四升五年級奧數(shù)

1、第 1 講 速 算 與 巧 算 （一）計算是數(shù)學的基礎，小學生要學好數(shù)學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分 析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準 數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。例1四年級一班第一小組有10名同學，某次數(shù)學測驗的成績（分數(shù)）如下：86, 78, 77, 83, 91, 74, 92, 69, 84, 75。求這10名同學的總分。分析與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁

2、且易錯。觀察 這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準”，比 如以“80”作基準，這10個數(shù)與80的差如下：6, -2, -3, 3, 11, -6, 12, -11 , 4,-5,其中“-”號表示這個數(shù)比80小。于是得到總和=80X 10+ （6-2-3 +3+11-= 800+9=809。I I 3 I '實際計算時只需口算，將這些數(shù)與 80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9,再加上80X 10,就可口算出結(jié)果為809。例1所用的方法叫做加法的 基準數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的

3、 情況。作為“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基準數(shù)，各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做 累計差。由例1 得到：總和數(shù)=基準數(shù)X加數(shù)的個數(shù)+ 累計差,平均數(shù)=基準數(shù)+ 累計差+加數(shù)的個數(shù)。在使用基準數(shù)法時，應選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考 慮到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數(shù)應盡量選取整十、整百的數(shù)。例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（單位：千克）：462, 480, 443, 420, 473, 429, 468, 439, 475, 461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準數(shù)為450,則累計差=12+ 30- 7- 30+ 23- 21 + 18

4、-11 + 25+ 11=50,平均每塊產(chǎn)量=450+ 50+10= 455 （千克）。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為 455千克。7X7 = 49 (七七四十九)求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學們熟知，如對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學只是背熟了 1020的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有沒 有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學們介紹一種方法一一湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十數(shù)的差， 通過移多補少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十數(shù)乘以 另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3求292和822的值。例4求9932和20042的值。下面

5、，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請看下面的算式：F' I66X46=73X 88=19X 44=這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一 因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例 588X64=例 677X91 =解：由例3的解法得到 *" U i / j /由上式看出，當兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應在十位上補一個0,本例為7X1=07。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。|1練習11.求下面10個數(shù)的總和: I I ,</ .165, 152, 168, 171,

6、148, 156, 169, 161, 157, 149。2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為(單位：厘米)：26, 25, 25, 23, 27, 28, 26, 24, 29, 27, 27, 25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數(shù)分別為：68, 91, 84, 75, 78, 81, 83, 72, 79。他們共加工了多少個零件？4.計算：13+16+10+11+ 17+ 12+ 15+12+16+ 13+ 12。5.計算下列各題：(1) 372; (2) 532; (3) 912;(4) 682 (5) 1082; (6)

7、 39720精心整理6.計算下列各題：(1) 77X28= (2) 66X55=(3) 33X 19= (4) 82X44=(5) 37X33= (6) 46X99=第2講速算與巧算(二)上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補”與“補同”速算法。兩個數(shù)之和等于10,則稱這兩個數(shù) 互補。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像 72X78, 26X86等 被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。72X78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補”型；26X86 I， jT *II 的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、

8、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同”型。計算 這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補”速算法和“補同”速算法。例 1 (1) 76 X 74=? (2) 31X39=?由例1看出，在“頭相同、尾互補”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積(不夠兩位時前面補0,如1X9 = 09),積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)(或乘數(shù))的十位數(shù) 與十位數(shù)加1的乘積?！巴a”速算法簡單地說就是:J積的末兩位是“尾X尾”，前面是“頭X (頭 +1) ”。我們在三年級時學到的15X 15, 25X25,，95X95的速算，實際上就是“同補”速算法。 I1例 2 (1) 78X38

9、=? (2) 43X63= ?(2)與(1)類似可得到下面的速算式：I I!由例2看出，在“頭互補、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積. . I(不夠兩位時前面補0,如3X3=09),積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)(或乘數(shù))的個位數(shù)。“補同”速算法簡單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾x尾”，前面是“頭x頭 +尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補”或“補同”形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。 當兩個數(shù)的和是10, 100, 1000,時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱 互補。如43與57互補，

10、99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同， 后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補”型，即“頭相同，尾互補”型。例如 二X"過，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同， 都是70,后兩位數(shù)互補，77+23=100,所以是“同補”型。又如 工典X之星，在里乂蘭多， 精心整理等都是“同補”型。當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補， 后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭 互補，尾相同”型。例如，蟲色乂紅色，586 1JX586題等都是“補同”型。在計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，例 1的方法仍然適用。例 3 (1) 702X708=? (2) 1

11、708X1792=?解：(1) (2)計算多位數(shù)的“同補”型乘法時，將“頭X (頭 +1) ”作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積 作為乘積的后幾位。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應占乘積的后2n位，不足的位補“ 0”。在計算多位數(shù)的“補同”型乘法時，如果“補”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那 么例2的方法仍然適用(見例4);如果“補”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用， 因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例 42865X 7265= ?解：.i| I'?練習2計算下列各題：68X62=93X 97=27X 87=79X 39=42 義 62=603X 607=6

12、93X 607=4085X 6085=第3講高斯求和德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：1"X |1 + 2+3+4+ 99+100=?;廠老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于50500高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1+ 100= 2 + 99= 3+ 98= = 49+52 = 50+ 51。1100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為(1+100) X 100+ 2 = 5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列

13、”的求 和問題。若干個數(shù)排成一列稱為 數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為 首項，最后一項稱 為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為 等差數(shù)列，后項與前項之差稱為 公差。例如：(1) 1, 2, 3, 4, 5,，100;(2) 1, 3, 5, 7, 9,，99; (3) 8, 15, 22, 29, 36,，71。其中(1)是首項為1,末項為100,公差為1的等差數(shù)列；(2)是首項為1,末項為99,公差為2的等差數(shù)列；(3)是首項為8,末項為71,公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到 等差數(shù)列的求和公式：和二(首項+末項)X項數(shù)+ 2。例 11 + 2+3+-+ 1999=

14、注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。F' I例 211 + 12+ 13+-+ 31 =在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、 末項、公差的關系，可以得到項數(shù)=(末項-首項)+公差+1,末項"首項+公差X (項數(shù)-1)。例 33+7+11+ - + 99=例4求首項是25,公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。例5在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是 12平方厘米，邊長是1根火柴棍。問：(1)最大 三角形的面積是多少平方厘米？ ( 2)整個圖形由多少根火柴棍擺成？例6盒子里放有三只乒乓球，一位

15、魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子1 I*1 V，里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？?練習31 .計算下列各題：(1) 2 + 4 + 6+ - + 200 (2) 17+19+21+ - + 39(3) 5+8+11 + 14+- + 50 (4) 3+ 10+17 + 24+- + 1012 .求首項是5,末項是93,公差是4的等差數(shù)列的和。3 .求首項是13,公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4 .時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點

16、鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？5 .求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6 .在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？第四講整除我們在三年級已經(jīng)學習了能被2, 3, 5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能 被4 8, 9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被內(nèi)數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48 一定能被8整除。性質(zhì)2如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21+15及21-15都能被3整除。性質(zhì)3如果一個數(shù)

17、能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的 乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9X7= 63整除。利用上面關于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數(shù)的整除性， 我們把學過的和將要學習的一些整除的數(shù)字特征列出來：(1) 一個數(shù)的個位數(shù)字如果是 0, 2, 4, 6, 8中的一個，那么這個數(shù)就能被 2整除。人“女人，、”上由口,，、"山、上 人(2) 一個數(shù)的個位數(shù)字如果是 0或5,那么這個數(shù)就能被5整除。" If j* / i i(3) 一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被 3整除，那么

18、這個數(shù)就能被3整除。(4) 一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被 4 (或25)整除，那么這個數(shù)就能被 4 (或25)整除。(5) 一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被 8 (或125)整除，那么這個數(shù)就能被 8 (或125)整除。(6) 一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被 9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。其中(1) (2) (3)是三年級學過的內(nèi)容，(4) (5) (6)是本講要學習的內(nèi)容。 . . I因為100能被4 (或25)整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4 (或25)整除。因 為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和， 所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個 數(shù)的后兩位數(shù)能被4 (或25)整

19、除，這個數(shù)就能被4 (或25)整除。這就證明了( 4)。類似地可以證明(5)。(6)的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。837=800+30+7= 8X100+ 3X 10+ 7=8X (99+1) +3X (9+1) +7= 8X99+8+3X9+3+7=(8X99+3X9) + (8 + 3+ 7)。因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，(8x99+3x9)能被9整除。 再根據(jù)整除的性質(zhì)2,由(8+3+7)能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用(4) (5) (6)還可以求出一個數(shù)除以4, 8, 9的余數(shù)：(4) 一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以

20、4的余數(shù)相同。(5) 一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。(6) 一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)相同。例1在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？2347897756886537288064例2在四位數(shù)56口2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9, 8, 4整除？例3從0, 2, 5, 7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被 2, 5, 3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大I I JI I進行排列。例4五位數(shù)A329B能被72整除,問：A與B各代表什么數(shù)字？例5六位數(shù)3ABABA是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個？例6要使六位數(shù)15

21、aBe6能被36整除,而且所得的商最小，問 A, B, C各代表什么數(shù)字？ 練習41. 6539724能被4, 8, 9, 24, 36, 72中的哪幾個數(shù)整除?2.個位數(shù)是5,且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？3 . 一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是 3,十位上的數(shù)字都是6,并且它們既能被2整除又能被3 整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4 .五位數(shù)4A97A能被12整除，求這個五位數(shù)。5 .有一個能被24整除的四位數(shù)口 23口，這個四位數(shù)最大是幾？最小是幾？6 .從0, 2, 3, 6, 7這五個數(shù)碼中選出四個，可以組成多少個可以被8整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？7 .在123的左右

22、各添一個數(shù)碼，使得到的五位數(shù)能被 72整除。8.學校買了 72只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)辨認不清， 只看到是口 67.9口元，你知道 每只小足球多少錢嗎？第5講棄九法從第4講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被 9整除，那么這個數(shù)能被9整除；如 果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被 9除余數(shù)是幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。利用這個 性質(zhì)可以迅速地判斷一個數(shù)能否被 9整除或者求出被9除的余數(shù)是幾。例如，3645732這個數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3+ 6+4+5+7+ 3+ 2=30,30被9除余3,所以3645732這個數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。但是，當一個數(shù)的數(shù)位

23、較多時，這種計算麻煩且易錯。有沒有更簡便的方法呢？因為我們只是判斷這個式子被 9除的余數(shù)，所以凡是若干個數(shù)的和是 9時，就把這些數(shù)劃掉， 如3+6=9, 4+ 5= 9, 7+2=9,把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個 3 (如下圖)，所以這個數(shù)除 以9的余數(shù)是3。這種將和為9或9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以9的余數(shù)的方法，叫做棄九法。一個數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個數(shù)的 九余數(shù)。利用棄九法可以計算一個數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗四則運算的正確性。 L xI I v例1求多位數(shù)除以9的余數(shù)。例2將自然數(shù)1, 2, 3,依次無間隔地寫下去組成一個數(shù) 1213如果一直寫到自然數(shù)100,那么 所得的數(shù)除以

24、9的余數(shù)是多少？練習51 .求下列各數(shù)除以9的余數(shù)：(1) 7468251 (2) (3) 2657348 (4)I " I - 'ij f / i* y2 .求下列各式除以9的余數(shù)：(1) 67235+ 82564 (2) 97256-47823，;1I|I I1(3) 2783X 6451 (4) 3477+265X 841第6講數(shù)的整除性(二)這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1, 3, 5,位稱為奇數(shù)位，第2, 4, 6,位稱為偶數(shù)位。也就是說， 個位、百位、萬位是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位是偶數(shù)位。例如 9位數(shù)中，奇數(shù)位與偶 數(shù)位如下圖所示：能

25、被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差(大數(shù)減小數(shù))如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。例1判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。例2求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：(1) 41873; (2)。191例3求小國除以11的余數(shù)。例4用3, 3, 7, 7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？例5用19九個數(shù)碼組成能被11整除的沒有重復數(shù)字的最大九位數(shù) 例6六位數(shù)A287sB能被99整除，求A和B。?練習61 .為使五位數(shù)6口295能被11整除，口內(nèi)應當填幾？2 .用1, 2, 3, 4四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)?3 .求能被11

26、整除的最大的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)。4 .求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：(1) 2485; (2) 63582; (3)。3838385 .求'一一'除以11的余數(shù)。6 .六位數(shù)就麗5A634B能被33整除，求A+B7 .七位數(shù)3A8629日3A8629B是88的倍數(shù)，求 A和B。, -第六講流水行船問題【專題導引】當你逆風騎自行車時有什么感覺？是的，逆風時需用很大力氣，因為面對的是迎面吹來的風。當順風時，借著風力，相對而言用力較少。在你的生活中是否也遇到過類似的如流水行船問題。解答這類題的要素有下列幾點：水速、順速、船速(速水速度) 、逆速、距離，解答這類題與 和差問題相似。船速相

27、當于和差問題中的大數(shù)， 水速相當于小數(shù)，順流速度相當于和數(shù)，逆流速相 當于差數(shù)。船速二(順流船速+逆流船速)+ 2;水速二(順流船速-逆流船速)+ 2;順流船速=M速+水速；逆流船速=M速-水速；順流船速 3流船速+水速x 2;逆流船速二順流船速-水速x 2?！镜湫屠}】【例11 一條輪船往返于A B兩地之間，由A地到B地是順水航行，由B地到A地是逆水航行。 已知船在靜水中的速度是每小時 20千米，由A到B用了 6小時，由B到A所用的時間是由A到B 所用時間的1.5倍，求水流速度?！驹囈辉嚒浚?、水流速度是每小時15千米?，F(xiàn)在有船順水而行，8小時行320千米。若逆水行駛320千米需幾 小時？2

28、、水流速度每小時5千米。現(xiàn)在有一船逆水在120千米的河中航行需6小時，順水航行需幾小時？ 【例2】有一船行駛于120千米長的河中，逆行需10小時，順行要6小時，求船速和水速。【試一試】1、有只大木船在長江中航行。逆流而上 5小時行5千米，順流而下1小時行5千米。求這只木船 的靜水速度和水流速度各是多少？2、有一船完成360千米的水程運輸任務。順流而下 30小時到達，但逆流而上則需60小時。求河 水流速和靜水中船的速度？【例3】輪船以同一速度往返于兩碼頭之間。它順流而下，行了 8小時；逆流而上，行了 10小時。如果水流速度是每小時3千米，求兩碼頭之間的距離?！驹囈辉嚒?、一艘輪船以同樣的速度往返

29、于甲、 乙兩個港口，它順流而下行了 7小時，逆流而上行了 10小時。如果水流速度是每小時3.6千米，求甲、乙兩個港口之間的距離？2、一艘漁船順水每小時行18千米，逆水每小時行15千米。求船速和水速各是多少？【例4】汽船每小時行30千米，在長176千米的河中逆流航行要11小時到達，返回需幾小時？ 【試一試】：1、當一機動船在水流每小時3千米的河中逆流而上時，8小時行48千米。返回時水流速度是逆流 而上的2倍。需幾小時行195千米？2、已知一船自上游向下游航行，經(jīng)9小時后，已行673千米，此船每小時的船速是47千米。求此 河的水速是多少？【*例5】有甲、乙兩船，甲船和漂流物同時由河西向東而行，乙船

30、也同時從河東向西而行。甲船 行4小時后與漂流物相距100千米，乙船行12小時后與漂流物相遇，兩船的船速相同，河長多少 千米？【*試一試】1、有兩只木排，甲木排和漂流物同時由 A地向B地前行，乙木排也同時從 B地向A地前行，甲木 排5小時后與漂流物相距75千米，乙木排航行15小時后與漂流物相遇，兩只木排的船速相同，A、 B兩地長多少千米？2、有一條河在降雨后，每小時水的流速在中流和沿岸不同。中流每小時 59千米，沿岸每小時45 千米。有一汽船逆流而上，從沿岸航行 15小時走完570千米的路程，回來時幾小時走完中流的全 程？課外作業(yè)家長簽名：1、一船從A地順流到B地，航行速度是每小時32千米，水流

31、速度是每小時4千米，21天可以到2達。此船從B地返回到A地需多少小時？2、一海輪在海中航行。順風每小時行 45千米，逆風每小時行31千米。求這艘海輪每小時的船速 和風速各是多少？3、沿河有上、下兩個市鎮(zhèn)，相距 85千米。有一只船往返兩市鎮(zhèn)之間，船的速度是每小時18.5千米，水流速度每小時1.5千米。求往、返一次所需的時間。4、一只小船在河中逆流航行 3小時行3千米，順流航行1小時行3千米。求這只船每小時的速度 和河流的速度各是多少？*5、有一架飛機順風而行4小時飛360千米。今出發(fā)至某地順風去，逆風回，返回的時間比去的 時間多3小時。已知逆風速度為75千米/小時，求距目的地多少千米？第7講“牛

32、吃草”問題【專題導引】牛吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?0頭牛吃3天，供6頭牛吃幾天?精心整理這題很簡單，用3X10+ 6=5 （大）。如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那 么簡單了。因為草每天都在生長，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題 就是“牛吃草”問題。解答這類題的關鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確計算草地上原有的草及每天長 出的新草，問題就容易解決了?！镜湫屠}】【例11 一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供 27頭牛吃6

33、周或23頭牛吃9周。那么 這片草地可供21頭牛吃幾周？【試一試】：1、一片草地，每天都勻速長出青草。如果可供 24頭牛吃6天，20頭牛吃10天。那么，可供19 頭牛吃多少天？2、牧場上一片草地，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問可供25頭牛吃幾天？【例2】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃 10天？【試一試】：1、由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度在減少。經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11

34、頭牛吃幾天？2、因天氣漸冷，牧場上的草以固定的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，或可供24頭牛吃6天。照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃 10天？【例3】自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級臺階，女孩每分鐘走15級臺階，結(jié)果男孩用5分鐘到達樓上，女孩用了 6分鐘到達樓上。問： 該扶梯共有多少級臺階？【試一試】：1、自動扶梯以均勻速度行駛著，小明和小紅要從扶梯上樓。已知小明每分鐘走25級臺階，小紅每 分鐘走20級臺階，結(jié)果小明用5分鐘、小紅用了 6分鐘分別到達樓上。該扶梯共多少級臺階？2、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里

35、，男孩可走27級臺階，女孩可走24級臺階，男孩走了 2分鐘到達另一端，女孩走了 3分鐘到達另一端，該扶梯共多少級臺階？【例4】一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果用 12 人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完。現(xiàn)在要想2小時舀完，需要多 少人？【試一試】：1、有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部相同的抽水機10小時可以把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？2、有一個長方形的水箱，上面有一個注水孔，底面有個出水孔，兩孔同時打開后，如果每小時注水30立方分米，7小時可以注滿水箱；如果每

36、小時注水 45立方分米，注滿水箱可少用2.5小時。那么每小時由底面小孔排出多少立方分米的水（設每小時排水量相同）？【*例5】有三塊草地，面積分別為5, 6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一 塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭牛吃多少【*試一試】：1、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的 隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口， 那么需多少分鐘？精心整理2、快、中、慢三車同時從 A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車，三車的速度分別是每小時24

37、千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了 6小時，中車追上自行車用了 10小時，慢車追上自 行車用多少小時？課外作業(yè)家長簽名：1、牧場上的青草每天都在勻速生長。這片牧草可供 27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可 供21頭牛吃幾周？2、經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設地球新生成 的資源增長速度是一樣的，那么，為滿足人類不斷發(fā)展的需要，地球最多能養(yǎng)活多少億人？3、兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相 同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用5個晝夜到達井底，另一只蝸牛恰好用6個晝夜到達井底。那么，井深 多少米？4、有一水井，連續(xù)不斷涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3臺抽水機來抽水，36分鐘可以抽完；如果使用5臺抽水機，20分鐘抽完。現(xiàn)在12分鐘內(nèi)要抽完井水，需要抽水機多少臺？*5、一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天。現(xiàn)有一群牛吃了 6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了 2天將草吃完。這群牛原來有多少頭？第八講簡便運算2例 1、1999+199.9+19.99+1.9