破解橢圓中最值問題的常見策略分析報告

1、 破解橢圓中最值問題的常見策略浬浦中學(xué) 蔡明有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時的高考復(fù)習(xí)需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強(qiáng)、涉與知識面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學(xué)中的一個難點(diǎn)。要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以與利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決。本文通過具體例子，對橢圓中的常見最值問題進(jìn)行分類破解。第一類：求離心率的最值問題破解策略之一：建立的不等式或方程例1：若為橢圓的長軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓離心率的最小值。

2、分析：建立之間的關(guān)系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件又不是與焦點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中的取值進(jìn)行求解離心率的最值。解：不妨設(shè)，則，利用到角公式與得：（），又點(diǎn)在橢圓上，故，消去，化簡得又即則，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的高次不等式 解得。故橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由，故）（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立之間的關(guān)系。常用橢圓上的點(diǎn)表示成，并利用橢圓中的取值來求解圍問題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求圍例2：已知橢圓C：兩個焦點(diǎn)為，如果曲線C上存

3、在一點(diǎn)Q，使，求橢圓離心率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會有不錯的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理與合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小值為。點(diǎn)評：對于此法求最值問題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二類：求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線）的最值問題破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）例3：（05年）點(diǎn)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢

4、圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值。分析：解決兩點(diǎn)距離的最值問題是給它們建立一種函數(shù)關(guān)系，因此本題兩點(diǎn)距離可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。解：（1）略（2）直線AP的方程是+6=0。設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是。于是=,又66,解得=2。 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離,由于66, 當(dāng)=時,d取得最小值點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何將點(diǎn)點(diǎn)之間的最值問題轉(zhuǎn)化成我們常見函數(shù)二次函數(shù)的最值問題求解。破解策略之四：利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化例4：定長為的線段AB的兩個端點(diǎn)分別在橢圓上移動，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖作于A，BB于B，MM于M，則當(dāng)且僅當(dāng)AB過

5、焦點(diǎn)F時等號成立。故M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為。OF2F1A2A1PM點(diǎn)評：是橢圓的通徑長，是橢圓焦點(diǎn)弦長的最小值，是AB過焦點(diǎn)的充要條件。通過定義轉(zhuǎn)化避免各種煩瑣的運(yùn)算過程。第三類：求角的最值問題例5：（05年）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21。()求橢圓的方程；()若直線l1：xm(|m|1)，P為l1上的動點(diǎn)，使F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo) (并用m表示) 。分析：本題考查解析幾何中角的最值問題常采用到角 （夾角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，結(jié)合 本題的實際，考慮用夾角公式較

6、為妥當(dāng)。解：（）（過程略）（II）設(shè)P(當(dāng)時，當(dāng)時, 只需求的最大值即可。直線的斜率，直線的斜率利用夾角公式得：當(dāng)且僅當(dāng)=時，最大，最大值為。點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何將角的最值問題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的相關(guān)知識最值問題，一般可用到角（夾角）公式、余弦定理、向量夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求分式函數(shù)的值域問題。第四類：求（三角形、四邊形等）面積的最值問題例6：（05年全國II）、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值分析：本題是向量與解析幾何的結(jié)合，主要是如何選擇一個適當(dāng)?shù)拿娣e計算公式達(dá)到簡化運(yùn)算過程，并結(jié)合分類討論與求最值的思想。解：如圖，由條件知M

7、N和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為，又PQ過點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則 QPNMFO從而亦即(1)當(dāng)0時，MN的斜率為，同上可得：故所求四邊形的面積令=得=2 當(dāng)=1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)。當(dāng)=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2綜合知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是選擇一個適當(dāng)或合理的面積公式轉(zhuǎn)化成常見函數(shù)反比例函數(shù)形式的最值問題。第五類：求線

8、段之和（或積）的最值問題破解策略之五：利用垂線段小于等于折線段之和。例7：若橢圓有一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)使得的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ ） ABCD提示：聯(lián)系到將用第一定義轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離問題，利用垂線段最短的思想容易得到正確答案。選。思考：將題中的2去掉會怎樣呢？破解策略之六：利用三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊例8：如圖，在直線上任意取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)作橢圓，問當(dāng)在何處時，所作橢圓的長軸最短，并求出最短長軸為多少？PMyOlF1F2xN分析：要使所作橢圓的長軸最短，當(dāng)然想到橢圓的定義?；镜慕忸}思路如下：長軸最短三點(diǎn)一直線尋求對稱對稱變換。在一系列的

9、變化過程中巧妙的運(yùn)用對稱，使我們找到一種簡明的解題方法。通過此對稱性主要利用解：橢圓的兩焦點(diǎn)分別為（3，0）、（3,0），作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則直線的方程為由方程組得的坐標(biāo)（6，3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)（9,6）,所以直線的方程。解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)（5,4）。由于，點(diǎn)評：對于此類最值問題是將所求的最值轉(zhuǎn)化成三角形兩邊之和大于第三邊或兩點(diǎn)連線最短、垂線段最短的思想。除了上述幾類之外，高考中還有數(shù)量積的最值問題、直線斜率（或截距）的最值問題等等，由此可見對于橢圓中的最值問題所涉與圍較廣，從中也滲透了求最值的一些常規(guī)方法，運(yùn)用定義、平面幾何知識可更有效地將最值問題轉(zhuǎn)化成形的最值問題。1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多