附錄24 圓錐曲線的極坐標方程

1、附錄附錄24 24 圓錐曲線的極坐標方程圓錐曲線的極坐標方程 cos1 eepFM(,)x建立如圖所示的極坐標系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標方程 一、一、以焦點以焦點F F為極點，以對稱為極點，以對稱軸軸為極軸的極坐標系：為極軸的極坐標系： 二、二、以直角坐標系的以直角坐標系的x x正半軸為極軸的極坐標系：正半軸為極軸的極坐標系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) cbp2注2：若AB為焦點弦，則;cos12|22eepABepBFAF2|1|1即普通方程與極坐標方程的互化空間坐標直角坐標極坐標直角坐標柱坐標球坐標(,)(x,y)(x,y,z)平面坐標極坐標常見的常見的坐標系坐標系(,z)(r,)極

2、坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；引一條射線OX，再選定一個長度單位和角度單位及它的這樣就建立了一個極坐標系。XO1.1.概念概念 叫做極軸；正方向。對于平面上任意任意一點M極坐標的規(guī)定：用表示線段OM的長度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角M用表示從OX到OM的角度有序數(shù)對(,)就叫做M的極坐標極極坐標系坐標系極極坐標系坐標系的的分類分類Z)(k)2,(k常用極坐標系：狹義極坐標系：廣義極坐標系： 0 ,R 0 ,0，2) ,R注 負極徑的定義：先正后對稱先正后對稱注 極坐標的多值性與單值性：即:在常用極坐標系中，同一個點的極坐標有無數(shù)個 :在狹義極坐標系中，除極點(0,)外，其他

3、點的極坐標是唯一的 Z)(k)2,()2,(kk和:在廣義極坐標系中，同一個點的極坐標有無數(shù)個 即sincos222yxyx極極坐標坐標與直角與直角坐標坐標的互化的互化互化的三個前提條件：互化的三個前提條件：互化方法：互化方法：（2）數(shù)法：（1）形法：xyxytancossin（1）極點與直角坐標系的原點重合（2）極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合（3）兩種坐標系的單位長度相同類似于輔助角公式中，用形法求振幅及輔助角類似于輔助角公式中，用形法求振幅及輔助角圖圖像像x xl特殊直線的極坐標方程特殊直線的極坐標方程方方程程O O0直線 和0)(0R00 x xO O)0 ,(alx xO O),(

4、alO O)2,(alx xO O)23,(alx xacosacosasinasin圖圖像像方方程程特殊圓的極坐標方程特殊圓的極坐標方程O O)23,(rx xO Ox xO Ox xO Ox xO O)2,(rx x)0 ,(rr),(rsin2rcos2rcos2rsin2r求極坐標方程常用的方法求極坐標方程常用的方法 2.方程法：1.公式法：知型巧用公式法 建系設(shè)式求系數(shù)未知型狀方程法 建系設(shè)需列方程 間接法：先求出普通方程，再轉(zhuǎn)成為極坐標方程 直接法：一般地，與正余弦定理有關(guān) 方程法公式法間接法直接法附錄附錄24 24 圓錐曲線的極坐標方程圓錐曲線的極坐標方程 cos1 eepFM(

5、,)x建立如圖所示的極坐標系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標方程 一、一、以焦點以焦點F F為極點，以對稱為極點，以對稱軸軸為極軸的極坐標系：為極軸的極坐標系： 二、二、以直角坐標系的以直角坐標系的x x正半軸為極軸的極坐標系：正半軸為極軸的極坐標系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) cbp2注2：若AB為焦點弦，則;cos12|22eepABepBFAF2|1|1即普通方程與極坐標方程的互化eMAMFeP cosKA)(MBlFx建立如圖所示的極坐標系，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得 其中 l 是準線，PFK 整理得圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為： KBMA cospFBKF而 即 cos1 eep一、一、以焦

6、點以焦點F F為極點，以對稱為極點，以對稱軸軸為極軸的極坐標系：為極軸的極坐標系： cos1 eepFAx建立如圖所示的極坐標系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標方程 一、一、以焦點以焦點F F為極點，以對稱為極點，以對稱軸軸為極軸的極坐標系：為極軸的極坐標系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) cbp2注2：若AB為焦點弦，則;cos12|22eepABepBFAF2|1|1Bcos1 eepFAx建立如圖所示的極坐標系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標方程 注2：若AB為焦點弦，則;cos12|22eepABepBFAF2|1|1B)(1A設(shè) ,)(2B故21|BFAF)cos(1cos1eepeepcos1

7、cos1eepeep| AB22cos12eep|1|1BFAFep22111epeepe)cos(1cos1(1)(1983年全國)如圖,若橢圓的|A1A2|=6,焦距|F1F2|=24過橢圓焦點F1作一直線設(shè)F2F1M=（0）|MN|等于橢圓短軸的長？F1F2A1A2MN法1：直角坐標系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標系參數(shù)方程+設(shè)而不求 交橢圓于兩點M，N當取什么值時，法3：極坐標方程練習1.圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程 42p則橢圓的極坐標方程為cos2231322e故023cos法3：極坐標方程由題意得,離心率為 ,建立如圖所示的極坐標系XF1F2MN得 又因 2121|NFMFMNc

8、os2231cos22312cos8962656或.故焦點到準線距離(2)(2014年新課標)設(shè)F為拋物線2: y =3xC3037 3A. B.6 C.12 D.的焦點，過F且傾斜角為300的直線交于C于A，B兩點，則|AB|=法1：直角坐標系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標方程若AB為焦點弦，則;cos12|22eepABFAxB23p由題意得離心率 e=1 , 焦參數(shù)030, 0230cos13|AB=12323AFFB 23的離心率為過右焦點F且斜率為 k 的直線與C相交于A，B兩點，則k=A.1 B. C. D.2(3)(2010年全國)已知橢圓C

9、：12222byax若因3AFFB F1F2AB法1：直角坐標系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標方程析：由對稱性，不妨：將右焦點看成是左焦點 FBAF3故cos3233cos323pp33cos2tan(4)(2007年重慶)過雙曲線422 yx為1050的直線，交雙曲線于PQ兩點，則|FP|FQ|=_的右焦點F作傾斜角法1：直角坐標系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標方程FPxQ1050cos212由題意得,離心率為 ,建立如圖所示的極坐標系，則雙曲線的極坐標方程為焦參數(shù)為2e故00105cos212105cos212|

10、FQFP02105cos2140210cos43382p2213627xy0122331120P FPP FPP FP213111FPFPFP(5)(2007年重慶簡化)如圖橢圓C：P1，P2，P3是橢圓上任取的三個不同點且證明：為定值的左焦點為FxFyP1P2P30122331120PFPPFPPFP證明:易得cos29由題意得,離心率為 ,建立的極坐標系,則C的極坐標方程為焦參數(shù)為21e9p設(shè) )240,(),120,(),(03302211PPP9)240cos(29)120cos(29cos200故 213111FPFPFP32(6)(2012年上海簡化)在平面直角坐標系xoy中，已知

11、若M、N分別是 C1,C2上的動點,且OMON求證：O到直線MN的距離是定值.雙曲線 ，橢圓12:221 yxC14:222 yxC析：析： 設(shè))90,(),(021NM|MNONOM 22221122222211在RtMNO中由用面積法得：O到直線MN的距離為222111=常數(shù)二、二、以直角坐標系的以直角坐標系的x x正半軸為極軸的極坐標系：正半軸為極軸的極坐標系： 即普通方程與極坐標方程的互化即普通方程與極坐標方程的互化練習練習2.2.以直角坐標系的以直角坐標系的x x正半軸為極軸的極坐標系：正半軸為極軸的極坐標系： MNO(6)OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.雙曲線 ，橢圓12

12、:221 yxC14:222 yxC設(shè))90,(),(021NM即 1)90(sin)90(cos402202222|MNONOM 22221122sin3211222sin311,故O到直線MN的距離為222111易得C1、C2的極坐標方程分別為：1sincos222221sincos42222；,將其代入C1、C2的極坐標方程得1sincos422221131122213整理得MNO證明：證明：(7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓的中心為O,長軸、短軸的長分別為2a,2b；A,B分別為橢圓上的兩點，且OAOB2211OAOB求證： 為定值求AOB面積的最大和最小值.析 ：由于點的極坐標直

13、接表示了：距離和角度 故涉及到長度和角度的問題 采用極坐標系往往更簡便析 ：建立如圖所示的直角坐標系，則橢圓的普通方程為BA012222byax將其化為極坐標方程得 22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222

14、222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。(7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓OAOB2211OAOB求證： 為定值析 ：建立如圖所示的直角坐標系BA012222byax將其化為極坐標方程得 22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,),(,),2cossinco

15、ssin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。則橢圓的普通方程為22222222222112122222212222222221111222212

16、222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,),(,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B

17、是定值。2211OAOB故22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )(sin )1cossin,A(,),(,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。22122122122122cossinsincosbaabab2222baba 雙曲線中有定值2222baba (7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓OAOBBA0故當且僅當求AOB面積的最值.析：依題意得AOB122222222

18、222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依題意得當且僅當，即或時，有最小值；當時，即或 時，有最大值A(chǔ)OB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依題意得當且僅當，即或時，有最小值；當時，即或 時，有最大值A(chǔ)OB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依題意得當且僅當，即或時，有最小值；當時，即或 時，有最大值A(chǔ)OB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba