一元二次方程之判別式法與韋達(dá)定理

1、實(shí)用文檔一元二次方程之判別式法與韋達(dá)定理(一)知識(shí)點(diǎn)梳理一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a、b、c屬于R, awQ根的判別， =b2-4ac,不僅用來(lái)判 定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和與積， 求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱(chēng)函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱(chēng)方程組，以及解 一些有關(guān)二次曲線的問(wèn)題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。21、一兀二次方程根的判別式：/： =b -4ac(1)當(dāng)A> 0時(shí)u方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)&a

2、mp;=0時(shí)=方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)<。時(shí)u方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，無(wú)解；(4)當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(5)根的判別式4 = 4ac的意義，在于不解方程可以判別根的情況，還可以根據(jù)根的情況確定未知系數(shù)的取值范圍。2、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)：2b(1)右Xi, X2是一兀二次萬(wàn)程ax + bx + c = 0的兩個(gè)根，那么：Xi + X2 = -一， acxi x2 =一 a(2)以?xún)蓚€(gè)數(shù)xi,x2為根的一元二次方程 (二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：x2 (xi+x2)x + x1x2 = 03、一元二次方程的兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系在以下幾個(gè)方面有著廣泛的應(yīng)用：(1)已知方程的一根

3、，求另一個(gè)根和待定系數(shù)的值。(2)不解方程，求某些代數(shù)式的值。(3)已知兩個(gè)數(shù)，求作以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程。(4)已知兩數(shù)和與積，求這兩個(gè)數(shù)。(5)二次三項(xiàng)式的因式分解。 一. 二 _0注意：在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，不要忽略隱含條件0。a : 0例題講解22例1、當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的萬(wàn)程x (2k1)x = k +2k + 3：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒(méi)有實(shí)數(shù)根。2例2、m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程mx -3mx+m+5 = 0有兩個(gè)相等的頭數(shù)根？并 求出這時(shí)方程的根。例3、已知方程x2 +3x -1 = 0的兩實(shí)數(shù)根為口、民不解方程求下列各式的值。(1) ot2+F2;(

4、2) a3P+otP3;(3) ;CL P(4)(口_1 泮 _1 方(5) a _p； (6) 3口2+402+30例4 已知關(guān)于x的方程x2 -(k +2 W +2k = 0(1)求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根。(2)若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為 1,另兩邊長(zhǎng)恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求三角形的周長(zhǎng)。文案大全走進(jìn)中考專(zhuān)題訓(xùn)練一、填空題：1 .關(guān)于X的一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩根為X1 , X2,則Xl+X2=, X1X2= ;若 方程X2+pX+q=0的兩根為a, P,則aP =, a+P =。2 .若方程2x(x+3)=1的兩根分別為 xi ,X2,則Xi+X2= ,X1X2

5、=, X12X2+ X1X22= ,X12+ X22=44十 X1X2223.關(guān)于X的一元二次方程2x -3x-a +1=0的一個(gè)根為2,則a的值為。24 .已知一兀二次萬(wàn)程 x -ax-2a=0的兩根之和為4a-3,則兩根之積為。25 .當(dāng)m 時(shí)，一兀二次方程 x2 4xm = 0有實(shí)根；當(dāng) m 時(shí)，兩根同為正；當(dāng)m 時(shí)，兩根異號(hào)。11 ,一，、6 . 以 , 為根的兀-次方程為 。237.已知X1, X2是方程X2 +6X+3 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 至十曳的值為。X1 X28 .如果一元二次方程 x2 mx + 6 = 0的兩個(gè)根分別比一元二次方程y2 + my + 6 = 0的兩個(gè)根均大

6、5,則m的值為。二、解答題：9 .不解方程，求下列各方程的兩根之和與兩根之積：- 2_2_(3) 3x(x-2) =5(1) -2x3=0(2) x -7x - 3 =010 . k取何值時(shí)，方程kx2- (2k+1) x+k=0, (1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等 的實(shí)數(shù)根；(3)無(wú)實(shí)數(shù)根.211 .已知關(guān)于x的方程x +(m+2)x+ 2m 1 = 0 .(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時(shí)方程的解。12 .已知關(guān)于x的方程x2 -(2m+1)x+m2-4 = 0,如果方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的平 方和等于15,求m的值。1

7、3 .已知關(guān)于x的一兀二次方程 x2 2xa=0.(1)如果此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求 a的取值范圍;112 , ,一(2)如果此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 x1，x2,且滿足 =-2 ,求a的值。x1 x2314 .設(shè)xn x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax + a2+4a-2 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)a為22何值時(shí)，x1 +x2有最小值？最小值是多少?自我檢測(cè)1 .方程（m+2） x m +3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A. m±2B. m=2C. m= 2 D. m=±22,已知關(guān)于 x的方程-x2- （ m3） x+m2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 m的

8、最大整數(shù)4值是（）A. 2B.1C. 0D.13. k為實(shí)數(shù)，則關(guān)于 x的方程x2+2 （k+1） x+k 1=0的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.不能確定4,已知關(guān)于x的方程（2m1） x2- 8x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則非負(fù)整數(shù)m的值為（）A. 1B, 2C. 1或 2D.0、1、25 .對(duì)任意實(shí)數(shù) m,關(guān)于x的方程（m2+1） x2-2mx+m2+4=0 一定（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.不能確定6 .若關(guān)于x的一元二次方程kx22x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A. k< 1B, k<l

9、 C, k<1 且 kwo D. kwi且 kwo7 .若方程3x2 ax+2b =0的兩根和為4,積為一2,則a, b分別為（）A. 12 與-3B. 4 與3 C, 12 與3 D. 4 與38 .已知一元二次方程 ax2+bx+c=0,若a+b+c = 0,則該方程一定有一個(gè)根為（）A. 0B. 1C. - 1 D. 29 .試證明：關(guān)于 x的方程（a28a+20） x2+2ax+1=0 ,不論a取何值，該方程都是一元二次 方程.一元二次方程之判別式法與韋達(dá)定理（二）走進(jìn)中考專(zhuān)題訓(xùn)練一、填空題1,若方程（m1） x m f 2x=3是關(guān)于x的一元二次方程，則 m=.2 .對(duì)于方程（

10、m1） x2+ （m+1） x+3m+2=0 ,當(dāng)m 時(shí)，為一元一次方程； 當(dāng)m時(shí)為一元二次方程.3 .一元二次方程 ax2+bx+c=0至少有一個(gè)根為零的條件是 .5 .如果m為任意實(shí)數(shù)，則一元二次方程x2- mx+ m2+m+ =0的解的情況是.236 . k<1時(shí)，關(guān)于x的方程2 （k+1） x2+4kx+2k 1=0的根的情況是 .7 .若x=a （a2是關(guān)于x的一元二次方程（k1） x2+2kx+k+3=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則 k的 取值范圍是.8 .若關(guān)于x的方程（m 1） x2+2mx+m+3=0 有兩個(gè)不相 等的實(shí)數(shù)根，則 A =貝U m 的取值范圍是 .二、選擇題9 .方程

11、（m+2） x m +3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A. rn±2B. m=2C. m= 2 D. m=±210 .已知關(guān)于x的方程-x2- （m3） x+m2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 m的最大整數(shù)4值是（）A. 2B.1C. 0D.111 . k為實(shí)數(shù)，則關(guān)于 x的方程x2+2 （k+1） x+k1=0的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B .有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.不能確定12,已知關(guān)于x的方程（2m1） x2- 8x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則非負(fù)整數(shù) m的值為（）A. 1B, 2C. 1 或 2D. 0、1、213.對(duì)任意實(shí)數(shù) m,關(guān)于x

12、的方程（m2+1） x2-2mx+m2+4=0 一定（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B .有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.不能確定14,已知關(guān)于x的方程（b+c） x2+J2 （a c） x- （ac） =0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則4以a、b、c為三邊長(zhǎng)的三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.不能確定15 .若關(guān)于x的方程x2（品+4 ） x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則化簡(jiǎn)k+2+ dk2 -4k +4 的值為（）A. 4B. 2kC.4D. 2k16 .若關(guān)于x的一元二次方程kx22x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A. k<1B. k<l C. k&l

13、t; 1 且 kwo D. kwi且 kwo三、解答題17 .解關(guān)于 x 的方程 2x2+ (3m n) x2m2+3mn n2=0.18 .若兩個(gè)關(guān)于 x的方程x2+x+a=0與x2+ax+1=0有一個(gè)公共根，求 a的值.19 .試證明：關(guān)于 x的方程(a2 8a+20) x2+2ax+1=0 ,不論a取何值，該方程都是一元 次方程.21 .方程x2- (k+1) x+ - k=0能否有相等的實(shí)數(shù)根.若有請(qǐng)求出來(lái).421122 .已知一兀二次萬(wàn)程(ab2b) x +2 (ba) x+2aab=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求 一十 一a b的值.自我檢測(cè)1.下列方程中，兩實(shí)數(shù)根之和等于2的方程是（）

14、22A. x2x - 3 = 0B. x - 2x 3 = 022C. 2x -2x-3 = 0D. 3x - 6x 1 = 02 .如果一元二次方程 x2 +3x2=0的兩個(gè)根為x1、x2,那么x1+*2與*2的值分別為A.3, 2B. -3, -2C. 3, -2D. -3, 23 .如果方程2x2 6x+ 3 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 xi、x2,那么xx2的值是（）A. 3B. -3C. -D. 3224 .如果xi、x2是方程x2 3x+1 =0的兩個(gè)根，那么 工+的值等于（ ）A. -3B. 3C. 1D.-3325 .已知關(guān)于x的方程x （k+2）x+6-k =0有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根，則k的值是（）A. 2B. -10C.2 或10 D. 2J526