經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(上)-函數(shù)與極限的筆記整理

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（上）筆記整理目錄一、函數(shù)21.函數(shù)的兩個(gè)要素22.求定義域的方法23.分段函數(shù)34.常用的三角函數(shù)值35.函數(shù)的有界性36.函數(shù)的奇偶性37.判斷函數(shù)的單調(diào)性48.基本初等函數(shù)：49.復(fù)合函數(shù)410.初等函數(shù)411常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)5二、極限61.極限的幾種常用記號(hào)72.定義1.1073.左極限與右極限74.定理1.175.分段函數(shù)討論分段點(diǎn)處的極限76.極限的運(yùn)算8（1）limxf（x）=f（）8（2）00型，未定式8（3）型，未定式。97.兩個(gè)重要極限12（1）limx0sinxx=112（2）limx1+1xx=elimx01+x1x（P31）148.無(wú)窮小與無(wú)窮大159.函數(shù)的

2、連續(xù)性15【總結(jié)：極限運(yùn)算的題型】181. limxf（x）=f（）182.00型，未定式。183.型，未定式。194.1型，未定式。195. 無(wú)窮小有界函數(shù)=無(wú)窮?。?）196. 分段函數(shù)中，求分段點(diǎn)處的極限。197.函數(shù)的連續(xù)19附件：數(shù)學(xué)作業(yè)19第一次19第二次20第三次(3月21日)20第四次(3月29日)20一、函數(shù)1. 函數(shù)的兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則2.求定義域的方法：【會(huì)做書(shū)上P5的例2的（1）（2）（3）】分母0偶次根號(hào)內(nèi)0對(duì)數(shù)中的真數(shù)0【練習(xí)】書(shū)P45，4（1）（2）（6）這三道題根據(jù)上邊的知識(shí)點(diǎn)就能做出來(lái)了。求定義域取并集。（6）y=lg（3-x）x-1 解：由題得，3-

3、x0x-10x3x1此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，-1）（1,3）3.分段函數(shù)：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的定義域取并集4.常用的三角函數(shù)值角度0（2）2sin010cos10-1tan0不存在05.函數(shù)的有界性（了解，書(shū)P8圖）（1）從圖像上看，函數(shù)的有界性是指：圖像被兩條平行于x軸的直線y=M，y=-M夾住了。（2）常見(jiàn)的有界函數(shù)：y=c常數(shù)函數(shù)；y=sinx；y=cosx，以及由這些有界函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)雜的運(yùn)算后所得到的。6.函數(shù)的奇偶性（書(shū)P8）（1）常見(jiàn)的奇函數(shù)：y=x奇；y=sinx（2）常見(jiàn)的偶函數(shù)：y=x偶 ；y=cosx；y=c注意：奇函數(shù)可以認(rèn)為是的，偶函數(shù)可以認(rèn)為是+的。判斷奇偶性時(shí)

4、直接帶符號(hào)。但函數(shù)的奇偶性與它前邊的正負(fù)號(hào)無(wú)關(guān)。7.判斷函數(shù)的單調(diào)性（P9）（1）求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)0，為增函數(shù)導(dǎo)數(shù)0，為減函數(shù)（2）圖像從左到右圖像上升為增函數(shù)圖像下降為減函數(shù)8.基本初等函數(shù)：（書(shū)P11）（1）“基本”指的是函數(shù)的原型：自變量的位置是一個(gè)字母（2）其他函數(shù)還沒(méi)講9.復(fù)合函數(shù)（P16）（1）復(fù)合函數(shù)是由若干個(gè)基本的或簡(jiǎn)單的函數(shù)通過(guò)代入得到的（2）分解復(fù)合函數(shù)：由外向里，層層分解到基本的或簡(jiǎn)單的函數(shù).書(shū)上的分解復(fù)合函數(shù)題得答案都是倒著的，你把順序改過(guò)來(lái)就對(duì)了?！緯?shū)P7的（1）（6），補(bǔ)充：y=esin2x+4，解：y=eu，u=v2，v=sint，t=x+4】（3）y=sin3x=（si

5、nx）310.初等函數(shù)（P17）初等函數(shù)只能用一個(gè)式子來(lái)表示，所以除了分段函數(shù)外，其他函數(shù)都是初等函數(shù)。11常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)（P3941）書(shū)上有概念和公式，看懂就行了。主要記住線性的函數(shù)，均衡價(jià)格?！緯?huì)做書(shū)上P40的例1、例2】【書(shū)P47 ，22】 解：R=130Q,0Q700700130+Q-70013090%,700Q1000所以，R=130Q,0Q70091000+117Q-700,700Q1000【書(shū)P48，23】解：C(q)=2000+15qR(q)=20q保本C（q）=R（q）2000+15q=20qq=400【書(shū)p48,26】解：設(shè)線性成本函數(shù)為c=a+bq由題得，【例題】游戲機(jī)每臺(tái)

6、賣(mài)110元，固定成本7500元，可變成本為每臺(tái)60元。（1） 要賣(mài)多少臺(tái)，廠家才可保本（收回投資）？（2）若賣(mài)100臺(tái)，廠家盈利或虧損多少？（3）要獲得1250元的利潤(rùn)，要賣(mài)多少臺(tái)？解：（1）C（x）=C（固）+C（變）=7500+60xR（x）=110x保本C（x）= R（x）X=150（2） C（100）=7500+6000=13500R(100)=110100=11000虧損= C（100）-R(100)=2500（3） L（x）=R（x）-C（x）=1250110x-7500-60x=1250X=175二、極限（P21，重點(diǎn)講P21的第2個(gè)極限：xx0時(shí)函數(shù)的極限）1.極限的幾種常用記

7、號(hào)xx0，x從x0兩側(cè)方向無(wú)限接近x0，xx0 xx0+，x從x0右側(cè)方向無(wú)限接近x0，xx0 xx0-，x從x0左側(cè)方向無(wú)限接近x0，xx0x，x無(wú)限增大x+，x的值無(wú)限增大x-，x的值無(wú)限減小2.定義1.10（P21）極限A是常數(shù)，y越來(lái)越接近A；yA與x在x0處是否有定義無(wú)關(guān)3.左極限與右極限（P21）知道左極限是limxx0-fx=A，右極限是limxx0+fx=A，就行了。不需要看懂定義。4.定理1.1（P22）5.分段函數(shù)討論分段點(diǎn)處的極限，遇分段點(diǎn)處左、右表達(dá)式不同時(shí)，必須考慮左右極限。（會(huì)做P22例5）【練習(xí)題】已知fx=3x2-a，x1，討論f（x）在x=1處的連續(xù)性。解：

8、f（1）=1 limx1-x=1 limx1+（6x-5）=1 limx1f（x）=1 limx1fx=1=f（1） 即函數(shù)在x=1處連續(xù)【滿足3個(gè)條件就可以了】【練習(xí)】已知fx=sin3xx，x0b，x=0（1+x）1x+a，x0 在x=0處有極限，求a、b 在x=0處連續(xù)，求a、b【分析：有極限，只要“左極限=右極限”就可以了，不用管中間。連續(xù)，則需要滿足3個(gè)條件，“左極限=右極限=中間”】解： limx0-（1+x）1x+a=e+a limx0+sin3xx=3 f（x）在x=0處有極限e+a=3，a=3-ebR f（0）=blimx0f（x）=3 f（x）在x=0處連續(xù)b=3，此時(shí)a=

9、3-e【作業(yè)中的題】已知fx=xsin3x+a，x0 在x=0處有極限，求a、b 在x=0處連續(xù)，求a、b解：limx0-（xsin3x+a）=a 【xsin3x=0，用到了“無(wú)窮小有界函數(shù)=無(wú)窮小0”的知識(shí)點(diǎn)。】limx0+ex-2=-1 f（x）在x=0處有極限a=-1，bRf（0）=b+1limx0fx=-1 f（x）在x=0處連續(xù)b+1=-1，此時(shí)a=-1【總結(jié)：極限運(yùn)算的題型】1. limxf（x）=f（），將后的“”代入f（x）中。（做任何題得方法都是先代入，看看該怎樣做。分子分母沒(méi)有得0或的，或只有一項(xiàng)得0或的，直接代入做，看第1步。若分子分母都為0的，看第2步。若分子分母中都為

10、的，看第3步。）若0k，則lim f（x）=0；若k0，則lim f（x）=若k，則=； 若k，則=02.00型，未定式。分解因式，約分有根號(hào)，有理化limx0sinxx=1lim0sin=1【見(jiàn)下邊7的（1）】洛必達(dá)法則（還沒(méi)講）3.型，未定式。 limxaxnbxm=0，上小下大最高次冪，上大下小ab（最高次冪前的系數(shù)比），上=下 洛必達(dá)法則（還沒(méi)講）4.1型，未定式。 limx1+1xx=limx01+x1x=e 1型，未定式。 號(hào)內(nèi)為“1+” 擴(kuò)號(hào)內(nèi)“+”后邊的式子與外邊的指數(shù)互為倒數(shù)。 極限時(shí)，指數(shù)中出現(xiàn)的“+、-的所有常數(shù)” 都去掉，對(duì)題目無(wú)影響。5. 無(wú)窮小有界函數(shù)=無(wú)窮?。?）6. 分段函數(shù)中，求分段點(diǎn)處的極限。左極限=右極限。7.函數(shù)的連續(xù)（滿足3條）附件：數(shù)學(xué)作業(yè)作業(yè)：第一次1. 書(shū)P45，4（6），7（1）（2）（3）（6）新加（7）y=esin2x+42. P47 ，22第二次1. P46，12（6）（8）（11）補(bǔ)充題：已知fx=x2-1，x03x-2，x0，求limx0f（x）2. P48，24,2