PdxQdyRdz A tds1、正項級數(shù)的審斂法- 根植審斂法（柯西判1 時，級數(shù)收斂設(shè)lim Un，則1 時，級數(shù)發(fā)散1 時，不確定2、 比值審斂法:1 時，級數(shù)收斂設(shè)limU n 1，則1 時，級數(shù)發(fā)散nUnn1 時，不確定3、 定義法：SnU1U2un; limnSn存在，則收斂；否則發(fā)別法）：散。,un0）的審斂法 萊布尼茲定理:如果交錯級數(shù)滿足UnUn 1limUn0n那么級數(shù)收斂且其和 s Ui,其余項 rn的絕對值 rnUn 1。

19、交錯級數(shù) u1u2u3u4(或 u1u2u3百度文庫213(1)U1U2W U2如果(2)收斂， 如果(2)發(fā)散，un，其中un為任意實數(shù);Un調(diào)和級數(shù):級數(shù):P級數(shù):U3則(1)肯定收斂，且稱為絕對 而收斂，1發(fā)散，而nA收斂；n1nP幕級數(shù):對于級數(shù)1 x x2(3)aa/數(shù)軸上都收斂，則必存求收斂半徑的方法：設(shè)函數(shù)展開成幕級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):余項：RnH(n 1)!收斂級數(shù)；則稱(1)為條件收斂級數(shù)。收斂；n1時發(fā)散1時收斂2a2x)(x1時，收斂于1 x1時，發(fā)散na.x在R,nim憐I，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全R時收斂R時發(fā)散R時不定，其中R稱為收斂半徑。0時，R -

20、其中an，an 1是(3)的系數(shù)，則f(x)f(x0)(xX。)f2!(xo)(x xo)2n!X00時即為麥克勞林公式:0時，R時，R 0X0)n1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：lim Rn0nf(x) f(0) f (0)x號以2f(n)(0)nxn!些函數(shù)展開成幕級數(shù)：1 mx x2m(1 x)2!sin x x3x3!5x5!1)n歐拉公式:cos xixe cos xi sin xsin xn!2 n 1xx1 x 1)2ixeim(m 1) (m n 1)1(2n1)!三角級數(shù):百度文庫14微分方程的相關(guān)概念:f(t) Ao其中，a。正交性：1 ,sin x, cos

21、x, sin 2x,cos 2x上的積分=傅立葉級數(shù)：aAo，anAnsin.,b(ancos nxn 1Ancosn，sinnx, cos nxbnsin nx)t x。任意兩個不同項的乘積0。(ancos nx bsin nx)，周期f (x)1nf (x) cos nxdx其中b(x)sin nxdx正弦級數(shù):余弦級數(shù):1a0221尹1尹82(n(n0,1,21,2,31尹1尹2-(相加)62-(相減)12an0, bnf (x) sin n xdx0n 1,2,3f (x)bn0, an2f (x) cos nxdxn 0,1,2f (x)240sin nx 是奇函數(shù)ancos nx 是偶函數(shù)f (x)a0,n(ancos 2n 1lx . bnn sin lX),周期2l1一、nanf (x) cos x . dx1(n0,1,2)其中l(wèi)l1bn1f (x) sin lx . dx(n1,2,3)周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):l齊次方程：一階微分方程可以寫成乎f(x,y)dx(x, y)，即寫成y的函數(shù)，解法：x設(shè)uy，則業(yè)u x dx即得齊次方程通解。一階線性微分方程：du xdxdu udxdx(u)，xdu(u)分離變量，u積分后將代替u，x1、一階線性微分方程：業(yè)P(x)yQ(x)/當(dāng) Q (x)0