多邊形及其內角和講義(老師用)

1、第一部分知識點回顧多邊形內角和定翼：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。凸多邊形分類1 :Y凹多邊形分類2: 多邊形 多邊形的定理正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。I非正多邊形：1 1、n邊形的內角和等于 180° (n-2)。2、任意凸也多邊形的外角和等于360°。3、n邊形曲角線條數(shù)等于1/2 n (n-3)只用一正多邊形：3、4、6/。鑲嵌 J只用飛非正多邊形(全等)：3、4。知識點一：多邊形及有關概念拼成360度的角1、多邊形的定義：在同一平面內。多邊形的分類：不叫三邊形2、鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全

2、覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360 ° ;相鄰的多邊形有公共邊。3、 常 見 的 一 些 正 多 邊 形 的 鑲 嵌 問 題：(1)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內角之和為360。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面：只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內角和都等于360。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板， 用任意相 同 的三角形也可 以鋪滿地面。(3) 用 兩 種 或

3、 兩 種 以 上 的 正 多 邊 形 鑲 嵌 地 面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關鍵是相關正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖：又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個規(guī)律方1 .內角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內角和增加；邊數(shù)減少，內角和減少 .每增加一條邊，內角的和就增加180° (反過來也成立)，且多邊形的內角和必須是 180 ° 的整數(shù)倍2 .多邊形外角和恒

4、等于360° ,與邊數(shù)的多少無關3 .多邊形最多有三個內角為銳角，最少沒有銳角 (如矩形)；多邊形的外角中最多有三個鈍角，最少沒 有 鈍 角4 .在運用多邊形的內角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合，運用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法5 .在解決多邊形的內角和問題時，通常轉化為與三角形相關的角來解決.三角形是一種基本圖形，是 研究復雜圖形的基礎，同時注意轉化思想在數(shù)學中的應用.第二部分 經(jīng)典習題類型一：多邊形內角和及外角和定理應用1. 一個多邊形的內角和等于它的外角和的 形的內角和定理和外角和定理的綜合運用 程，求出月的值即可，5倍，它是幾邊形？ 總結升華：本題是多邊 .

5、只要設出邊數(shù)fi ,根據(jù)條件列出關于 出的方 這是一種常用的解題思路-2 - / 5【變式1】若個多邊形的內角和與外角和的總度數(shù)為1800【變式2】一個多邊形除了一個內角外，其余各內角和為【答案】設這個多邊形的邊數(shù)為火，【變式3】個多邊形的內角和與某一個外角的度數(shù)總和為多邊形對角線,求這個多邊形的邊數(shù).這個內角1350° ,2750 ° ,求這個多o公式的運用2.某校七年級六班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制(即每兩個班都進行一次比賽).你能算出一共需要進行多少場比賽嗎？ 學科的綜合，解題方法參照多邊形對角線條數(shù)的求法,思路點撥：本題體現(xiàn)與體育 即多邊形的對角線條數(shù)加總結

6、升華：對于其他學科問題要善于把它與數(shù)學知求這個多邊形的內角和是多少？啕便于解決.【變式 1A .6舉一個多邊形共B變 式 2】有 20 條對7總結升華：對于一個反則C形曲-3)n邊形的對角線的條數(shù)，我們可以總結出規(guī)律2 一條,的邊數(shù)n的值代入即可求出對角線的條數(shù)，要記住這個公式只有在理解的基礎之上才能記得牢。牢記這個公式，以后只要用相應類型三：可轉化為多邊問題+/ F 的度數(shù).思路點撥：設法將這幾個角轉到一個多邊形中，然后利用邊形內角和公式求解.總結升華：本題通過作輔助線，把/ A與/的和轉化為/ 1與/ 2的和，從而把問題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬冉呛瓦\算,舉【變式1】如圖所示，/1+/2+/-8 -

7、/ 54.如圖，一輛小汽車從 角P市出發(fā)，先到 B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉了多少度?360總結升華本題實際上是多邊形內角和的逆運算，關鍵在于正確添加輔助線五出用相同邊長鑲嵌正多邊形組合鋪滿地題設計圖。(2)八 邊 形十 二 邊 形和 正 六 邊 形思路點撥：只要在拼接處各多邊形的內角的和能構成一個周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。思路點撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決. 解 讀： 如 圖，總結升華：旋轉的角度是指原來前進的方向與轉彎后的 方向的夾角.小汽車沿任意多邊形行駛一周回到原處，轉過的 角度都舉一反三：【變式1】如圖所示，小亮從 A點出發(fā)前進10m,向右轉15

8、。，再前進10m,又向右轉15° ,，這樣一直走下去，當他第一次回到出發(fā)點時， 一共走了m.【變式2】小華從點 A出發(fā)向前走10M ,向右轉36° ,然后繼續(xù)向前走 A10M,再向右轉36° ,他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點A嗎？若能，當他走回點 A 時共走了多少 M?若不能，寫出理由。【變式3】如圖所示是某廠生產的一塊模板，已知該模板的邊 AB /CF,CD/AE.按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80°角，因交點不在模板上，不便測量.這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測哪一個角嗎？說明理由思路點撥：本

9、題中將 AB、CD延長后會得到一個五邊形，根據(jù)五邊形內角和為540° ,又由 AB /CF, CD/AE,可知/ BAE+ ZAEF+ Z EFC=360° ,從540°中減去80°再減去360° ,乘U下/ C的度數(shù)為100° ,所以只需測 / C 的 度 數(shù) 即 可， 同 理 還 可 直 接 測/ A 的 度 數(shù)60° 、 90° 、 120° 、 135解讀：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個內角分別是150°。因為90 + 2 X 135 = 360 ,所以一個頂點

10、處有1個正方形、2個正八邊形，如圖（1）所示。（2）因為60 + 2X150 = 360,所以一個頂點處有1個正三角形、2個正十二邊形，如圖（2）所示。（3）因為60 + 2X 90+ 120= 360,所以一個頂點處有1個正三角形、1個正六邊形和 2個正方形，如圖 所示?？偨Y升華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實質上是相關正多邊形“交接處各角之和能否拼成 一個周角”的問題。舉一反三：【變式1】分別用形狀、大小完全相同 的三角形木板；四邊形木板；正五邊 形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中 不能鑲嵌成地板的是（）A、B、C、D、解讀：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形

11、、正六 邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板， 故【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8,則第三塊木板的邊數(shù)應是（）A、4B、5C、6D、8【答案】A（提示：先算出正八邊形一個內角的度數(shù)，再乘以2,然后用360°減去剛才得到的積，便得到第三塊木板一個內角的度數(shù)，進而得到第三塊木板的邊數(shù)）7.3多邊形及其內角和（請在50分鐘內完成，按考試要求自己 ）一、選擇題：（每小題3分，共24分）1 .一個多邊形的外角中，鈍角的個數(shù)不可能是（）A.1 個B.2個C.3個D.4個2 .不能作為正多邊形的內角的度數(shù)的是（）A.120 B.（10

12、8）° C.144 D.145 °3 .若一個多邊形的各內角都相等，則一個內角與一個外角的度數(shù)之比不可能是（）A.2:1B.1:1C.5:2D.5:44 .一個多邊形的內角中，銳角的個數(shù)最多有（）A.3 個B.4個C.5 個D.6 個5 .四邊形中，如果有一組對角都是直角，那么另一組對角可能（）A.都是鈍角。B.都是銳角C.是一個銳角、一個鈍角D.是一個銳角、一個直角6 .若從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引10條對角線，則它是（）A.十三邊形 B.十二邊形C.十一邊形D.十邊形7 .若一個多邊形共有十四條對角線，則它是（）A.六邊形 B. 七邊形 C.八邊形 D.九邊

13、形8 .若一個多邊形除了一個內角外，其余各內角之和為2570° ,則這個內角的度數(shù)為（）A.90°B.105C.130°D.120°二、填空題：（每小題3分，共15分）1 .多邊形的內角中，最多有 個直角.2 .從n邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引 條對角線，這些對角線可以將這個多邊形分成 個三角形.3 .如果一個多邊形的每一個內角都相等4 .已知一個多邊形的每一個外角都相等，且每一個內角都大于135。，那么這個多邊形的邊數(shù)最少為 .，一個內角與一個外角的度數(shù)之比為9:2,則這個多邊形的邊數(shù)為 5.每個內角都為144°的多邊形為 邊形.三、基礎訓練:（每小題12分，共24分）1 .如圖所示，用火柴桿擺出一系列 三角形圖案，按這種方式擺下去 當擺到20層（n=20）時，需要多少 根火柴？2 . 一個多邊形的每一個外角都等于24。，求這個多邊形的邊數(shù)四、提高訓練：（共15分）一個多邊形的每一個內角都相等 的邊數(shù)（用m,n表示）及n的值.,一個內角與一個外角的度數(shù)之比為m:n,其中m,n是互質的正整數(shù)，求這個多邊形五、探索發(fā)現(xiàn):（共18分）從n邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引多少條條