角平分線平行線等腰三角形“知識(shí)板塊”的應(yīng)用

1、1.角平分線遇平行線出現(xiàn)等腰三角形。分a、b兩種情形:a、如圖甲：一直線與角的一邊平行CD /OADO DC等腰三角形DOCb、如圖乙：一直線與角的平分線平行13DE /OC4 OD OE等腰三角形ODE2.等腰三角形與角平分線往往出現(xiàn)平行線a、如圖甲：等腰三角形的一腰與角的一邊平行CO DC23 CD/OAb、如圖乙:等腰三角形的底邊與頂角的外角平分線平行122)AOBOC/DEa、如圖甲：與一腰平行OA/DCb、如圖乙：與底邊平行CO DCOD OEODOEAOBAOB3.等腰三角形與平行線往往出現(xiàn)角平分線DE/OC角平分線、平行線、等腰三角形關(guān)系密切，在題設(shè)中若見(jiàn)其一，應(yīng)思其二，想其三；

2、或作其二，尋找發(fā)現(xiàn)其三，這種解題思路方法往往能得到打開(kāi)第一道大門的金鑰匙，突破解題的一個(gè)難點(diǎn)，使一類題目變難為易成為可能，使學(xué)生對(duì)題目一看就會(huì)成為可能。這種思維方法稱為“知識(shí)板塊”思維。角平分線、平行線、等腰三角形“知識(shí)板塊”的應(yīng)用舉例：例1、如圖1:已知在ABC中ABC、ACB的平分線交于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)I作DE/BC,分別交AB、AC于點(diǎn)D、E。求證:證明:DE/BCDE=BD+CE。13BDDI同理：CEEIDEDIIEBDCE例2、如圖2:已知DIE的周長(zhǎng)等于BC。證明：DI/ABI是ABC的內(nèi)心,2DIBDDI/AB交BC于點(diǎn)同理：EI=CEoDIE的周長(zhǎng)=DI+IE+ED=BC例3、如圖

3、3:已知在ABC中，DE/BC,交AB于點(diǎn)證明：DEBCE,2交AC于點(diǎn)BDEF,ABC求證:的平分線與ACBEF=BEBDEBEED的外角平分線交于點(diǎn)D,同理：CF=FDEF=ED-FD=BE-CF例1、例2、例3都是由角平分線、平行線發(fā)現(xiàn)等腰三角形，并且同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)，而這個(gè)發(fā)現(xiàn)是突破此類問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵。例4、平行四邊形ABCD中，AB=3BC=4,ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,BCD的平分線交AD于點(diǎn)解：F,BE、CF交于點(diǎn)FG=1。求:A的度數(shù)。平行四邊形ABCDAD/BCADBCAEABABAE3DEADAEADBCBCAD4同理可證：.EF=ADDF=CD=AB=3(AF+DEAF=1

4、平行四邊形ABCDAB/CDABCBCD1800ABCBCD2390BGC900EGF900FG1,1FGEF21300A1200300評(píng)注：此題關(guān)鍵在于利用角平分線、平行線發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，即4ABE和DCF。利用平行四邊形的對(duì)邊相等，分別得到AF=DE=1。B 112用平行線的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直得到RTABGCRTABGF如果直角邊為斜邊的一半則直角邊所對(duì)的角為300。用三角形內(nèi)角和定理得A1200o例5、在矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O; DE平分 求 COE的度數(shù)。ADC ,交 BC 于點(diǎn) E, BDE=15 0,解:矩形 ABCDADC 900DE平分 ADCEDCBCD

5、450900CED450CDCEBDE150ODC450150600矩形ABCDBDAC1等邊OCDODBDODOC21OCAC2CDOC0cD600CEOCCOECEDOCE 900 600300 COE1800 300750評(píng)注：矩形的對(duì)角線相等且相互平分，即矩形的對(duì)角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形。有一個(gè)角為60度的等腰三角形為等邊三角形。1等腰三角形的一個(gè)底角=1800頂角。2CDOC此題關(guān)鍵是OCCE。CDCE此題內(nèi)含“角平分線遇平行線出現(xiàn)等腰三角形CDE”。例6、在4ABC中,CAB900,ADBC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且CAEB,AD=3,DE=4。求：CD:CE的值。ADB

6、CRTADE_22AD3AE.32425DE4,、，,13作DFCA,交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F2FBAC900B4900ADBC149003FAFADAF3AD3DF / ACAFAECDCE評(píng)注：關(guān)鍵由1,B 2發(fā)現(xiàn)AC平分 DAE 。作角平分線的平行線構(gòu)造出等腰由勾股定理求出AE=5 ,從而求出ADF。CD: CE的值。例7、 如圖： BAC900, AB AC1,BD是角平分線DE/BC ,交 AB于點(diǎn)E。求DE之長(zhǎng)。左 DE / BC解：AEADABAB ACACAEAD。設(shè) AE=AD=x ;則 DE= 2xDE/BCBE DEBE.2xAB2xDE2 .2BED 。評(píng)注：發(fā)現(xiàn)AED仍為

7、等腰直角三角形。由角平分線、平行線發(fā)現(xiàn)等腰4設(shè)未知數(shù)，列方程求出DE之長(zhǎng)。（方程思想）例8、如圖：已知RtABC中，以AB為直徑的。O交斜邊BC于點(diǎn)D,OE/BC交AC于點(diǎn)E。求證：DE是。的切線?？贒E/BD證明：OBODOAODOE公有.ED是圓ODE的切線。OAEODEOAE90評(píng)注：只能利用定義證明直線與圓相切。由等腰三角形和平行線，發(fā)現(xiàn)角平分線得/利用全等三角形證等角，利用垂直證垂直。例9、AB是。O的直徑，BC是。O外一點(diǎn)。PC是。O的切線。1=/2。PBAB,AC/OP證明：連結(jié)，則OPOPOCOBPCOPBABDCPCOCOAAC/OPOPCPBOPBO900【切線的判定方法:

8、評(píng)注：由等腰4OPBPCO900PC是圓O的切線。過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。AOC的構(gòu)造出現(xiàn)，進(jìn)而可發(fā)現(xiàn)/3=/4。利用直角/B證明了/PCO為直角。具體判定直線與圓相切的兩個(gè)判別方法：作垂足，垂足在圓上。連半徑，證明半徑的外端就是垂足。例10、已知：AB是OO的直徑,求證：OC/AD。BC是。O的切線。切點(diǎn)為點(diǎn)證明：連結(jié)2OC公有ODOBODCODOAOD則CD/ADODCOBC900OBCDC是圓O的切線。交。于C點(diǎn)。求證:DC是。O的切線。B評(píng)注：欲證相切，找垂直。利用直角證直角。例11、如圖：已知在梯形ABCD中，點(diǎn)O在AB上，半圓。與AD、CD、BC相切,且AD=5,B

9、C=3。求解：（方法一）連結(jié)AB的長(zhǎng)。OC、OD12則有AB/CDOBBC3同理：OA=AD=5AB=OA+OB=5+3=8(方法二)延長(zhǎng)DA至E,延長(zhǎng)CB至F,使AE=AD、且EF與。O相切。貝U_1_1_一1_AB(EFCD)(DECF)-(2AD222BF=BC;連結(jié)EF,-12BC)-(106)（圓外切四邊形的對(duì)邊之和相等）例12、已知P為。外一點(diǎn)，通過(guò)作。O的兩條割線,分別交。于A、貝UEF/CD,B和C、D點(diǎn)，且AB是。O的直徑。已知PA=OA=4,AC=CDo求CD長(zhǎng)。求cosB的值。解：連結(jié)BC、OC、AD。ACCD1.5OBOCOCBDPCCDPOOB設(shè)PC=y,CD=x.P

10、O=8,OB=4.y(y+x)=4x122x2x(2xx)4126x248x22ACCD2、.2AB是圓O的直徑.BAC900,BC2AB2AC2.BC=,82222,56214PAD相似于PCBADAPAD4BCPC2、144.2AD 2 . 7O: / BDA = 90.BD226cosB=BD62AB84評(píng)注：平行線截得成比例線段。割線定理可變成為成比例線段。代數(shù)法解幾何題（方程思想）。引申說(shuō)明：BC是圓周角的平分線，因此一定會(huì)出現(xiàn)等腰三角形ACD;BC是/ABD的平分線，而AB又是OO的直徑。因此，連結(jié)OC得等腰三角形BOC,進(jìn)而觀察聯(lián)想到OC/BD.此題在這里又一次體現(xiàn)了角平分線、等腰三角形、平分線三者的密切關(guān)系。同時(shí)也體現(xiàn)利用這個(gè)“知識(shí)板塊”思想解題的奧妙。例13、如圖：AB是。的直徑，C是。O上一點(diǎn)，直線DE切。O于點(diǎn)C,AB的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)E,CGLAB于點(diǎn)G,ADCD于點(diǎn)D,AD交。O于點(diǎn)F.DF.ntOC DEOC,OC / ADAD EDE求證：AG-BG=AD證明：（方法一）連結(jié)23OAOC13AD CDCG ABCD CG 延長(zhǎng)CG交。O于點(diǎn)H.AB是圓O的直徑AB CHCG GHCG?GHAG?GB2CGAG?GBC