第13章結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算

1、第第1313章結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算章結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算 13131 1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度 一動(dòng)荷載及其分類一動(dòng)荷載及其分類 動(dòng)荷載動(dòng)荷載是指其大小、方向和作用位置隨是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間變化的荷載由于荷載隨時(shí)間變化較快時(shí)間變化的荷載由于荷載隨時(shí)間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的最主要特征。性力的影響是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的最主要特征。 靜荷載只與作用位置有關(guān)，而動(dòng)荷載靜荷載只與作用位置有關(guān)，而動(dòng)荷載是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。 動(dòng)荷載按其隨時(shí)間的變化規(guī)律進(jìn)行分類：動(dòng)荷載按其隨時(shí)間的

2、變化規(guī)律進(jìn)行分類： 載其他非確定規(guī)律的動(dòng)荷風(fēng)荷載地震荷載非確定性其他確定規(guī)律的動(dòng)荷載突加荷載沖擊荷載非周期非簡(jiǎn)諧荷載簡(jiǎn)諧荷載周期確定性動(dòng)荷載二二結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容和特點(diǎn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容和特點(diǎn)1. 1. 動(dòng)力計(jì)算的主要內(nèi)容動(dòng)力計(jì)算的主要內(nèi)容第一類問(wèn)題：反應(yīng)問(wèn)題第一類問(wèn)題：反應(yīng)問(wèn)題輸入輸入（動(dòng)荷載）（動(dòng)荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動(dòng)力反應(yīng)）（動(dòng)力反應(yīng)）第二類問(wèn)題：參數(shù)（或系統(tǒng)）的識(shí)別第二類問(wèn)題：參數(shù)（或系統(tǒng)）的識(shí)別 輸入輸入（動(dòng)荷載）（動(dòng)荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動(dòng)力反應(yīng)）（動(dòng)力反應(yīng)）第三類問(wèn)題：荷載識(shí)別第三類問(wèn)題：荷載識(shí)別 輸入輸入（動(dòng)荷載）（動(dòng)荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）

3、（系統(tǒng)）輸出輸出（動(dòng)力反應(yīng)）（動(dòng)力反應(yīng)）第四類問(wèn)題：控制問(wèn)題第四類問(wèn)題：控制問(wèn)題 輸入輸入（動(dòng)荷載）（動(dòng)荷載）結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）（系統(tǒng)）輸出輸出（動(dòng)力反應(yīng)）（動(dòng)力反應(yīng)）控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) （裝置、能量）（裝置、能量）2 2結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的 研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的反應(yīng)規(guī)研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)律，找出動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移，為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性力和最大動(dòng)位移，為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性設(shè)計(jì)提供依據(jù)。設(shè)計(jì)提供依據(jù)。 3 3動(dòng)力反應(yīng)的特點(diǎn)動(dòng)力反應(yīng)的特點(diǎn) 在動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)在動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)（動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移等）都

4、隨時(shí)間變化，（動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移等）都隨時(shí)間變化，它的除與動(dòng)荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還它的除與動(dòng)荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和阻尼）有關(guān)。阻尼）有關(guān)。 不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應(yīng)。可見(jiàn)，結(jié)構(gòu)的固有特具有相同的反應(yīng)?？梢?jiàn)，結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動(dòng)荷載下的反應(yīng)，故稱之為性能確定動(dòng)荷載下的反應(yīng)，故稱之為結(jié)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。構(gòu)的動(dòng)力特性。強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下產(chǎn)生得振結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下產(chǎn)生得振動(dòng)。動(dòng)。 研究強(qiáng)迫振動(dòng)，可得到

5、結(jié)構(gòu)的動(dòng)力研究強(qiáng)迫振動(dòng)，可得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)。反應(yīng)。 三自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)三自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng) 結(jié)構(gòu)在沒(méi)有動(dòng)荷載作用時(shí)，由結(jié)構(gòu)在沒(méi)有動(dòng)荷載作用時(shí)，由 初速度、初位移所引起的振動(dòng)。初速度、初位移所引起的振動(dòng)。 研究結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)，可得到結(jié)構(gòu)的研究結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。 確定體系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一時(shí)刻全部確定體系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為質(zhì)量位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的體系的自由度自由度。 根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由度體系，多自由度體系和無(wú)限自由度自

6、由度體系，多自由度體系和無(wú)限自由度體系。體系。四動(dòng)力分析中的自由度四動(dòng)力分析中的自由度1 1自由度的定義自由度的定義 將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學(xué)原則集中到若干幾何點(diǎn)上，的力學(xué)原則集中到若干幾何點(diǎn)上，使結(jié)構(gòu)只在這些點(diǎn)上有質(zhì)量。從而使結(jié)構(gòu)只在這些點(diǎn)上有質(zhì)量。從而把一個(gè)無(wú)限自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為有限把一個(gè)無(wú)限自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為有限自由度問(wèn)題。自由度問(wèn)題。 2.2.實(shí)際結(jié)構(gòu)自由度的簡(jiǎn)化方法實(shí)際結(jié)構(gòu)自由度的簡(jiǎn)化方法 為分析計(jì)算方便，往往將具有無(wú)限自為分析計(jì)算方便，往往將具有無(wú)限自由度體系的實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為有限自由度。由度體系的實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為有限自由度。常用的簡(jiǎn)化方法有：常用的簡(jiǎn)化方

7、法有：（1 1） 集中質(zhì)量集中質(zhì)量法法ms平面平面: :計(jì)軸向變形計(jì)軸向變形: : W=2W=2不計(jì)軸向變形不計(jì)軸向變形: : W=1W=1( (空間空間: :不計(jì)軸向變形不計(jì)軸向變形: : W=2W=2) ) 不計(jì)軸向變形：不計(jì)軸向變形： 1yy1y2W=1W=1（3 3） W=2W=2（3 3） 1yyy321yyW=3W=3（5 5） W=3W=3W=1W=1結(jié)論：結(jié)論： 結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)思考：思考：考慮軸向變形后各計(jì)算簡(jiǎn)圖的動(dòng)力自考慮軸向變形后各計(jì)算簡(jiǎn)圖的動(dòng)力自由度數(shù)是多少？由度數(shù)是

8、多少？（2 2）廣義坐標(biāo)法）廣義坐標(biāo)法 假定梁的撓度曲線為假定梁的撓度曲線為 my(x)11)()()(knkkkkkxaxaxy式中式中 )(xkka滿足位移邊界條件的形狀函數(shù)滿足位移邊界條件的形狀函數(shù) 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為體系的自由度數(shù)廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為體系的自由度數(shù)（3）有限單元法）有限單元法 綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的特點(diǎn)。綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的特點(diǎn)。 將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元的集合，將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元的集合，以結(jié)點(diǎn)位移作為廣義坐標(biāo)，將無(wú)限自由以結(jié)點(diǎn)位移作為廣義坐標(biāo)，將無(wú)限自由度問(wèn)題化為有限自由度問(wèn)題。度問(wèn)題化為有限自由度問(wèn)題。結(jié)點(diǎn)位移的數(shù)目等于體系的

9、自由度數(shù)。結(jié)點(diǎn)位移的數(shù)目等于體系的自由度數(shù)。本章主要討論集中質(zhì)量法。本章主要討論集中質(zhì)量法。 m13-213-2 單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程 實(shí)際上，工程中很多問(wèn)題可化成實(shí)際上，工程中很多問(wèn)題可化成單自由度體系進(jìn)行動(dòng)力分析或進(jìn)行初單自由度體系進(jìn)行動(dòng)力分析或進(jìn)行初步估算。要掌握其動(dòng)力反應(yīng)的規(guī)律，步估算。要掌握其動(dòng)力反應(yīng)的規(guī)律，必須首先建立其運(yùn)動(dòng)方程。下面介紹必須首先建立其運(yùn)動(dòng)方程。下面介紹建立在達(dá)朗伯原理基礎(chǔ)上的建立在達(dá)朗伯原理基礎(chǔ)上的“動(dòng)靜動(dòng)靜法法”。 一一.按平衡條件建立運(yùn)動(dòng)方程按平衡條件建立運(yùn)動(dòng)方程剛度法剛度法 y(t)mFP(t)EILmFP(t)-my(t)-ky(t

10、)(tym )(tky慣性力慣性力 彈性力彈性力 對(duì)隔離體列平衡方程對(duì)隔離體列平衡方程：)()()(tFtkytymp k k剛度系數(shù)剛度系數(shù) 33lEIk )()(3)(3tFtylEItymp 1kky(t)y(t)剛度法步驟：剛度法步驟：（1）在質(zhì)點(diǎn)上沿位移正向加慣性力）在質(zhì)點(diǎn)上沿位移正向加慣性力;（2）取質(zhì)點(diǎn)為隔離體并作受力圖）取質(zhì)點(diǎn)為隔離體并作受力圖; ;（3）根據(jù)達(dá)朗伯原理對(duì)質(zhì)量）根據(jù)達(dá)朗伯原理對(duì)質(zhì)量m列瞬時(shí)列瞬時(shí) 動(dòng)力平衡方程，此即體系的運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)力平衡方程，此即體系的運(yùn)動(dòng)方程。二二. .按位移法協(xié)調(diào)建立方程按位移法協(xié)調(diào)建立方程柔度法柔度法 1 1y(t)LEIFP(t)m-m

11、y(t)FP(t)my(t)-my(t)對(duì)質(zhì)量對(duì)質(zhì)量 m m 列位移方程列位移方程：)()()(tymtFtyp )()(1)(tFtytymp EIl33 柔度系數(shù)柔度系數(shù) 1k)()(3)(3tFtylEItymp 柔度法步驟柔度法步驟： （1 1）在質(zhì)量上沿位移正方向加慣性力；）在質(zhì)量上沿位移正方向加慣性力； （2 2）求動(dòng)荷載和慣性力引起的位移；）求動(dòng)荷載和慣性力引起的位移； （3 3）令該位移與質(zhì)量）令該位移與質(zhì)量 m m 的位移相等，的位移相等， 即得到體系的位移方程（運(yùn)動(dòng)方程）。即得到體系的位移方程（運(yùn)動(dòng)方程）。 三三. .建立運(yùn)動(dòng)方程例題建立運(yùn)動(dòng)方程例題 例例1 1 試建立圖示

12、剛架試建立圖示剛架（a a）的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程 解：（解：（1 1）剛度法）剛度法 （a a）（b b）EIFP(t)mhEImy(t)F(t)y(t)F1=0 由于橫梁剛度無(wú)限大，剛架只產(chǎn)生水由于橫梁剛度無(wú)限大，剛架只產(chǎn)生水平位移。設(shè)橫梁在某一時(shí)刻平位移。設(shè)橫梁在某一時(shí)刻 t t 的水平位移的水平位移為為 y(t), y(t), 向右為正。在柱頂設(shè)置附加鏈桿向右為正。在柱頂設(shè)置附加鏈桿（圖（圖b b），以），以 y(t) y(t) 作為基本未知量，用位作為基本未知量，用位移法列動(dòng)平衡方程：移法列動(dòng)平衡方程：0)(1111pFtyk令令 , 1)(ty 作作 1M圖（圖圖（圖c c），求得）

13、，求得 31124hEIk12EI/h312EI/h3kk116EI/h26EI/h26EI/h26EI/h2M1圖(c) F(t)FF(t)-my(t)F-my(t)(d) 考慮動(dòng)荷載考慮動(dòng)荷載 F(t)F(t)和慣性力和慣性力 )(tym 作作 M MP P 圖，求得圖，求得)()(1tymtFFP （2）柔度法）柔度法 設(shè)橫梁在任一時(shí)刻設(shè)橫梁在任一時(shí)刻 的位移的位移 是由是由動(dòng)荷載動(dòng)荷載 和慣性力和慣性力 共同作用產(chǎn)共同作用產(chǎn)生的（圖生的（圖e），）， t)(ty)(tF)(tym 所以，運(yùn)動(dòng)方程為所以，運(yùn)動(dòng)方程為：)()(24)(3tFtyhEItym 因此，橫梁的位移為因此，橫梁的位

14、移為： )()()(tFtymty 作 圖（圖f）1M-my(t)F(t)y(t)y(t)(e) h/4M1圖h/4h/4h/41(f) 求得求得EIh243所以，運(yùn)動(dòng)方程為所以，運(yùn)動(dòng)方程為)()(24)(3tFtyhEItym 可見(jiàn)，用兩種方法求解后運(yùn)動(dòng)方程相同?？梢?jiàn)，用兩種方法求解后運(yùn)動(dòng)方程相同。例例2試建立圖（試建立圖（a）所示剛架的運(yùn)動(dòng)方程）所示剛架的運(yùn)動(dòng)方程（不計(jì)軸向變形）（不計(jì)軸向變形）。 F(t)y(t)mlEIEI4l(a) F(t)my(t)-my(t)(b)解：解： 用柔度法求解用柔度法求解 圖示結(jié)構(gòu)質(zhì)量圖示結(jié)構(gòu)質(zhì)量 m只產(chǎn)生水平位移只產(chǎn)生水平位移。 設(shè)質(zhì)量設(shè)質(zhì)量 m 在任

15、一在任一時(shí)時(shí)刻刻t的水平位移為的水平位移為 ，)(ty它是由動(dòng)荷載它是由動(dòng)荷載 )(tFll1M1圖(c) )()()(tFtymty 質(zhì)量質(zhì)量m的位移為的位移為 和慣性力和慣性力)(tym 作用產(chǎn)生的，作用產(chǎn)生的，共同共同向右為正。向右為正。作作 圖，圖， 1M求得求得 EIl353所以，運(yùn)動(dòng)方程成為所以，運(yùn)動(dòng)方程成為 )()(53)(3tFtylEItym 例例3試建立圖（試建立圖（a）所示剛架的運(yùn)動(dòng)方程）所示剛架的運(yùn)動(dòng)方程 （不計(jì)軸向變形）（不計(jì)軸向變形）。 解：解： 仍用柔度法求解仍用柔度法求解lEIEImy(t)2l2lF(t)(a)-my(t)my(t)F(t)（b）分析同例分析同

16、例2，質(zhì)量，質(zhì)量m的位移為的位移為 )()()(1211tFtymty 作作 圖圖、 圖圖1M2M求得求得 1ll11M1圖(c ) l121M2圖(d) EIl35311EIl312所以，運(yùn)動(dòng)方程為所以，運(yùn)動(dòng)方程為)()(35)(33tFEIltymEIlty 由此可見(jiàn)，動(dòng)靜法建立單自由度體由此可見(jiàn)，動(dòng)靜法建立單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程通常是以質(zhì)量的靜平衡位置系的運(yùn)動(dòng)方程通常是以質(zhì)量的靜平衡位置作為計(jì)算動(dòng)位移的起點(diǎn)，采用剛度法還是作為計(jì)算動(dòng)位移的起點(diǎn)，采用剛度法還是柔度法要視具體問(wèn)題是求剛度系數(shù)方便，柔度法要視具體問(wèn)題是求剛度系數(shù)方便，還是求柔度系數(shù)方便來(lái)定。對(duì)同一體系，還是求柔度系數(shù)方便來(lái)定。

17、對(duì)同一體系，兩種方程都是一樣的，對(duì)于單自由度體兩種方程都是一樣的，對(duì)于單自由度體系系： 。 1k13-313-3 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng) （不計(jì)阻尼（不計(jì)阻尼） 自由振動(dòng)由初位移或初速度引起的，自由振動(dòng)由初位移或初速度引起的，在運(yùn)動(dòng)中無(wú)動(dòng)荷載作用的振動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)中無(wú)動(dòng)荷載作用的振動(dòng)。 分析自由振動(dòng)的目的確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析自由振動(dòng)的目的確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，自振頻率，自振周期。特性，自振頻率，自振周期。 一一. .自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程 單自由度體系的自由單自由度體系的自由振動(dòng)及相應(yīng)的彈簧振動(dòng)及相應(yīng)的彈簧質(zhì)量模型如圖示。以質(zhì)量模型如圖示。以靜平衡位置為坐標(biāo)原靜平衡位置

18、為坐標(biāo)原點(diǎn)，在點(diǎn)，在 t t 時(shí)刻，質(zhì)量時(shí)刻，質(zhì)量 m m 的位移為的位移為 y(t)y(t)。EILm-my(t)y(t) 取質(zhì)量取質(zhì)量 m m 為隔離體，作用在隔離體上的力：為隔離體，作用在隔離體上的力： 彈性力彈性力 kyky(t)(t)與位移方向相反；與位移方向相反； 慣性力慣性力 )(tym 與加速度與加速度 y 方向相反。方向相反。 動(dòng)平衡方程：動(dòng)平衡方程： 0)()(tkytym 剛度法建立平衡方程：剛度法建立平衡方程：（13131 1）ky(t)mky(t)my(t)m柔度法建立位移方程柔度法建立位移方程：質(zhì)量質(zhì)量 m m 在在 t t 時(shí)刻的位移時(shí)刻的位移y(t)y(t)是由

19、此時(shí)作是由此時(shí)作用在質(zhì)量上的慣性力產(chǎn)生的，位移方程為：用在質(zhì)量上的慣性力產(chǎn)生的，位移方程為：)()(tymty 整理，整理， 0)(1)(tytym (a) 單自由度體系：?jiǎn)巫杂啥润w系： 1k (b) 式（式（13131 1）或（）或（a a）稱為單自由度體系）稱為單自由度體系自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）二二. .自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的解自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的解 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程寫(xiě)為：?jiǎn)巫杂啥润w系自由振動(dòng)微分方程寫(xiě)為： 02yy （13132 2）式中式中 mmk12其通解為其通解為 tCtCty cossin)(21當(dāng)初始條件當(dāng)初始條件 0)0(yy0)0(v

20、y二階齊次線性常微分方程二階齊次線性常微分方程1C2C 0v0y式（式（13133 3）還可寫(xiě)成）還可寫(xiě)成)sin()( tAty（13134 4）式中式中： 22020 vyA001tanvy （13135 5） 不計(jì)阻尼時(shí)，單自由度體系的自由振不計(jì)阻尼時(shí)，單自由度體系的自由振動(dòng)是由初位移和初速度引起的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)是由初位移和初速度引起的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 tytvty cossin)(00方程的解：方程的解： （13133 3）三三. .結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 )2()2(sin)2sin()sin()( tytAtAtAty由式（由式（13134 4）y(t)y(t)是

21、周期函數(shù)是周期函數(shù) 2TT 2自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）自振頻率（自振頻率（固有固有頻率）頻率） 1. 1. 結(jié)構(gòu)自振周期結(jié)構(gòu)自振周期 和自振頻率和自振頻率 的各種等的各種等 價(jià)計(jì)算公式價(jià)計(jì)算公式 ggWmkmTst 2222stgWgmmk 1 理解這些公式各符號(hào)的含義，由其中理解這些公式各符號(hào)的含義，由其中一個(gè)公式便可得到其他公式。一個(gè)公式便可得到其他公式。T 2. 2. 結(jié)構(gòu)自振頻率結(jié)構(gòu)自振頻率（或自振周期（或自振周期T T）的性質(zhì)）的性質(zhì) 自振頻率只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有自振頻率只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外部干擾因素?zé)o關(guān)，它是結(jié)構(gòu)本關(guān)，與外部干擾因素?zé)o關(guān)，它是結(jié)構(gòu)本身固有

22、的特性；改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度身固有的特性；改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度可改變其固有頻率，不管實(shí)際結(jié)構(gòu)如何，可改變其固有頻率，不管實(shí)際結(jié)構(gòu)如何，在同樣的干擾力下，固有頻率相同的結(jié)在同樣的干擾力下，固有頻率相同的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)相同構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)相同 3. 3. 簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性 my(t)AmA2位移位移 )sin()( tAty加速度加速度 )sin()(2 tAty 慣性力慣性力 )sin()()(2 tmAtymtI 位移與慣性力作同頻同步振動(dòng)。位移與慣性力作同頻同步振動(dòng)。 4. 4. 算例算例 例例1 1 求圖示體系的自振頻率和自振周期。求圖示體系的自振頻率和自振周期。 mmEI

23、EIEILL解解1LLM1圖 圖示結(jié)構(gòu)體系雖有兩個(gè)質(zhì)量，但它們圖示結(jié)構(gòu)體系雖有兩個(gè)質(zhì)量，但它們沿同一直線（水平方向）運(yùn)動(dòng)，故仍為沿同一直線（水平方向）運(yùn)動(dòng)，故仍為單自由度體系。如圖（單自由度體系。如圖（b b）示，作）示，作 圖圖 1M柔度系數(shù)柔度系數(shù) EIl323自振頻率自振頻率 334332211mlEIEIlmm 自振周期自振周期 EImlT34223 例例2求圖示體系的自振頻率求圖示體系的自振頻率 EI2mmABCkl/2l/2l/4解解A2ml/22Bk5ml2/4Ckl 設(shè)該體系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角的幅值為設(shè)該體系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角的幅值為 。當(dāng)位移達(dá)到幅值時(shí)，質(zhì)量當(dāng)位移達(dá)到幅值時(shí)，質(zhì)量 2m

24、和和 m 上的上的慣性力也同時(shí)達(dá)到幅值。慣性力也同時(shí)達(dá)到幅值。 在幅值處列出動(dòng)平衡方程：在幅值處列出動(dòng)平衡方程： 0AM 0454522222 lklllmllm 由此求得由此求得 mk3316 例例3圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計(jì)柱質(zhì)量不計(jì), ,求其自振頻率。求其自振頻率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1圖k13EI/h33EI/h3解解 不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作作 圖，求出圖，求出1M36hEIk 自振頻率自振頻率 36mhEImk 作業(yè)作業(yè) 思考題思考題 P.286. 134. 1

25、35習(xí)題習(xí)題 P.294. 133. 134. 136. 137剛度系數(shù)剛度系數(shù)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（不計(jì)阻尼）（不計(jì)阻尼） 13134 4強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng) 單自由度體系在動(dòng)荷載下的振動(dòng)單自由度體系在動(dòng)荷載下的振動(dòng)及相應(yīng)的振動(dòng)模型如圖示及相應(yīng)的振動(dòng)模型如圖示: : 彈性力彈性力ky慣性力慣性力 my 平衡方程平衡方程 ( )( )( )pmy tky tFtFp(t)my(t)EIl不同的動(dòng)荷載作用，體系的動(dòng)力反應(yīng)不同。不同的動(dòng)荷載作用，體系的動(dòng)力反應(yīng)不同。常見(jiàn)的幾種動(dòng)荷載作用下體系的動(dòng)力反應(yīng)：常見(jiàn)的幾種動(dòng)荷載作用下體系的

26、動(dòng)力反應(yīng)： 或或 2( )( )( )PFty ty tm（136） 式中式中 結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 式（式（136)為單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)方程為單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)方程 y(t)ymFP(t)kymyFP(t)mk一一. 簡(jiǎn)諧荷載簡(jiǎn)諧荷載 ( )sinPFtFt荷載幅值荷載幅值 F荷載的圓頻率荷載的圓頻率 1. 運(yùn)動(dòng)方程及其解運(yùn)動(dòng)方程及其解 2( )( )sinFy ty ttm二階線性非齊次常微分方程二階線性非齊次常微分方程 通解：通解： ( )( )*( )y ty tyt 齊次解：齊次解： 12( )cossiny tCtCt設(shè)特解：設(shè)特解： *( )sinytAt運(yùn)動(dòng)方程的通

27、解為：運(yùn)動(dòng)方程的通解為： 1222( )cossinsin()Fy tCtCttm由初始條件確定由初始條件確定 后，運(yùn)動(dòng)方程的解后，運(yùn)動(dòng)方程的解 12,CC特解為特解為*22( )sin()Fyttm代入方程，求得代入方程，求得22()FAm002222cossinsinsiny(t)yttFFttm() m()（137）式（式（13-7）中前兩項(xiàng)為初始條件引起的）中前兩項(xiàng)為初始條件引起的自由振動(dòng)自由振動(dòng);第三項(xiàng)為荷載（干擾力）引第三項(xiàng)為荷載（干擾力）引起的自由振動(dòng)，稱為起的自由振動(dòng)，稱為伴生自由振動(dòng)伴生自由振動(dòng)。實(shí)際上，由于阻尼的存在，自由振動(dòng)實(shí)際上，由于阻尼的存在，自由振動(dòng)部分都很快衰減掉

28、。自由振動(dòng)消失前部分都很快衰減掉。自由振動(dòng)消失前的振動(dòng)階段稱為的振動(dòng)階段稱為過(guò)渡階段過(guò)渡階段。第四項(xiàng)為。第四項(xiàng)為按荷載頻率按荷載頻率 進(jìn)行的振動(dòng)，此階段為進(jìn)行的振動(dòng)，此階段為 22sinFy(t)tm( )振動(dòng)的振動(dòng)的平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段，稱為，稱為純受迫振動(dòng)純受迫振動(dòng)或或穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。 2穩(wěn)態(tài)振動(dòng)分析穩(wěn)態(tài)振動(dòng)分析 （1）穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解）穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解222sin1Ftm ()sinAt令令2stFFyFmk2211Fmyst1msty荷載幅值作為靜荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)荷載幅值作為靜荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的靜位移生的靜位移 最大動(dòng)位移最大動(dòng)位移max221 ( )1sty tymax ( )sty ty令令（

29、138）動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)最大動(dòng)位移（振幅）最大動(dòng)位移（振幅）max ( )sty tAy（139）最大動(dòng)位移最大動(dòng)位移 與靜位移之比與靜位移之比max ( )y t動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù) 是頻率比是頻率比 的函數(shù)的函數(shù) （2）動(dòng)位移的討論）動(dòng)位移的討論它反映了干擾力它反映了干擾力 對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用。對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用。 22113211230共振區(qū)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 10即動(dòng)位移與干即動(dòng)位移與干擾力指向一致；擾力指向一致；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 10即動(dòng)位移與干擾力指向相反。即動(dòng)位移與干擾力指向相反。 （a） 時(shí)，時(shí)， 干擾力產(chǎn)生的動(dòng)力作用不明顯，干擾力產(chǎn)生的動(dòng)力作用不明顯， 因此可當(dāng)作靜荷載處理；因此可當(dāng)作靜荷

30、載處理； 極限情況，即極限情況，即 或或 ， 則則 。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時(shí)間變化，因此不存在荷載不隨時(shí)間變化，因此不存在振動(dòng)問(wèn)題。振動(dòng)問(wèn)題。01 01當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為增函數(shù)。為增函數(shù)。 01（b）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，共振，共振 為避開(kāi)共振，可改變干擾力頻率為避開(kāi)共振，可改變干擾力頻率 或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率 使使 或或 。 1 1.250.75（c）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為減函數(shù)為減函數(shù)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ， ， 體系處于靜止?fàn)顟B(tài)。體系處于靜止?fàn)顟B(tài)。10max0y（3）降低振幅的措施）降低振幅的措施 頻率比，頻率比，2km01應(yīng)使頻率比減小，增加結(jié)應(yīng)使頻

31、率比減小，增加結(jié)構(gòu)的構(gòu)的 自振頻率，增大剛自振頻率，增大剛度，減小質(zhì)量；度，減小質(zhì)量；1應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)構(gòu)的自振頻率，減小剛度，構(gòu)的自振頻率，減小剛度，增大質(zhì)量。增大質(zhì)量。 3. 動(dòng)位移幅值（振幅）和動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算動(dòng)位移幅值（振幅）和動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算 計(jì)算步驟計(jì)算步驟 （1）計(jì)算動(dòng)力系數(shù)；）計(jì)算動(dòng)力系數(shù)；（2）計(jì)算動(dòng)荷載幅值作為）計(jì)算動(dòng)荷載幅值作為 靜荷載作用時(shí)引起的靜荷載作用時(shí)引起的 位移和內(nèi)力；位移和內(nèi)力； （3）將位移和內(nèi)力分別乘）將位移和內(nèi)力分別乘 以動(dòng)力系數(shù)得以動(dòng)力系數(shù)得 動(dòng)位移動(dòng)位移 幅值和動(dòng)內(nèi)力幅值。幅值和動(dòng)內(nèi)力幅值。 Fp(t)my(t)EIl例：

32、求簡(jiǎn)支梁跨中最大位移和最大彎矩例：求簡(jiǎn)支梁跨中最大位移和最大彎矩. 已知已知4lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn FsintG1/21/2111解解 (1) 計(jì)算動(dòng)力系數(shù)計(jì)算動(dòng)力系數(shù)梁的自振頻率：梁的自振頻率： 388.488 1048lmNEI14 .571smmk荷載頻率荷載頻率 1252.360ns動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù) 2215.881 (2) 動(dòng)荷載幅值作為靜荷載動(dòng)荷載幅值作為靜荷載 作用時(shí)的位移和內(nèi)力作用時(shí)的位移和內(nèi)力 48.488 10styFm104stFlMkNmM 圖 1l/4Fyst(3) 振幅和動(dòng)彎矩幅值振幅和動(dòng)彎矩幅值 振幅 34.

33、99 10stAym 動(dòng)彎矩幅值動(dòng)彎矩幅值 58.84dstFlMMkN m(4) 最大位移和最大彎矩最大位移和最大彎矩 簡(jiǎn)支梁的最大位移和最大彎矩均在梁跨中點(diǎn)簡(jiǎn)支梁的最大位移和最大彎矩均在梁跨中點(diǎn) 跨中重量跨中重量G產(chǎn)生的靜位移產(chǎn)生的靜位移 32.9710GyGm跨中的最大位移跨中的最大位移 1354GMGlkN m跨中重量跨中重量G產(chǎn)生的靜彎矩產(chǎn)生的靜彎矩 3max7.9610GyyAm跨中的最大彎矩跨中的最大彎矩 max93.8GdMMMkN m4. 動(dòng)荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)的動(dòng)計(jì)算動(dòng)荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)的動(dòng)計(jì)算 振動(dòng)方程振動(dòng)方程 1112( )( )siny tmy tFt 121111

34、1( )( )sinmy ty tFt 令令*1211FF (a) (b) y(t)Fsintml/4l/4l/2Fsinty(t)-my(t)則則*111( )( )sinmy ty tFt穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 *222( )sin(1)Fy ttm111112Fyst (c) (d) (e) （1）、振幅）、振幅 *max222*11212111211 ( )(1)stFAy tmFFmFFy 結(jié)論結(jié)論:仍是位移的動(dòng)力系數(shù)仍是位移的動(dòng)力系數(shù).思考思考:是否內(nèi)力的動(dòng)力系數(shù)？是否內(nèi)力的動(dòng)力系數(shù)？ （2）、動(dòng)內(nèi)力幅值）、動(dòng)內(nèi)力幅值 ( )sinpFtFt、( )siny tAt2( )siny tAt

35、2( )( )sinI tmy tmAt ( )y t( )I t三者三者同時(shí)達(dá)到幅值。同時(shí)達(dá)到幅值。( )pFt、作同頻同步運(yùn)動(dòng)，作同頻同步運(yùn)動(dòng)， 根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅，算出慣性力。根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾力幅值同時(shí)然后，將慣性力幅值和干擾力幅值同時(shí)作用在體系上，按靜力學(xué)計(jì)算方法便可作用在體系上，按靜力學(xué)計(jì)算方法便可求得動(dòng)內(nèi)力幅值。求得動(dòng)內(nèi)力幅值。例：求圖示簡(jiǎn)支梁的振幅，作動(dòng)彎矩幅值圖例：求圖示簡(jiǎn)支梁的振幅，作動(dòng)彎矩幅值圖. 已知已知 ：0.5解解 (a) (b) (1) 計(jì)算動(dòng)力系數(shù)計(jì)算動(dòng)力系數(shù) 221431(2) 簡(jiǎn)支梁的振幅簡(jiǎn)支梁的振幅 31211768l

36、EImax312( )11576stAy tyFlFEI(c)y(t)Fsintml/4l/4l/2Fm2AAFyst (d) (e) (3) 作動(dòng)彎矩的幅值圖作動(dòng)彎矩的幅值圖慣性力幅值慣性力幅值21148ImAF動(dòng)彎矩幅值圖動(dòng)彎矩幅值圖(f) 將動(dòng)荷載幅值將動(dòng)荷載幅值 F 和和慣性力慣性力 幅值幅值 I 作用在梁作用在梁上，按靜力學(xué)方法作出上，按靜力學(xué)方法作出彎矩圖彎矩圖-動(dòng)彎矩幅值圖。動(dòng)彎矩幅值圖。 作業(yè)：作業(yè)： 295頁(yè)頁(yè)13-8, 296 頁(yè)頁(yè)13-10, 297頁(yè)頁(yè)13-1613l/1612F4811FFl38483Fl192351l/411 結(jié)結(jié) 論論 對(duì)于單自由度體系，當(dāng)干擾力作

37、用在對(duì)于單自由度體系，當(dāng)干擾力作用在質(zhì)量上時(shí)，位移的動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力的動(dòng)力質(zhì)量上時(shí)，位移的動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力的動(dòng)力系數(shù)是相同的；當(dāng)干擾力不作用在質(zhì)量上系數(shù)是相同的；當(dāng)干擾力不作用在質(zhì)量上時(shí)，位移和內(nèi)力各自的動(dòng)力系數(shù)通常是不時(shí)，位移和內(nèi)力各自的動(dòng)力系數(shù)通常是不同的。對(duì)于位移和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)相同的情同的。對(duì)于位移和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)相同的情況，求結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，可將干擾況，求結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，可將干擾力幅值當(dāng)作靜荷載作用計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移和力幅值當(dāng)作靜荷載作用計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力，然后再乘以動(dòng)力系數(shù)，便可得到穩(wěn)態(tài)內(nèi)力，然后再乘以動(dòng)力系數(shù)，便可得到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)內(nèi)力。對(duì)振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)

38、位移和最大動(dòng)內(nèi)力。對(duì)于位移和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)不同的情況，則要從于位移和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)不同的情況，則要從體系的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，先求出穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的位體系的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，先求出穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的位移幅值，再算出慣性力。最后，按靜力計(jì)算移幅值，再算出慣性力。最后，按靜力計(jì)算方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力幅值共方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力幅值共同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力。同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力。二二. 一般動(dòng)荷載一般動(dòng)荷載 體系在一般動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)，體系在一般動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)，可看成是連續(xù)作用的一系列沖量對(duì)體系產(chǎn)可看成是連續(xù)作用的一系列沖量對(duì)體系產(chǎn)生的動(dòng)力反應(yīng)之和。生的動(dòng)力反應(yīng)

39、之和。Fp(t )Fp(t )0ttFp(t)my(t)EIl1. 瞬時(shí)沖量下體系的動(dòng)力反應(yīng)瞬時(shí)沖量下體系的動(dòng)力反應(yīng) 0tFp沖量S=FptttFp(t)（1）t=0 時(shí)瞬時(shí)沖量作用時(shí)瞬時(shí)沖量作用 設(shè)體系設(shè)體系 0t 時(shí)靜止時(shí)靜止, 瞬時(shí)沖量瞬時(shí)沖量 pSFt體系產(chǎn)生的初速度體系產(chǎn)生的初速度 0PFtSmm初位移初位移 00y 體系的動(dòng)力反應(yīng)體系的動(dòng)力反應(yīng) 00( )cossinsinPFty tytttm（13-10） （2）.時(shí)瞬時(shí)沖量作用時(shí)瞬時(shí)沖量作用 t位移位移 pF d(t)sin(t- )ym任一時(shí)刻任一時(shí)刻 ()tt0dS=Fpdtt-tFpFp(t )的的pF ( )ddysi

40、n (t- )mFp(t )dS=Fp()dFp(t )0dtt2. 一般動(dòng)荷載下體系的動(dòng)力反應(yīng)一般動(dòng)荷載下體系的動(dòng)力反應(yīng)微分沖量微分沖量pdSF ( )d微分沖量下體系的動(dòng)力反應(yīng)微分沖量下體系的動(dòng)力反應(yīng)一般動(dòng)荷載下體系的動(dòng)力反應(yīng)一般動(dòng)荷載下體系的動(dòng)力反應(yīng)01( )( )sin ()tpy tFtdm（13 11)Duhamel積分積分 ,若若0t 時(shí)時(shí),00v00y 則則 體系的動(dòng)力反應(yīng)體系的動(dòng)力反應(yīng)000( )cossin1( )sin()tpvy tyttFtdm（1312）例例 求突加荷載作用下質(zhì)量求突加荷載作用下質(zhì)量 m m 的位移。的位移。 初始條件為零，不計(jì)阻尼。初始條件為零，不

41、計(jì)阻尼。 0t 0t 0,( ),ppF tFtFp(t )FpFp(t)my(t)EIl解解 將將 ()pF t代入式代入式 （1311），得），得 01( )( )sin()tpy tFtdm20sin ()tpFtdm2(1cos)pFtm(1 cos)styt（1313）動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù) max( )2sty ty作業(yè)：作業(yè)： 296頁(yè)頁(yè)1312，297頁(yè)頁(yè)13130234tyst13135 5阻尼阻尼：體系在振動(dòng)過(guò)程中使其能量耗散的：體系在振動(dòng)過(guò)程中使其能量耗散的 各種因素的統(tǒng)稱。各種因素的統(tǒng)稱。 產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)變形中材料的內(nèi)摩產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)變形中材料的內(nèi)摩擦，支撐及結(jié)點(diǎn)

42、等構(gòu)件聯(lián)結(jié)處摩擦及周圍擦，支撐及結(jié)點(diǎn)等構(gòu)件聯(lián)結(jié)處摩擦及周圍介質(zhì)阻力等。介質(zhì)阻力等。 阻尼力阻尼力：在振動(dòng)分析中用于替代阻尼作用：在振動(dòng)分析中用于替代阻尼作用的阻礙振動(dòng)的力。的阻礙振動(dòng)的力。 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 y(t)ycmFP(t)ky(t)cy(t)my(t)k(a)(b)采用阻尼模型：粘滯阻尼力采用阻尼模型：粘滯阻尼力假定阻假定阻尼力的大小與體系振動(dòng)時(shí)的速度成正比，尼力的大小與體系振動(dòng)時(shí)的速度成正比，與速度方向相反，用與速度方向相反，用 表示。表示。 阻尼常數(shù)。阻尼常數(shù)。 )(tycc具有阻尼的單自由度體系的振動(dòng)模型如圖具有阻尼的單自由度體系的振動(dòng)模型如圖（a）示。）示。

43、彈性力彈性力 )(tky阻尼力阻尼力 )(tyc慣性力慣性力 )(tym 質(zhì)量質(zhì)量 m 的動(dòng)平衡方程為的動(dòng)平衡方程為： )()()()(tFtkytyctymP （131414） 一一. .有阻尼的自由振動(dòng)有阻尼的自由振動(dòng) 自由振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程 0)()()(tkytyctym （131515） 令令 阻尼比阻尼比 mc2 則則 0)()(2)(2tytyty （1316） 設(shè)設(shè) 解為解為 tAety )(特征方程特征方程 0222 21i（131717） 特征根特征根1. 1. 三種運(yùn)動(dòng)形態(tài)三種運(yùn)動(dòng)形態(tài) (1). (小阻尼情況小阻尼情況) 1 21 r 有阻尼頻率有阻尼頻率 （13191

44、9） 方程（方程（131616）的解）的解 )sincos()(21tCtCetyrrt （132020） 由初始條件由初始條件 0)0(yy 0)0(v y 式中 ryvC002或方程的解寫(xiě)為或方程的解寫(xiě)為 )sin()( tAetyrt（1320） 01yC 振幅振幅 220020)(ryvyA 0001tanyvyr 小阻尼情況下的自由振動(dòng)是按指數(shù)規(guī)律衰小阻尼情況下的自由振動(dòng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。減的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 相位角相位角（1322）（1321）方程（方程（1316）解）解 tetCCty )()(21 不振動(dòng)不振動(dòng) （3） （超阻尼情況）（超阻尼情況） 1 不振動(dòng)不振動(dòng) （2）

45、 （臨界阻尼情況）（臨界阻尼情況） 1 mCr2 臨界阻尼常數(shù)臨界阻尼常數(shù) （1323）（1324）2.2.小阻尼時(shí)自由振動(dòng)分析小阻尼時(shí)自由振動(dòng)分析 振動(dòng)方程振動(dòng)方程 )sin()( tAetyrt頻率頻率 21 r周期周期 rrT 2 (1)(1)小阻尼的自由振動(dòng)是一個(gè)衰減振動(dòng)；小阻尼的自由振動(dòng)是一個(gè)衰減振動(dòng)； ytyKyK+1Ae-ttKtK+1Tr(2)(2)在在 時(shí)，阻尼對(duì)自振頻率的影響時(shí)，阻尼對(duì)自振頻率的影響可忽略；可忽略； 2 . 0 rTTr 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)：鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)： 05. 0 鋼結(jié)構(gòu)：鋼結(jié)構(gòu)： 02. 0 左右左右 (3)(3)阻尼比的確定阻尼比的確定 rrkkTTt

46、tkkeAeAeyy )(1 22ln1 rrkkTyy振幅對(duì)數(shù)衰減率振幅對(duì)數(shù)衰減率1ln21 kkyy 還可表示為還可表示為 1ln21 kkyyn （1325）阻尼比阻尼比（1326）（1327）利用上式，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可確定體系的阻尼比。利用上式，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可確定體系的阻尼比。 例：例： 對(duì)圖示剛架作自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)。設(shè)剛架對(duì)圖示剛架作自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)。設(shè)剛架的質(zhì)量的質(zhì)量 m m 均集中在橫梁處，橫梁均集中在橫梁處，橫梁 。在剛架橫梁處加一水平力在剛架橫梁處加一水平力 ，測(cè)，測(cè)得側(cè)移得側(cè)移 。然后突然卸載，剛架。然后突然卸載，剛架產(chǎn)生自由振動(dòng)，測(cè)得周期產(chǎn)生自由振動(dòng)，測(cè)得周期 ，及一，及一個(gè)周期后剛架的側(cè)

47、移為個(gè)周期后剛架的側(cè)移為 。求剛架。求剛架的阻尼比的阻尼比 和阻尼系數(shù)和阻尼系數(shù) 。 EIKNFP8 . 9 cmy5 . 00 sTr5 . 1 cmy4 . 01 C解解阻尼比阻尼比 01110.5lnln0.0355220.4yy1224.189sTTr402196 10/111695pFkN mykmkg阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) msNmC332202二有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)二有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng) 式（式（13131414）有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程中，）有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程中， 不同，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)不同。不同，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)不同。 ( )pF t1. 1. 簡(jiǎn)諧荷載簡(jiǎn)諧荷載 ( )sinpF tFt運(yùn)動(dòng)方程及其

48、解運(yùn)動(dòng)方程及其解 .( )( )( )sinm y tc y tk y tFt.2( )2( )( )sinFy ty ty ttm或或（13132828） _( )( )( )y ty tyt通解通解齊次解齊次解_12( )(cossin)trry tectct（1 1）（13132929） 22222222222222( )sincos()42()4ytAtBtFAmFBm 設(shè)設(shè) 特解特解運(yùn)動(dòng)方程的全解：運(yùn)動(dòng)方程的全解：12( )(cossin)sincostrry tectctAtBt式中式中 由初始條件確定。由于阻尼的由初始條件確定。由于阻尼的作用，含有作用，含有 的第一部分的振動(dòng)將逐

49、漸的第一部分的振動(dòng)將逐漸12,c cte（13133030）（13133131）（13133232）（13133333）(2)(2)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)分析穩(wěn)態(tài)振動(dòng)分析穩(wěn)態(tài)振動(dòng)方程可寫(xiě)為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)方程可寫(xiě)為( )sin()py tyt振幅振幅222222222222211(1)4(1)4pstFyym（13133535） 1222 ()tan1衰減消失；與動(dòng)荷載頻率衰減消失；與動(dòng)荷載頻率 相同的第二部分相同的第二部分振動(dòng)不衰減，稱為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)（純受迫振動(dòng)）。振動(dòng)不衰減，稱為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)（純受迫振動(dòng)）。 （13133434）相位角相位角當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)2222221(1)4pstyy（13133636

50、） 阻尼對(duì)振幅的影響：阻尼對(duì)振幅的影響： pstyy 隨隨 增大而減小；增大而減小； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 10當(dāng)當(dāng) 時(shí)，共振，時(shí)，共振，(1)11|2，；與頻率比與頻率比 動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)和阻尼和阻尼有關(guān)有關(guān)。阻尼在共振區(qū)阻尼在共振區(qū)內(nèi)影響顯著，內(nèi)影響顯著，不能忽略；在不能忽略；在共振區(qū)外，為共振區(qū)外，為簡(jiǎn)化，偏安全簡(jiǎn)化，偏安全考慮可不計(jì)阻考慮可不計(jì)阻尼的影響。尼的影響。 (0.751.25) 并不發(fā)生在并不發(fā)生在 處。處。max1max2121max12通常情況下，通常情況下，很小，很小， 阻尼體系的位移反應(yīng)比荷載滯后一相位阻尼體系的位移反應(yīng)比荷載滯后一相位 。 ，彈性力主要與動(dòng)荷載平衡，彈性力

51、主要與動(dòng)荷載平衡，0,0位移與荷載同向；位移與荷載同向；，阻尼力主要與動(dòng)荷載平衡，阻尼力主要與動(dòng)荷載平衡，1,90 共振時(shí)阻尼的作用不可忽視；共振時(shí)阻尼的作用不可忽視；，慣性力主要與動(dòng)荷載平衡，慣性力主要與動(dòng)荷載平衡，,180 位移與動(dòng)荷載反位移與動(dòng)荷載反向。向。（13133737）2. 2. 一般動(dòng)荷載一般動(dòng)荷載 ( )pF t運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 .( )( )( )( )pm y tc y tky tF t.2( )( )2( )( )pF ty ty ty tm或或（13133838） 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程的通解時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程的通解 1_( )( )( )y ty tyt齊次解齊次解 _12(

52、 )(cossin)trry tectct特解特解 用用DuhamelDuhamel積分表示積分表示 ()0( )( )sin()tptrrFytetdm()120( )( )( cossin)sin()tpttrrrrFy tectctetdm（13133939） 通解為通解為式中式中 由初始條件由初始條件: :12,c c00(0),(0)yyvv000()0( )(cossin)( )sin()trrrtptrrvyy teyttFetdm總位移為總位移為作業(yè)：思考題作業(yè)：思考題 P288 13-14 P288 13-14 ，13-1513-15 習(xí)題習(xí)題 P297 13-14 13-1

53、5 P297 13-14 13-15 （13134040） 確定確定13-6 13-6 多自由度體系的自由振動(dòng)多自由度體系的自由振動(dòng) 工程中，很多實(shí)際結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為單工程中，很多實(shí)際結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為單自由度體系進(jìn)行計(jì)算，但要進(jìn)行更加精自由度體系進(jìn)行計(jì)算，但要進(jìn)行更加精確地分析，以及對(duì)于絕大多數(shù)實(shí)際結(jié)構(gòu)確地分析，以及對(duì)于絕大多數(shù)實(shí)際結(jié)構(gòu)必須作為多自由度體系進(jìn)行計(jì)算。必須作為多自由度體系進(jìn)行計(jì)算。 多自由度體系自由振動(dòng)分析的目的多自由度體系自由振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性是確定體系的動(dòng)力特性自振頻率和自振頻率和振型。振型。 多自由度體系自由振動(dòng)的求解方法：多自由度體系自由振動(dòng)的求解方法：剛度法，柔

54、度法。剛度法，柔度法。 一一. . 剛度法剛度法1.1. 兩個(gè)自由度體系兩個(gè)自由度體系（1 1）自由振動(dòng)微分方程）自由振動(dòng)微分方程慣性力慣性力 ，11111222211222,rk yk yrk yk y （13-4113-41） 彈性力彈性力（2 2）頻率方程和自振頻率）頻率方程和自振頻率 設(shè)方程的特解：設(shè)方程的特解： 1122( )sin()( )sin()y tYty tYt即兩質(zhì)量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)即兩質(zhì)量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)代入方程（代入方程（13-4113-41），得位移幅值方程），得位移幅值方程 兩質(zhì)量的動(dòng)平衡方程兩質(zhì)量的動(dòng)平衡方程11ym 22ym 002221212221211111ykyky

55、mykykym 21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y （13-4213-42） 頻率方程頻率方程 211112221222()0()kmkDkkm解頻率方程得解頻率方程得 兩個(gè)根：兩個(gè)根： ，規(guī)定，規(guī)定212, 1212第一頻率或基本頻率，第一頻率或基本頻率， 第二頻率第二頻率 （13-4313-43） （3 3）主振型）主振型 將將 代入式（代入式（13-4213-42），得），得 1211122211111 YkYkm質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 的振動(dòng)方程為的振動(dòng)方程為 12,m m11112211( )sin()( )sin()y tYty tYt （13-4413-

56、44） 體系按體系按 振動(dòng)有如下特點(diǎn)：振動(dòng)有如下特點(diǎn)： 1兩質(zhì)量同頻同步兩質(zhì)量同頻同步任意時(shí)刻，兩質(zhì)量的位移比值，速度比任意時(shí)刻，兩質(zhì)量的位移比值，速度比值保持不變且相等值保持不變且相等 11111112211121( )sin()( )sin()y tYtYy tYtY 這說(shuō)明體系的變形形式不變，此振動(dòng)這說(shuō)明體系的變形形式不變，此振動(dòng)形式稱為形式稱為主振型主振型，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱振型振型。 為與為與 相對(duì)應(yīng)的振型，稱為第一振型相對(duì)應(yīng)的振型，稱為第一振型1121YY1或基本振型?；蚧菊裥汀?2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty定義：定義：體系上所有質(zhì)量按

57、相同頻率作自由體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)形狀稱體系的主振型。振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)形狀稱體系的主振型。 按第一振型自由振動(dòng)的條件按第一振型自由振動(dòng)的條件 111111221212(0)(0),(0)(0)yYyYyYYy振型與頻率一樣是體系本身固有的屬性，振型與頻率一樣是體系本身固有的屬性，與外界因素?zé)o關(guān)。與外界因素?zé)o關(guān)。 同理，將同理，將 代入式（代入式（13-4213-42），得到），得到 1212122221121 YkYkm （13-4513-45） 即第二振型即第二振型 211121)0()0(YYyy圖示兩個(gè)振型圖示兩個(gè)振型 第一主振型第一主振型12第二主振型第二主振型 2

58、2n n個(gè)自由度體系個(gè)自由度體系自由振動(dòng)微分方程組：自由振動(dòng)微分方程組： 其矩陣表達(dá)式：其矩陣表達(dá)式： （13-4713-47） （13-4613-46） 0yKyM 000nnn22n11nnnn2n22211222nn121211111ykykykymykykykymykykykym 22()00KMYKM頻率方程頻率方程 （13-4813-48） 解頻率方程，得解頻率方程，得 的的n n個(gè)根：個(gè)根：且，且， ，從小到大得排列，依，從小到大得排列，依次稱為第一頻率（或基本頻率）、第二頻次稱為第一頻率（或基本頻率）、第二頻率率 。222212,n12 n 將自振頻率代入將自振頻率代入 得出得

59、出 對(duì)應(yīng)的主振型向量對(duì)應(yīng)的主振型向量 。這這 n n 個(gè)主振型線性無(wú)關(guān)。個(gè)主振型線性無(wú)關(guān)。 2( )() 0iiKMYi( ) (1,2, )iYin慣性力慣性力 ， 作用下產(chǎn)生的靜位作用下產(chǎn)生的靜位移。移。二二. .柔度法柔度法1.1. 兩個(gè)自由度體系兩個(gè)自由度體系（1 1）自由振動(dòng)微分方程）自由振動(dòng)微分方程 質(zhì)量質(zhì)量 在任意時(shí)刻的位移在任意時(shí)刻的位移 為此時(shí)為此時(shí)12,m m12( ),( )y ty t11ym 11ym 11ym 11ym 11ym 22ym （13-4913-49） （2 2）頻率方程和頻率）頻率方程和頻率111112222211 1222221()01()0mYm

60、YmYmY （13-5013-50） 方程的特解同剛度法；設(shè)兩質(zhì)量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，方程的特解同剛度法；設(shè)兩質(zhì)量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，代入方程（代入方程（13-4913-49），整理得位移幅值方程），整理得位移幅值方程0 02 2222221112122211111(t)m(t)m(t)y(t)m(t)m(t)yyyyy111122221122221()01()mmDmm （13-5113-51） 頻率方程頻率方程 解頻率方程同樣得到解頻率方程同樣得到 的兩個(gè)根：的兩個(gè)根：12, （3 3）主振型）主振型與剛度法求振型相似，得到用柔度法與剛度法求振型相似，得到用柔度法表示的主振型為：表示的主振型為：第一主振型