第13章結(jié)構(gòu)的動力計算

1、第第1313章結(jié)構(gòu)的動力計算章結(jié)構(gòu)的動力計算 13131 1 動力計算的特點和動力自由度動力計算的特點和動力自由度 一動荷載及其分類一動荷載及其分類 動荷載動荷載是指其大小、方向和作用位置隨是指其大小、方向和作用位置隨時間變化的荷載由于荷載隨時間變化較快時間變化的荷載由于荷載隨時間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動力學的最主要特征。性力的影響是結(jié)構(gòu)動力學的最主要特征。 靜荷載只與作用位置有關(guān)，而動荷載靜荷載只與作用位置有關(guān)，而動荷載是坐標和時間的函數(shù)。是坐標和時間的函數(shù)。 動荷載按其隨時間的變化規(guī)律進行分類：動荷載按其隨時間的

2、變化規(guī)律進行分類： 載其他非確定規(guī)律的動荷風荷載地震荷載非確定性其他確定規(guī)律的動荷載突加荷載沖擊荷載非周期非簡諧荷載簡諧荷載周期確定性動荷載二二結(jié)構(gòu)動力計算的內(nèi)容和特點結(jié)構(gòu)動力計算的內(nèi)容和特點1. 1. 動力計算的主要內(nèi)容動力計算的主要內(nèi)容第一類問題：反應(yīng)問題第一類問題：反應(yīng)問題輸入輸入（動荷載）（動荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動力反應(yīng)）（動力反應(yīng)）第二類問題：參數(shù)（或系統(tǒng)）的識別第二類問題：參數(shù)（或系統(tǒng)）的識別 輸入輸入（動荷載）（動荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動力反應(yīng)）（動力反應(yīng)）第三類問題：荷載識別第三類問題：荷載識別 輸入輸入（動荷載）（動荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）

3、（系統(tǒng)）輸出輸出（動力反應(yīng)）（動力反應(yīng)）第四類問題：控制問題第四類問題：控制問題 輸入輸入（動荷載）（動荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動力反應(yīng)）（動力反應(yīng)）控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) （裝置、能量）（裝置、能量）2 2結(jié)構(gòu)動力計算的目的結(jié)構(gòu)動力計算的目的 研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的反應(yīng)規(guī)研究結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)律，找出動荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力和最大動位移，為結(jié)構(gòu)的動力可靠性力和最大動位移，為結(jié)構(gòu)的動力可靠性設(shè)計提供依據(jù)。設(shè)計提供依據(jù)。 3 3動力反應(yīng)的特點動力反應(yīng)的特點 在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)（動內(nèi)力、動位移等）都

4、隨時間變化，（動內(nèi)力、動位移等）都隨時間變化，它的除與動荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還它的除與動荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和阻尼）有關(guān)。阻尼）有關(guān)。 不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應(yīng)?？梢?，結(jié)構(gòu)的固有特具有相同的反應(yīng)。可見，結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動荷載下的反應(yīng)，故稱之為性能確定動荷載下的反應(yīng)，故稱之為結(jié)結(jié)構(gòu)的動力特性。構(gòu)的動力特性。強迫振動強迫振動 結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生得振結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生得振動。動。 研究強迫振動，可得到

5、結(jié)構(gòu)的動力研究強迫振動，可得到結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。反應(yīng)。 三自由振動和強迫振動三自由振動和強迫振動自由振動自由振動 結(jié)構(gòu)在沒有動荷載作用時，由結(jié)構(gòu)在沒有動荷載作用時，由 初速度、初位移所引起的振動。初速度、初位移所引起的振動。 研究結(jié)構(gòu)的自由振動，可得到結(jié)構(gòu)的研究結(jié)構(gòu)的自由振動，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。 確定體系運動過程中任一時刻全部確定體系運動過程中任一時刻全部質(zhì)量位置所需的獨立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為質(zhì)量位置所需的獨立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的體系的自由度自由度。 根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由度體系，多自由度體系和無限自由度自

6、由度體系，多自由度體系和無限自由度體系。體系。四動力分析中的自由度四動力分析中的自由度1 1自由度的定義自由度的定義 將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學原則集中到若干幾何點上，的力學原則集中到若干幾何點上，使結(jié)構(gòu)只在這些點上有質(zhì)量。從而使結(jié)構(gòu)只在這些點上有質(zhì)量。從而把一個無限自由度問題簡化為有限把一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。自由度問題。 2.2.實際結(jié)構(gòu)自由度的簡化方法實際結(jié)構(gòu)自由度的簡化方法 為分析計算方便，往往將具有無限自為分析計算方便，往往將具有無限自由度體系的實際結(jié)構(gòu)簡化為有限自由度。由度體系的實際結(jié)構(gòu)簡化為有限自由度。常用的簡化方法有：常用的簡化方

7、法有：（1 1） 集中質(zhì)量集中質(zhì)量法法ms平面平面: :計軸向變形計軸向變形: : W=2W=2不計軸向變形不計軸向變形: : W=1W=1( (空間空間: :不計軸向變形不計軸向變形: : W=2W=2) ) 不計軸向變形：不計軸向變形： 1yy1y2W=1W=1（3 3） W=2W=2（3 3） 1yyy321yyW=3W=3（5 5） W=3W=3W=1W=1結(jié)論：結(jié)論： 結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與質(zhì)點的個數(shù)無關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與質(zhì)點的個數(shù)無關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關(guān)思考：思考：考慮軸向變形后各計算簡圖的動力自考慮軸向變形后各計算簡圖的動力自由度數(shù)是多少？由度數(shù)是

8、多少？（2 2）廣義坐標法）廣義坐標法 假定梁的撓度曲線為假定梁的撓度曲線為 my(x)11)()()(knkkkkkxaxaxy式中式中 )(xkka滿足位移邊界條件的形狀函數(shù)滿足位移邊界條件的形狀函數(shù) 廣義坐標廣義坐標 廣義坐標的個數(shù)為體系的自由度數(shù)廣義坐標的個數(shù)為體系的自由度數(shù)（3）有限單元法）有限單元法 綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標法的特點。綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標法的特點。 將實際結(jié)構(gòu)離散為有限個單元的集合，將實際結(jié)構(gòu)離散為有限個單元的集合，以結(jié)點位移作為廣義坐標，將無限自由以結(jié)點位移作為廣義坐標，將無限自由度問題化為有限自由度問題。度問題化為有限自由度問題。結(jié)點位移的數(shù)目等于體系的

9、自由度數(shù)。結(jié)點位移的數(shù)目等于體系的自由度數(shù)。本章主要討論集中質(zhì)量法。本章主要討論集中質(zhì)量法。 m13-213-2 單自由度體系的運動方程單自由度體系的運動方程 實際上，工程中很多問題可化成實際上，工程中很多問題可化成單自由度體系進行動力分析或進行初單自由度體系進行動力分析或進行初步估算。要掌握其動力反應(yīng)的規(guī)律，步估算。要掌握其動力反應(yīng)的規(guī)律，必須首先建立其運動方程。下面介紹必須首先建立其運動方程。下面介紹建立在達朗伯原理基礎(chǔ)上的建立在達朗伯原理基礎(chǔ)上的“動靜動靜法法”。 一一.按平衡條件建立運動方程按平衡條件建立運動方程剛度法剛度法 y(t)mFP(t)EILmFP(t)-my(t)-ky(t

10、)(tym )(tky慣性力慣性力 彈性力彈性力 對隔離體列平衡方程對隔離體列平衡方程：)()()(tFtkytymp k k剛度系數(shù)剛度系數(shù) 33lEIk )()(3)(3tFtylEItymp 1kky(t)y(t)剛度法步驟：剛度法步驟：（1）在質(zhì)點上沿位移正向加慣性力）在質(zhì)點上沿位移正向加慣性力;（2）取質(zhì)點為隔離體并作受力圖）取質(zhì)點為隔離體并作受力圖; ;（3）根據(jù)達朗伯原理對質(zhì)量）根據(jù)達朗伯原理對質(zhì)量m列瞬時列瞬時 動力平衡方程，此即體系的運動方程。動力平衡方程，此即體系的運動方程。二二. .按位移法協(xié)調(diào)建立方程按位移法協(xié)調(diào)建立方程柔度法柔度法 1 1y(t)LEIFP(t)m-m

11、y(t)FP(t)my(t)-my(t)對質(zhì)量對質(zhì)量 m m 列位移方程列位移方程：)()()(tymtFtyp )()(1)(tFtytymp EIl33 柔度系數(shù)柔度系數(shù) 1k)()(3)(3tFtylEItymp 柔度法步驟柔度法步驟： （1 1）在質(zhì)量上沿位移正方向加慣性力；）在質(zhì)量上沿位移正方向加慣性力； （2 2）求動荷載和慣性力引起的位移；）求動荷載和慣性力引起的位移； （3 3）令該位移與質(zhì)量）令該位移與質(zhì)量 m m 的位移相等，的位移相等， 即得到體系的位移方程（運動方程）。即得到體系的位移方程（運動方程）。 三三. .建立運動方程例題建立運動方程例題 例例1 1 試建立圖示

12、剛架試建立圖示剛架（a a）的運動方程的運動方程 解：（解：（1 1）剛度法）剛度法 （a a）（b b）EIFP(t)mhEImy(t)F(t)y(t)F1=0 由于橫梁剛度無限大，剛架只產(chǎn)生水由于橫梁剛度無限大，剛架只產(chǎn)生水平位移。設(shè)橫梁在某一時刻平位移。設(shè)橫梁在某一時刻 t t 的水平位移的水平位移為為 y(t), y(t), 向右為正。在柱頂設(shè)置附加鏈桿向右為正。在柱頂設(shè)置附加鏈桿（圖（圖b b），以），以 y(t) y(t) 作為基本未知量，用位作為基本未知量，用位移法列動平衡方程：移法列動平衡方程：0)(1111pFtyk令令 , 1)(ty 作作 1M圖（圖圖（圖c c），求得）

13、，求得 31124hEIk12EI/h312EI/h3kk116EI/h26EI/h26EI/h26EI/h2M1圖(c) F(t)FF(t)-my(t)F-my(t)(d) 考慮動荷載考慮動荷載 F(t)F(t)和慣性力和慣性力 )(tym 作作 M MP P 圖，求得圖，求得)()(1tymtFFP （2）柔度法）柔度法 設(shè)橫梁在任一時刻設(shè)橫梁在任一時刻 的位移的位移 是由是由動荷載動荷載 和慣性力和慣性力 共同作用產(chǎn)共同作用產(chǎn)生的（圖生的（圖e），）， t)(ty)(tF)(tym 所以，運動方程為所以，運動方程為：)()(24)(3tFtyhEItym 因此，橫梁的位移為因此，橫梁的位

14、移為： )()()(tFtymty 作 圖（圖f）1M-my(t)F(t)y(t)y(t)(e) h/4M1圖h/4h/4h/41(f) 求得求得EIh243所以，運動方程為所以，運動方程為)()(24)(3tFtyhEItym 可見，用兩種方法求解后運動方程相同。可見，用兩種方法求解后運動方程相同。例例2試建立圖（試建立圖（a）所示剛架的運動方程）所示剛架的運動方程（不計軸向變形）（不計軸向變形）。 F(t)y(t)mlEIEI4l(a) F(t)my(t)-my(t)(b)解：解： 用柔度法求解用柔度法求解 圖示結(jié)構(gòu)質(zhì)量圖示結(jié)構(gòu)質(zhì)量 m只產(chǎn)生水平位移只產(chǎn)生水平位移。 設(shè)質(zhì)量設(shè)質(zhì)量 m 在任

15、一在任一時時刻刻t的水平位移為的水平位移為 ，)(ty它是由動荷載它是由動荷載 )(tFll1M1圖(c) )()()(tFtymty 質(zhì)量質(zhì)量m的位移為的位移為 和慣性力和慣性力)(tym 作用產(chǎn)生的，作用產(chǎn)生的，共同共同向右為正。向右為正。作作 圖，圖， 1M求得求得 EIl353所以，運動方程成為所以，運動方程成為 )()(53)(3tFtylEItym 例例3試建立圖（試建立圖（a）所示剛架的運動方程）所示剛架的運動方程 （不計軸向變形）（不計軸向變形）。 解：解： 仍用柔度法求解仍用柔度法求解lEIEImy(t)2l2lF(t)(a)-my(t)my(t)F(t)（b）分析同例分析同

16、例2，質(zhì)量，質(zhì)量m的位移為的位移為 )()()(1211tFtymty 作作 圖圖、 圖圖1M2M求得求得 1ll11M1圖(c ) l121M2圖(d) EIl35311EIl312所以，運動方程為所以，運動方程為)()(35)(33tFEIltymEIlty 由此可見，動靜法建立單自由度體由此可見，動靜法建立單自由度體系的運動方程通常是以質(zhì)量的靜平衡位置系的運動方程通常是以質(zhì)量的靜平衡位置作為計算動位移的起點，采用剛度法還是作為計算動位移的起點，采用剛度法還是柔度法要視具體問題是求剛度系數(shù)方便，柔度法要視具體問題是求剛度系數(shù)方便，還是求柔度系數(shù)方便來定。對同一體系，還是求柔度系數(shù)方便來定。

17、對同一體系，兩種方程都是一樣的，對于單自由度體兩種方程都是一樣的，對于單自由度體系系： 。 1k13-313-3 單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動 （不計阻尼（不計阻尼） 自由振動由初位移或初速度引起的，自由振動由初位移或初速度引起的，在運動中無動荷載作用的振動。在運動中無動荷載作用的振動。 分析自由振動的目的確定結(jié)構(gòu)的動力分析自由振動的目的確定結(jié)構(gòu)的動力特性，自振頻率，自振周期。特性，自振頻率，自振周期。 一一. .自由振動運動方程自由振動運動方程 單自由度體系的自由單自由度體系的自由振動及相應(yīng)的彈簧振動及相應(yīng)的彈簧質(zhì)量模型如圖示。以質(zhì)量模型如圖示。以靜平衡位置為坐標原靜平衡位置

18、為坐標原點，在點，在 t t 時刻，質(zhì)量時刻，質(zhì)量 m m 的位移為的位移為 y(t)y(t)。EILm-my(t)y(t) 取質(zhì)量取質(zhì)量 m m 為隔離體，作用在隔離體上的力：為隔離體，作用在隔離體上的力： 彈性力彈性力 kyky(t)(t)與位移方向相反；與位移方向相反； 慣性力慣性力 )(tym 與加速度與加速度 y 方向相反。方向相反。 動平衡方程：動平衡方程： 0)()(tkytym 剛度法建立平衡方程：剛度法建立平衡方程：（13131 1）ky(t)mky(t)my(t)m柔度法建立位移方程柔度法建立位移方程：質(zhì)量質(zhì)量 m m 在在 t t 時刻的位移時刻的位移y(t)y(t)是由

19、此時作是由此時作用在質(zhì)量上的慣性力產(chǎn)生的，位移方程為：用在質(zhì)量上的慣性力產(chǎn)生的，位移方程為：)()(tymty 整理，整理， 0)(1)(tytym (a) 單自由度體系：單自由度體系： 1k (b) 式（式（13131 1）或（）或（a a）稱為單自由度體系）稱為單自由度體系自由振動運動方程（微分方程）自由振動運動方程（微分方程）二二. .自由振動運動方程的解自由振動運動方程的解 單自由度體系自由振動微分方程寫為：單自由度體系自由振動微分方程寫為： 02yy （13132 2）式中式中 mmk12其通解為其通解為 tCtCty cossin)(21當初始條件當初始條件 0)0(yy0)0(v

20、y二階齊次線性常微分方程二階齊次線性常微分方程1C2C 0v0y式（式（13133 3）還可寫成）還可寫成)sin()( tAty（13134 4）式中式中： 22020 vyA001tanvy （13135 5） 不計阻尼時，單自由度體系的自由振不計阻尼時，單自由度體系的自由振動是由初位移和初速度引起的簡諧振動。動是由初位移和初速度引起的簡諧振動。 tytvty cossin)(00方程的解：方程的解： （13133 3）三三. .結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 )2()2(sin)2sin()sin()( tytAtAtAty由式（由式（13134 4）y(t)y(t)是

21、周期函數(shù)是周期函數(shù) 2TT 2自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）自振頻率（自振頻率（固有固有頻率）頻率） 1. 1. 結(jié)構(gòu)自振周期結(jié)構(gòu)自振周期 和自振頻率和自振頻率 的各種等的各種等 價計算公式價計算公式 ggWmkmTst 2222stgWgmmk 1 理解這些公式各符號的含義，由其中理解這些公式各符號的含義，由其中一個公式便可得到其他公式。一個公式便可得到其他公式。T 2. 2. 結(jié)構(gòu)自振頻率結(jié)構(gòu)自振頻率（或自振周期（或自振周期T T）的性質(zhì)）的性質(zhì) 自振頻率只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有自振頻率只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外部干擾因素無關(guān)，它是結(jié)構(gòu)本關(guān)，與外部干擾因素無關(guān)，它是結(jié)構(gòu)本身固有

22、的特性；改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度身固有的特性；改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度可改變其固有頻率，不管實際結(jié)構(gòu)如何，可改變其固有頻率，不管實際結(jié)構(gòu)如何，在同樣的干擾力下，固有頻率相同的結(jié)在同樣的干擾力下，固有頻率相同的結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)相同構(gòu)的動力反應(yīng)相同 3. 3. 簡諧自由振動的特性簡諧自由振動的特性 my(t)AmA2位移位移 )sin()( tAty加速度加速度 )sin()(2 tAty 慣性力慣性力 )sin()()(2 tmAtymtI 位移與慣性力作同頻同步振動。位移與慣性力作同頻同步振動。 4. 4. 算例算例 例例1 1 求圖示體系的自振頻率和自振周期。求圖示體系的自振頻率和自振周期。 mmEI

23、EIEILL解解1LLM1圖 圖示結(jié)構(gòu)體系雖有兩個質(zhì)量，但它們圖示結(jié)構(gòu)體系雖有兩個質(zhì)量，但它們沿同一直線（水平方向）運動，故仍為沿同一直線（水平方向）運動，故仍為單自由度體系。如圖（單自由度體系。如圖（b b）示，作）示，作 圖圖 1M柔度系數(shù)柔度系數(shù) EIl323自振頻率自振頻率 334332211mlEIEIlmm 自振周期自振周期 EImlT34223 例例2求圖示體系的自振頻率求圖示體系的自振頻率 EI2mmABCkl/2l/2l/4解解A2ml/22Bk5ml2/4Ckl 設(shè)該體系轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角的幅值為設(shè)該體系轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角的幅值為 。當位移達到幅值時，質(zhì)量當位移達到幅值時，質(zhì)量 2m

24、和和 m 上的上的慣性力也同時達到幅值。慣性力也同時達到幅值。 在幅值處列出動平衡方程：在幅值處列出動平衡方程： 0AM 0454522222 lklllmllm 由此求得由此求得 mk3316 例例3圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計柱質(zhì)量不計, ,求其自振頻率。求其自振頻率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1圖k13EI/h33EI/h3解解 不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作作 圖，求出圖，求出1M36hEIk 自振頻率自振頻率 36mhEImk 作業(yè)作業(yè) 思考題思考題 P.286. 134. 1

25、35習題習題 P.294. 133. 134. 136. 137剛度系數(shù)剛度系數(shù)單自由度體系的強迫振動單自由度體系的強迫振動（不計阻尼）（不計阻尼） 13134 4強迫振動強迫振動結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的振動結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的振動 單自由度體系在動荷載下的振動單自由度體系在動荷載下的振動及相應(yīng)的振動模型如圖示及相應(yīng)的振動模型如圖示: : 彈性力彈性力ky慣性力慣性力 my 平衡方程平衡方程 ( )( )( )pmy tky tFtFp(t)my(t)EIl不同的動荷載作用，體系的動力反應(yīng)不同。不同的動荷載作用，體系的動力反應(yīng)不同。常見的幾種動荷載作用下體系的動力反應(yīng)：常見的幾種動荷載作用下體系的

26、動力反應(yīng)： 或或 2( )( )( )PFty ty tm（136） 式中式中 結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 式（式（136)為單自由度體系強迫振動方程為單自由度體系強迫振動方程 y(t)ymFP(t)kymyFP(t)mk一一. 簡諧荷載簡諧荷載 ( )sinPFtFt荷載幅值荷載幅值 F荷載的圓頻率荷載的圓頻率 1. 運動方程及其解運動方程及其解 2( )( )sinFy ty ttm二階線性非齊次常微分方程二階線性非齊次常微分方程 通解：通解： ( )( )*( )y ty tyt 齊次解：齊次解： 12( )cossiny tCtCt設(shè)特解：設(shè)特解： *( )sinytAt運動方程的通

27、解為：運動方程的通解為： 1222( )cossinsin()Fy tCtCttm由初始條件確定由初始條件確定 后，運動方程的解后，運動方程的解 12,CC特解為特解為*22( )sin()Fyttm代入方程，求得代入方程，求得22()FAm002222cossinsinsiny(t)yttFFttm() m()（137）式（式（13-7）中前兩項為初始條件引起的）中前兩項為初始條件引起的自由振動自由振動;第三項為荷載（干擾力）引第三項為荷載（干擾力）引起的自由振動，稱為起的自由振動，稱為伴生自由振動伴生自由振動。實際上，由于阻尼的存在，自由振動實際上，由于阻尼的存在，自由振動部分都很快衰減掉

28、。自由振動消失前部分都很快衰減掉。自由振動消失前的振動階段稱為的振動階段稱為過渡階段過渡階段。第四項為。第四項為按荷載頻率按荷載頻率 進行的振動，此階段為進行的振動，此階段為 22sinFy(t)tm( )振動的振動的平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段，稱為，稱為純受迫振動純受迫振動或或穩(wěn)態(tài)振動穩(wěn)態(tài)振動。 2穩(wěn)態(tài)振動分析穩(wěn)態(tài)振動分析 （1）穩(wěn)態(tài)振動解）穩(wěn)態(tài)振動解222sin1Ftm ()sinAt令令2stFFyFmk2211Fmyst1msty荷載幅值作為靜荷載作用時結(jié)構(gòu)產(chǎn)荷載幅值作為靜荷載作用時結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的靜位移生的靜位移 最大動位移最大動位移max221 ( )1sty tymax ( )sty ty令令（

29、138）動力系數(shù)動力系數(shù)最大動位移（振幅）最大動位移（振幅）max ( )sty tAy（139）最大動位移最大動位移 與靜位移之比與靜位移之比max ( )y t動力系數(shù)動力系數(shù) 是頻率比是頻率比 的函數(shù)的函數(shù) （2）動位移的討論）動位移的討論它反映了干擾力它反映了干擾力 對結(jié)構(gòu)的動力作用。對結(jié)構(gòu)的動力作用。 22113211230共振區(qū)當當 時，時， 10即動位移與干即動位移與干擾力指向一致；擾力指向一致；當當 時，時， 10即動位移與干擾力指向相反。即動位移與干擾力指向相反。 （a） 時，時， 干擾力產(chǎn)生的動力作用不明顯，干擾力產(chǎn)生的動力作用不明顯， 因此可當作靜荷載處理；因此可當作靜荷

30、載處理； 極限情況，即極限情況，即 或或 ， 則則 。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時間變化，因此不存在荷載不隨時間變化，因此不存在振動問題。振動問題。01 01當當 時，時， 為增函數(shù)。為增函數(shù)。 01（b）當）當 時，時， ，共振，共振 為避開共振，可改變干擾力頻率為避開共振，可改變干擾力頻率 或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率 使使 或或 。 1 1.250.75（c）當）當 時，時， 為減函數(shù)為減函數(shù)當當 時，時， ， ， 體系處于靜止狀態(tài)。體系處于靜止狀態(tài)。10max0y（3）降低振幅的措施）降低振幅的措施 頻率比，頻率比，2km01應(yīng)使頻率比減小，增加結(jié)應(yīng)使頻

31、率比減小，增加結(jié)構(gòu)的構(gòu)的 自振頻率，增大剛自振頻率，增大剛度，減小質(zhì)量；度，減小質(zhì)量；1應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)構(gòu)的自振頻率，減小剛度，構(gòu)的自振頻率，減小剛度，增大質(zhì)量。增大質(zhì)量。 3. 動位移幅值（振幅）和動內(nèi)力幅值的計算動位移幅值（振幅）和動內(nèi)力幅值的計算 計算步驟計算步驟 （1）計算動力系數(shù)；）計算動力系數(shù)；（2）計算動荷載幅值作為）計算動荷載幅值作為 靜荷載作用時引起的靜荷載作用時引起的 位移和內(nèi)力；位移和內(nèi)力； （3）將位移和內(nèi)力分別乘）將位移和內(nèi)力分別乘 以動力系數(shù)得以動力系數(shù)得 動位移動位移 幅值和動內(nèi)力幅值。幅值和動內(nèi)力幅值。 Fp(t)my(t)EIl例：

32、求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩例：求簡支梁跨中最大位移和最大彎矩. 已知已知4lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn FsintG1/21/2111解解 (1) 計算動力系數(shù)計算動力系數(shù)梁的自振頻率：梁的自振頻率： 388.488 1048lmNEI14 .571smmk荷載頻率荷載頻率 1252.360ns動力系數(shù)動力系數(shù) 2215.881 (2) 動荷載幅值作為靜荷載動荷載幅值作為靜荷載 作用時的位移和內(nèi)力作用時的位移和內(nèi)力 48.488 10styFm104stFlMkNmM 圖 1l/4Fyst(3) 振幅和動彎矩幅值振幅和動彎矩幅值 振幅 34.

33、99 10stAym 動彎矩幅值動彎矩幅值 58.84dstFlMMkN m(4) 最大位移和最大彎矩最大位移和最大彎矩 簡支梁的最大位移和最大彎矩均在梁跨中點簡支梁的最大位移和最大彎矩均在梁跨中點 跨中重量跨中重量G產(chǎn)生的靜位移產(chǎn)生的靜位移 32.9710GyGm跨中的最大位移跨中的最大位移 1354GMGlkN m跨中重量跨中重量G產(chǎn)生的靜彎矩產(chǎn)生的靜彎矩 3max7.9610GyyAm跨中的最大彎矩跨中的最大彎矩 max93.8GdMMMkN m4. 動荷載不作用在質(zhì)點上時的動計算動荷載不作用在質(zhì)點上時的動計算 振動方程振動方程 1112( )( )siny tmy tFt 121111

34、1( )( )sinmy ty tFt 令令*1211FF (a) (b) y(t)Fsintml/4l/4l/2Fsinty(t)-my(t)則則*111( )( )sinmy ty tFt穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 *222( )sin(1)Fy ttm111112Fyst (c) (d) (e) （1）、振幅）、振幅 *max222*11212111211 ( )(1)stFAy tmFFmFFy 結(jié)論結(jié)論:仍是位移的動力系數(shù)仍是位移的動力系數(shù).思考思考:是否內(nèi)力的動力系數(shù)？是否內(nèi)力的動力系數(shù)？ （2）、動內(nèi)力幅值）、動內(nèi)力幅值 ( )sinpFtFt、( )siny tAt2( )siny tAt

35、2( )( )sinI tmy tmAt ( )y t( )I t三者三者同時達到幅值。同時達到幅值。( )pFt、作同頻同步運動，作同頻同步運動， 根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾力幅值同時然后，將慣性力幅值和干擾力幅值同時作用在體系上，按靜力學計算方法便可作用在體系上，按靜力學計算方法便可求得動內(nèi)力幅值。求得動內(nèi)力幅值。例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖. 已知已知 ：0.5解解 (a) (b) (1) 計算動力系數(shù)計算動力系數(shù) 221431(2) 簡支梁的振幅簡支梁的振幅 31211768l

36、EImax312( )11576stAy tyFlFEI(c)y(t)Fsintml/4l/4l/2Fm2AAFyst (d) (e) (3) 作動彎矩的幅值圖作動彎矩的幅值圖慣性力幅值慣性力幅值21148ImAF動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖(f) 將動荷載幅值將動荷載幅值 F 和和慣性力慣性力 幅值幅值 I 作用在梁作用在梁上，按靜力學方法作出上，按靜力學方法作出彎矩圖彎矩圖-動彎矩幅值圖。動彎矩幅值圖。 作業(yè)：作業(yè)： 295頁頁13-8, 296 頁頁13-10, 297頁頁13-1613l/1612F4811FFl38483Fl192351l/411 結(jié)結(jié) 論論 對于單自由度體系，當干擾力作

37、用在對于單自由度體系，當干擾力作用在質(zhì)量上時，位移的動力系數(shù)和內(nèi)力的動力質(zhì)量上時，位移的動力系數(shù)和內(nèi)力的動力系數(shù)是相同的；當干擾力不作用在質(zhì)量上系數(shù)是相同的；當干擾力不作用在質(zhì)量上時，位移和內(nèi)力各自的動力系數(shù)通常是不時，位移和內(nèi)力各自的動力系數(shù)通常是不同的。對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)相同的情同的。對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)相同的情況，求結(jié)構(gòu)的最大動力反應(yīng)時，可將干擾況，求結(jié)構(gòu)的最大動力反應(yīng)時，可將干擾力幅值當作靜荷載作用計算結(jié)構(gòu)的位移和力幅值當作靜荷載作用計算結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力，然后再乘以動力系數(shù)，便可得到穩(wěn)態(tài)內(nèi)力，然后再乘以動力系數(shù)，便可得到穩(wěn)態(tài)振動時結(jié)構(gòu)的最大動位移和最大動內(nèi)力。對振動時結(jié)構(gòu)的最大動

38、位移和最大動內(nèi)力。對于位移和內(nèi)力動力系數(shù)不同的情況，則要從于位移和內(nèi)力動力系數(shù)不同的情況，則要從體系的運動方程出發(fā)，先求出穩(wěn)態(tài)振動的位體系的運動方程出發(fā)，先求出穩(wěn)態(tài)振動的位移幅值，再算出慣性力。最后，按靜力計算移幅值，再算出慣性力。最后，按靜力計算方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力幅值共方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力幅值共同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力。同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力。二二. 一般動荷載一般動荷載 體系在一般動荷載作用下的動力反應(yīng)，體系在一般動荷載作用下的動力反應(yīng)，可看成是連續(xù)作用的一系列沖量對體系產(chǎn)可看成是連續(xù)作用的一系列沖量對體系產(chǎn)生的動力反應(yīng)之和。生的動力反應(yīng)

39、之和。Fp(t )Fp(t )0ttFp(t)my(t)EIl1. 瞬時沖量下體系的動力反應(yīng)瞬時沖量下體系的動力反應(yīng) 0tFp沖量S=FptttFp(t)（1）t=0 時瞬時沖量作用時瞬時沖量作用 設(shè)體系設(shè)體系 0t 時靜止時靜止, 瞬時沖量瞬時沖量 pSFt體系產(chǎn)生的初速度體系產(chǎn)生的初速度 0PFtSmm初位移初位移 00y 體系的動力反應(yīng)體系的動力反應(yīng) 00( )cossinsinPFty tytttm（13-10） （2）.時瞬時沖量作用時瞬時沖量作用 t位移位移 pF d(t)sin(t- )ym任一時刻任一時刻 ()tt0dS=Fpdtt-tFpFp(t )的的pF ( )ddysi

40、n (t- )mFp(t )dS=Fp()dFp(t )0dtt2. 一般動荷載下體系的動力反應(yīng)一般動荷載下體系的動力反應(yīng)微分沖量微分沖量pdSF ( )d微分沖量下體系的動力反應(yīng)微分沖量下體系的動力反應(yīng)一般動荷載下體系的動力反應(yīng)一般動荷載下體系的動力反應(yīng)01( )( )sin ()tpy tFtdm（13 11)Duhamel積分積分 ,若若0t 時時,00v00y 則則 體系的動力反應(yīng)體系的動力反應(yīng)000( )cossin1( )sin()tpvy tyttFtdm（1312）例例 求突加荷載作用下質(zhì)量求突加荷載作用下質(zhì)量 m m 的位移。的位移。 初始條件為零，不計阻尼。初始條件為零，不

41、計阻尼。 0t 0t 0,( ),ppF tFtFp(t )FpFp(t)my(t)EIl解解 將將 ()pF t代入式代入式 （1311），得），得 01( )( )sin()tpy tFtdm20sin ()tpFtdm2(1cos)pFtm(1 cos)styt（1313）動力系數(shù)動力系數(shù) max( )2sty ty作業(yè)：作業(yè)： 296頁頁1312，297頁頁13130234tyst13135 5阻尼阻尼：體系在振動過程中使其能量耗散的：體系在振動過程中使其能量耗散的 各種因素的統(tǒng)稱。各種因素的統(tǒng)稱。 產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)變形中材料的內(nèi)摩產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)變形中材料的內(nèi)摩擦，支撐及結(jié)點

42、等構(gòu)件聯(lián)結(jié)處摩擦及周圍擦，支撐及結(jié)點等構(gòu)件聯(lián)結(jié)處摩擦及周圍介質(zhì)阻力等。介質(zhì)阻力等。 阻尼力阻尼力：在振動分析中用于替代阻尼作用：在振動分析中用于替代阻尼作用的阻礙振動的力。的阻礙振動的力。 阻尼對振動的影響阻尼對振動的影響 y(t)ycmFP(t)ky(t)cy(t)my(t)k(a)(b)采用阻尼模型：粘滯阻尼力采用阻尼模型：粘滯阻尼力假定阻假定阻尼力的大小與體系振動時的速度成正比，尼力的大小與體系振動時的速度成正比，與速度方向相反，用與速度方向相反，用 表示。表示。 阻尼常數(shù)。阻尼常數(shù)。 )(tycc具有阻尼的單自由度體系的振動模型如圖具有阻尼的單自由度體系的振動模型如圖（a）示。）示。

43、彈性力彈性力 )(tky阻尼力阻尼力 )(tyc慣性力慣性力 )(tym 質(zhì)量質(zhì)量 m 的動平衡方程為的動平衡方程為： )()()()(tFtkytyctymP （131414） 一一. .有阻尼的自由振動有阻尼的自由振動 自由振動方程自由振動方程 0)()()(tkytyctym （131515） 令令 阻尼比阻尼比 mc2 則則 0)()(2)(2tytyty （1316） 設(shè)設(shè) 解為解為 tAety )(特征方程特征方程 0222 21i（131717） 特征根特征根1. 1. 三種運動形態(tài)三種運動形態(tài) (1). (小阻尼情況小阻尼情況) 1 21 r 有阻尼頻率有阻尼頻率 （13191

44、9） 方程（方程（131616）的解）的解 )sincos()(21tCtCetyrrt （132020） 由初始條件由初始條件 0)0(yy 0)0(v y 式中 ryvC002或方程的解寫為或方程的解寫為 )sin()( tAetyrt（1320） 01yC 振幅振幅 220020)(ryvyA 0001tanyvyr 小阻尼情況下的自由振動是按指數(shù)規(guī)律衰小阻尼情況下的自由振動是按指數(shù)規(guī)律衰減的簡諧運動。減的簡諧運動。 相位角相位角（1322）（1321）方程（方程（1316）解）解 tetCCty )()(21 不振動不振動 （3） （超阻尼情況）（超阻尼情況） 1 不振動不振動 （2）

45、 （臨界阻尼情況）（臨界阻尼情況） 1 mCr2 臨界阻尼常數(shù)臨界阻尼常數(shù) （1323）（1324）2.2.小阻尼時自由振動分析小阻尼時自由振動分析 振動方程振動方程 )sin()( tAetyrt頻率頻率 21 r周期周期 rrT 2 (1)(1)小阻尼的自由振動是一個衰減振動；小阻尼的自由振動是一個衰減振動； ytyKyK+1Ae-ttKtK+1Tr(2)(2)在在 時，阻尼對自振頻率的影響時，阻尼對自振頻率的影響可忽略；可忽略； 2 . 0 rTTr 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)：鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)： 05. 0 鋼結(jié)構(gòu)：鋼結(jié)構(gòu)： 02. 0 左右左右 (3)(3)阻尼比的確定阻尼比的確定 rrkkTTt

46、tkkeAeAeyy )(1 22ln1 rrkkTyy振幅對數(shù)衰減率振幅對數(shù)衰減率1ln21 kkyy 還可表示為還可表示為 1ln21 kkyyn （1325）阻尼比阻尼比（1326）（1327）利用上式，通過實驗可確定體系的阻尼比。利用上式，通過實驗可確定體系的阻尼比。 例：例： 對圖示剛架作自由振動實驗。設(shè)剛架對圖示剛架作自由振動實驗。設(shè)剛架的質(zhì)量的質(zhì)量 m m 均集中在橫梁處，橫梁均集中在橫梁處，橫梁 。在剛架橫梁處加一水平力在剛架橫梁處加一水平力 ，測，測得側(cè)移得側(cè)移 。然后突然卸載，剛架。然后突然卸載，剛架產(chǎn)生自由振動，測得周期產(chǎn)生自由振動，測得周期 ，及一，及一個周期后剛架的側(cè)

47、移為個周期后剛架的側(cè)移為 。求剛架。求剛架的阻尼比的阻尼比 和阻尼系數(shù)和阻尼系數(shù) 。 EIKNFP8 . 9 cmy5 . 00 sTr5 . 1 cmy4 . 01 C解解阻尼比阻尼比 01110.5lnln0.0355220.4yy1224.189sTTr402196 10/111695pFkN mykmkg阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) msNmC332202二有阻尼的強迫振動二有阻尼的強迫振動 式（式（13131414）有阻尼強迫振動方程中，）有阻尼強迫振動方程中， 不同，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)不同。不同，結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)不同。 ( )pF t1. 1. 簡諧荷載簡諧荷載 ( )sinpF tFt運動方程及其

48、解運動方程及其解 .( )( )( )sinm y tc y tk y tFt.2( )2( )( )sinFy ty ty ttm或或（13132828） _( )( )( )y ty tyt通解通解齊次解齊次解_12( )(cossin)trry tectct（1 1）（13132929） 22222222222222( )sincos()42()4ytAtBtFAmFBm 設(shè)設(shè) 特解特解運動方程的全解：運動方程的全解：12( )(cossin)sincostrry tectctAtBt式中式中 由初始條件確定。由于阻尼的由初始條件確定。由于阻尼的作用，含有作用，含有 的第一部分的振動將逐

49、漸的第一部分的振動將逐漸12,c cte（13133030）（13133131）（13133232）（13133333）(2)(2)穩(wěn)態(tài)振動分析穩(wěn)態(tài)振動分析穩(wěn)態(tài)振動方程可寫為穩(wěn)態(tài)振動方程可寫為( )sin()py tyt振幅振幅222222222222211(1)4(1)4pstFyym（13133535） 1222 ()tan1衰減消失；與動荷載頻率衰減消失；與動荷載頻率 相同的第二部分相同的第二部分振動不衰減，稱為穩(wěn)態(tài)振動（純受迫振動）。振動不衰減，稱為穩(wěn)態(tài)振動（純受迫振動）。 （13133434）相位角相位角當當 時，時，動力系數(shù)動力系數(shù)2222221(1)4pstyy（13133636

50、） 阻尼對振幅的影響：阻尼對振幅的影響： pstyy 隨隨 增大而減??；增大而減??； 當當 時，時， 10當當 時，共振，時，共振，(1)11|2，；與頻率比與頻率比 動力系數(shù)動力系數(shù)和阻尼和阻尼有關(guān)有關(guān)。阻尼在共振區(qū)阻尼在共振區(qū)內(nèi)影響顯著，內(nèi)影響顯著，不能忽略；在不能忽略；在共振區(qū)外，為共振區(qū)外，為簡化，偏安全簡化，偏安全考慮可不計阻考慮可不計阻尼的影響。尼的影響。 (0.751.25) 并不發(fā)生在并不發(fā)生在 處。處。max1max2121max12通常情況下，通常情況下，很小，很小， 阻尼體系的位移反應(yīng)比荷載滯后一相位阻尼體系的位移反應(yīng)比荷載滯后一相位 。 ，彈性力主要與動荷載平衡，彈性力

51、主要與動荷載平衡，0,0位移與荷載同向；位移與荷載同向；，阻尼力主要與動荷載平衡，阻尼力主要與動荷載平衡，1,90 共振時阻尼的作用不可忽視；共振時阻尼的作用不可忽視；，慣性力主要與動荷載平衡，慣性力主要與動荷載平衡，,180 位移與動荷載反位移與動荷載反向。向。（13133737）2. 2. 一般動荷載一般動荷載 ( )pF t運動方程運動方程 .( )( )( )( )pm y tc y tky tF t.2( )( )2( )( )pF ty ty ty tm或或（13133838） 當當 時，運動方程的通解時，運動方程的通解 1_( )( )( )y ty tyt齊次解齊次解 _12(

52、 )(cossin)trry tectct特解特解 用用DuhamelDuhamel積分表示積分表示 ()0( )( )sin()tptrrFytetdm()120( )( )( cossin)sin()tpttrrrrFy tectctetdm（13133939） 通解為通解為式中式中 由初始條件由初始條件: :12,c c00(0),(0)yyvv000()0( )(cossin)( )sin()trrrtptrrvyy teyttFetdm總位移為總位移為作業(yè)：思考題作業(yè)：思考題 P288 13-14 P288 13-14 ，13-1513-15 習題習題 P297 13-14 13-1

53、5 P297 13-14 13-15 （13134040） 確定確定13-6 13-6 多自由度體系的自由振動多自由度體系的自由振動 工程中，很多實際結(jié)構(gòu)可簡化為單工程中，很多實際結(jié)構(gòu)可簡化為單自由度體系進行計算，但要進行更加精自由度體系進行計算，但要進行更加精確地分析，以及對于絕大多數(shù)實際結(jié)構(gòu)確地分析，以及對于絕大多數(shù)實際結(jié)構(gòu)必須作為多自由度體系進行計算。必須作為多自由度體系進行計算。 多自由度體系自由振動分析的目的多自由度體系自由振動分析的目的是確定體系的動力特性是確定體系的動力特性自振頻率和自振頻率和振型。振型。 多自由度體系自由振動的求解方法：多自由度體系自由振動的求解方法：剛度法，柔

54、度法。剛度法，柔度法。 一一. . 剛度法剛度法1.1. 兩個自由度體系兩個自由度體系（1 1）自由振動微分方程）自由振動微分方程慣性力慣性力 ，11111222211222,rk yk yrk yk y （13-4113-41） 彈性力彈性力（2 2）頻率方程和自振頻率）頻率方程和自振頻率 設(shè)方程的特解：設(shè)方程的特解： 1122( )sin()( )sin()y tYty tYt即兩質(zhì)量作簡諧振動即兩質(zhì)量作簡諧振動代入方程（代入方程（13-4113-41），得位移幅值方程），得位移幅值方程 兩質(zhì)量的動平衡方程兩質(zhì)量的動平衡方程11ym 22ym 002221212221211111ykyky

55、mykykym 21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y （13-4213-42） 頻率方程頻率方程 211112221222()0()kmkDkkm解頻率方程得解頻率方程得 兩個根：兩個根： ，規(guī)定，規(guī)定212, 1212第一頻率或基本頻率，第一頻率或基本頻率， 第二頻率第二頻率 （13-4313-43） （3 3）主振型）主振型 將將 代入式（代入式（13-4213-42），得），得 1211122211111 YkYkm質(zhì)點質(zhì)點 的振動方程為的振動方程為 12,m m11112211( )sin()( )sin()y tYty tYt （13-4413-

56、44） 體系按體系按 振動有如下特點：振動有如下特點： 1兩質(zhì)量同頻同步兩質(zhì)量同頻同步任意時刻，兩質(zhì)量的位移比值，速度比任意時刻，兩質(zhì)量的位移比值，速度比值保持不變且相等值保持不變且相等 11111112211121( )sin()( )sin()y tYtYy tYtY 這說明體系的變形形式不變，此振動這說明體系的變形形式不變，此振動形式稱為形式稱為主振型主振型，簡稱，簡稱振型振型。 為與為與 相對應(yīng)的振型，稱為第一振型相對應(yīng)的振型，稱為第一振型1121YY1或基本振型?；蚧菊裥?。 2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty定義：定義：體系上所有質(zhì)量按

57、相同頻率作自由體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動時的振動形狀稱體系的主振型。振動時的振動形狀稱體系的主振型。 按第一振型自由振動的條件按第一振型自由振動的條件 111111221212(0)(0),(0)(0)yYyYyYYy振型與頻率一樣是體系本身固有的屬性，振型與頻率一樣是體系本身固有的屬性，與外界因素無關(guān)。與外界因素無關(guān)。 同理，將同理，將 代入式（代入式（13-4213-42），得到），得到 1212122221121 YkYkm （13-4513-45） 即第二振型即第二振型 211121)0()0(YYyy圖示兩個振型圖示兩個振型 第一主振型第一主振型12第二主振型第二主振型 2

58、2n n個自由度體系個自由度體系自由振動微分方程組：自由振動微分方程組： 其矩陣表達式：其矩陣表達式： （13-4713-47） （13-4613-46） 0yKyM 000nnn22n11nnnn2n22211222nn121211111ykykykymykykykymykykykym 22()00KMYKM頻率方程頻率方程 （13-4813-48） 解頻率方程，得解頻率方程，得 的的n n個根：個根：且，且， ，從小到大得排列，依，從小到大得排列，依次稱為第一頻率（或基本頻率）、第二頻次稱為第一頻率（或基本頻率）、第二頻率率 。222212,n12 n 將自振頻率代入將自振頻率代入 得出得

59、出 對應(yīng)的主振型向量對應(yīng)的主振型向量 。這這 n n 個主振型線性無關(guān)。個主振型線性無關(guān)。 2( )() 0iiKMYi( ) (1,2, )iYin慣性力慣性力 ， 作用下產(chǎn)生的靜位作用下產(chǎn)生的靜位移。移。二二. .柔度法柔度法1.1. 兩個自由度體系兩個自由度體系（1 1）自由振動微分方程）自由振動微分方程 質(zhì)量質(zhì)量 在任意時刻的位移在任意時刻的位移 為此時為此時12,m m12( ),( )y ty t11ym 11ym 11ym 11ym 11ym 22ym （13-4913-49） （2 2）頻率方程和頻率）頻率方程和頻率111112222211 1222221()01()0mYm

60、YmYmY （13-5013-50） 方程的特解同剛度法；設(shè)兩質(zhì)量作簡諧振動，方程的特解同剛度法；設(shè)兩質(zhì)量作簡諧振動，代入方程（代入方程（13-4913-49），整理得位移幅值方程），整理得位移幅值方程0 02 2222221112122211111(t)m(t)m(t)y(t)m(t)m(t)yyyyy111122221122221()01()mmDmm （13-5113-51） 頻率方程頻率方程 解頻率方程同樣得到解頻率方程同樣得到 的兩個根：的兩個根：12, （3 3）主振型）主振型與剛度法求振型相似，得到用柔度法與剛度法求振型相似，得到用柔度法表示的主振型為：表示的主振型為：第一主振型