全等三角形地經(jīng)典模型(一)

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔文案大全等腰直角三角形數(shù)學(xué)模型思路：利用特殊邊特殊角證題( AC=BC 90, 45, 45口).如圖1；常見輔助線為作高，利用三線合一的性質(zhì)解決問題.如圖2;補(bǔ)全為正方形.如圖3, 4.【例1】已知：如圖所示,RtAABC, ABAC, /BAC =90 , O為 BC的中點(diǎn),寫出點(diǎn)O到ABC勺三個頂點(diǎn) A B C的距離的關(guān)系（不要 求證明）如果點(diǎn)M N分別在線段 AC AB上移動，且在移動中保持 ANtCM試判斷 OMNJ形狀，并證明你的結(jié)論 .如果點(diǎn)M N分別在線段CA AB的延長線上移動，且在移動中保 持AN=CM試判斷中結(jié)論是否依然成立，如果是請給出證明.【解析】OA=O

2、B=OC連接OA. OA=OC /BAO =/C =45AN=CM.AN竽 ACMO.ON=OM. NOA =/MOC.NOA -/BON =. MOC 十/BON =90.NOM =90.OMNI等腰直角三角形ON檄然為等腰直角三角形，證明：BAB90 , ABAC O為 BC中點(diǎn) .Z BA(=ZOACZAB(=Z ACB45 , . AGBGOC .在 ANG 口 CMOP,AN =CM BAO 二，CAO =CO AN孽 ACMQ SAS)，ON=OM / AON/COM 又 / COM/AOM90 , .OMN;等腰直角三角形.【例2】 兩個全等的含30”，60,角的三角板 ADE和

3、三角板ABC ,如 圖所示放置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上，連接 BD ,取BD的 中點(diǎn)M ,連接ME , MC .試判斷AEMC的形狀，并說明理由.【解析】AEMC是等腰直角三角形.【例3】【解析】證明：連接AM .由題意，得DE =AC,. DAE . BAC =90; DAB =90.，ADAB為等腰直角三角形.DM =MB ,MA =MB =DM ,. MDA =/MAB =45. MDE =/MAC =105, AEDM ACAM .EM =MC,/DME =/AMC .又 /EMC =/EMA +/AMC =/EMA +/DME =90 . CM _LEM ,A EMC是等腰直角三

4、角形.已知：如圖， AABC 中，AB =AC , /BAC =90 , D 是 AC 的中 點(diǎn)，AF _LBD于E ,交BC于F ,連接DF .求證：ZADB =/CDF .證法一：如圖，過點(diǎn) A作AN J_BC于N ,交BD于M .AB =AC , ZBAC =90 , ./3=/DAM =45.ZC =45 ,Z3 =/C . AF _LBD ,Z1 +/BAE =90 /BAC =90 ,/2+/BAE =90Z1 =/2 .在 ABM 和 CAF中，1 =，2AB = AC1/3 =/CA ABM 里 CAF . AM =CF .在 ADM和ACDF中，AD =CDDAM =yCAM

5、 =CF ADM CDF ./ADB =ZCDF .證法二：如圖，作 CM _LAC交AF的延長線于 M . AF _LBD , 公 +22 =90 ,/BAC =90 ,/1 +/2 =90 ,. Z1 =/3 .在 ACM和 BAD中， 1 二/3AC a.BB| /ACM =/BAD =90A ACM BAD .ZM =/ADB , AD =CMAD =DC , CM =CD .在ACMF和ACDF中，CF =CFZMCF ZDCF =45CM =CDACMF CDF . /. /M =NCDF /ADB =/CDF .【例4】 如圖，等腰直角 AABC中，AC =BC ,/ACB =9

6、0 , P為 ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PB=PC,AP=AC, 求證:,BCP =15【解析】補(bǔ)全正方形ACBD ,連接DP易證 ADP是等邊三角形， /DAP =60 0, /BAD =45 ,ZBAP =15, /PAC =30)NACP =75, /BCP =15 ,【探究對象】等腰直角三角形添補(bǔ)成正方形的幾種常見題型在解有關(guān)等腰直角三角形中的一些問題，若遇到不易解決或解法比較復(fù)雜時，可將等腰直角三角形引輔助線轉(zhuǎn)化成正方形，再利用正方形的一些性質(zhì)來解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。例4為求角度的應(yīng)用，其他應(yīng)用探究如下：【探究一】證角等【備選1】如圖，RtABC中，/ BAG90

7、 , AB=AC M為AC中點(diǎn)，連結(jié) BM A ADL BM交 BC于點(diǎn)D,連結(jié) DM求證：/ AM=/ CMD【解析】 作等腰RtAABC于BC對稱的等腰RtABFC；延長AD交CF于點(diǎn)N, .ANL BM由正方形的T質(zhì)，可得 AN=BM易證 RtAABM RtACAIN，/ AMB/CND CN:AM. M為 AC中點(diǎn)，CM=CN / 1 = /2,可證得 CM篁ACND / CND/CMD Z AMBZCMD【探究二】判定三角形形狀【備選 2】如圖，RtABC中，/BA(= 90,AB=AQAD=CEAN!BD于點(diǎn) M延長B改NE的延長線于點(diǎn)F,試判定 DEF的形狀.【解析】作等腰RtA

8、ABC于BC對稱的等腰RtABHC可知四邊形 ABHC；正方形，延長 ANx HC于點(diǎn)K, . A。BD 可知 AK=BD 易證：RtABD2 Rt CAK / ADB:Z CKN CKAD . AD=EGCK=CE易證 CK庠 CEIN / CKN/CEN易證/ ED后/DEF .DE等腰三角形.【探究三】利用等積變形求面積【備選 3】如圖，Rt ABO43, /A=90 , AB*G D為 BC上一點(diǎn)，DB AC, DF/ AR 且 BE=4,CF=3,求 S矩形 DFAE.RtAGCBFD ED交 BG CG點(diǎn) N M【解析】 作等腰RtAABC于BC的對稱的等腰 可知四邊形 ABGC；

9、正方形，分別延長可知 DN=EB=4, DMFC=3, 由正方形對稱性質(zhì)，可知 S矩形 dfa=S矩形 dmg=DM DN=3x4=12.【探究四】求線段長【備選 4】如圖， ABC43, ADL BC于點(diǎn) D, / BA(=45 , BD=3, C1=2,求 AD的長.【分析】此題若用面積公式結(jié)合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但BA(=45 ,若分別以AB AC為對稱軸作 Rt ADB勺對稱直角三角形和 Rt ADC勺對稱直角三角形， 這樣就出現(xiàn)兩邊相等且 夾角為90。的圖形，滿足等腰直角三角形的條件，然后再引輔助線使之轉(zhuǎn)化為正 方形.【解

10、析】 以AB為軸作RHADB勺對稱的RtAEB再以Ag軸作RtADC勺對稱的RtAAFC 可知 BE=BD=3, FC=CD=2, 延長 EB FC交點(diǎn) G / BAC=45 , 由對稱性，可得/ EAF=90 ,且AE=AD=AF, 易證四邊形AFGEJ正方形，且邊長等于 AD 設(shè) ADx,則 BGx 3, CGx2,在 Rt BCC,由勾股定理，得(x2f+(x3 2 = 52 ,解得x=6,即AD=6.【探究五】求最小值【備選5】如圖，RtABC中，Z ACB=90 , AGBC=4, M為AC的中點(diǎn)，P為斜邊AB上的動點(diǎn)，求PM+PC的最小值.AMCB【解析】 將原圖形通過引輔助線化歸

11、為正方形，即作RtAACB于AB對稱的RtADB可知四邊形 ACB師正方形，連接 CD可知點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D,連接MD交AB 于點(diǎn)P,連接CP則PM+PC的值為最小，最小值為:PMPC=DI=j42 +22 =2蕊.已知 ABL BD EDL BD AB=CD BGDE 求證：ACLCEB Ci C DB C1D (C) B C1 DC C1 B D C其余條件不變，試判斷 ACL Ci E這一結(jié)論是否成立？若成立，給予證若將 CDEg C昉向平移得到等不同情形，AB =C1D , 【解析】 .A- BD EDL BD. . B =./D =90在 ABC與ACDE中AB =CD! ZB

12、=/DBC =DEA ABC CDE ( SAS. 1 = . E. 2 , E =90/ACE =90 ,即 ACL CE圖四種情形中，結(jié)論永遠(yuǎn)成立，證明方法與完全類似，只要證明 ABCA C DE. ACB - . C1ED ZC1ED +/DC1E =90。/DC1E +/ACB =90。. ACL CiE【例5】 正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0, 10）, （8, 4 ），點(diǎn)C在第一象限.求 正方形邊長及頂點(diǎn) C的坐標(biāo).（計算應(yīng)用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和 等于斜邊的平方.）【解析】 過點(diǎn)C作CG_x軸于G過B作B已y軸于E,并反向延長交 CGF F 點(diǎn)A、B的坐

13、標(biāo)分別為(0,10), (8,4).BE=8, AE=6,AB=10四邊形ABC國正方形，AB=BC /1 . 3 =90/2 /3 =90.1 =/2 . AEB =. BFC =90.AE望 BFC.CF=BE=8, BF=AE=6 .CG12 EF=14C(14, 12),正方形的邊長為 10【例6】 如圖所示，在直角梯形ABCD中，/ABC =90工AD / BC , AAAB =BC , E 是 AB 的中點(diǎn)，CE _LBD .求證：BE=AD;匚 求證：AC是線段ED的垂直平分線； ADBC是等腰三角形嗎？請說明理由.【解析】: /ABC =90*, BD 1EC ,NECB +Z

14、DBC =90 s, /ABD +NDBC =90、. /ECB =/ABD , /ABC =/DAB =90 , AB =BC ,. BAD CBE , AD = BE . E是AB中點(diǎn)，EB = EA由得：AD = BE,AE = AD AD / BC ,/CAD =/ACB =45*,ZBAC =45,ZBAC =/DAC由等腰三角形的性質(zhì)，得： EM =MD , AM .LDE即AC是線段ED的垂直平分線. DBC是等腰三角形，CD =BD 由得：CD =CE ,由得： CE =BD. CD =BD , A DBC是等腰三角形.MN出巔峰突諼【例7】如圖1, 4ABC是等邊三角形，H

15、E分別是AB BC上的點(diǎn)，且BaCE連接AE、CD相交于點(diǎn)P.請你補(bǔ)全圖形，并直接寫出/ APD勺度數(shù)=如圖 2, Rt ABC, Z B=90 , MN分別是AB BC上的點(diǎn)，且AM=BC BM=CN【解析】連接ANCMf交于點(diǎn)P.請你猜想/APM,并寫出你的推理過程.（2013平谷一模）圖略,45 圖2證明：作AEE! AB且 AE =CN =BM .NEM可證4EAM色AMBCME =MC , ZAME =/BCM .ZCMB +/MCB =90?ZCMB +.ZAME =90 =ZEMC =90 . EMC是等腰直角三角形，/MCE =45 又 AECCAN (SAS.ECA =. N

16、AC .EC/ AN.APM =. ECM =45訓(xùn)練1.已知：如圖， aabc中，AGBC /ACB=90+，D是AC上一點(diǎn)，A紅BD的延長1線于E,并且AE =-BD ,求證：B葉分ZABC .【解析】延長AE交BC的延長線于F ,. BE! AF , /ACB=90。.FAC =. DBC在AF% ABDO43, pFAC =/DBCAC =BC l，ACF = BCD . AFCABDC (ASA). AF=BD。1又 AE = BD21AE =AF =EF2 BE是AF的中垂線，BA=BFB葉分.ABC訓(xùn)練2. 已知，在正方形 ABC珅，E在BD上，DGL CE于G, DG AC于F

17、.求證：O曰OF【解析】ABC麋正方形 .OD：OC . DOC =90. DGL CENDGC =90 . NDOC =/DGC. ZOFD =NGFC.ODF =. ECO在 ADO陵口 ACOE,/DOF ZCOEOD =OCJ./ODF =/OCE.DO戶COE(ASA:.OE=OF訓(xùn)練3.已知：如圖， ABC 中，AB =AC , NBAC =90。，D 是 BC 的中點(diǎn)，AF _L BE 于G ,求證：DH =DF【解析】AB =AC , ZBAC =90。，D是BC的中點(diǎn). AD=BD=CD ADI BCZADB =90 AF _ BE/AGH =90.DBE =. DAF，在

18、BDHF 口 ADF,1DBH ZDAFBD =ADZADB ZADF.BD國 AADI3 (ASA). D伸DF訓(xùn)練4. 如圖，已知矩形 ABCW, E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EFEC且EF=EG D&4cm,矩形 ABCD勺周長為32cm,求AE的長.【解析】 在 RtAAEffl RtADEO,/ EF CE /. Z FE(=90 ,BC/AEF+/DEC90 ,而/ ECD/DEB90 , ./ AEF=/ECD又/FAEf/EDB90 . EF=EC .RtAAEF RtADCE. AE=CD，AD=AEM.矩形ABCD勺周長為32 cm, .2 (AEfAE-4) =3

19、2.解得 AE=6 cm.題型一等腰直角三角形模型鞏固練習(xí)【練習(xí)1】如圖， ACB 4ECD勻為等腰直角三角形，則圖中與4 BDCir等的三角形為.【解析】AAEC【練習(xí)2】 如圖，已知 RtA ABC中/ACB =90 , AC = BC , D是BC的中點(diǎn)，CE AD ,垂足為E . BF / AC ,交CE的延長線于點(diǎn) F .求證:AC =2BF .【解析】 /ACB =90 , BF II AC , /ACD =/CBF =90 , /ADC +NCAD =90 . CE _LAD ,/FCB +/ADC =90 , /CAD =/FCB .又 AC =CB , ADC CFB . D

20、C =FB . D是BC的中點(diǎn)， BC =2BF ,即 AC =2BF .題型二三垂直模型鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 已知：如圖，四邊形 ABC虛矩形（ADAB）,點(diǎn)E在BC上，且AE =AD DF! AE,垂足為F.請?zhí)角驞F與AB有何數(shù)量關(guān)系？寫出你所得到的結(jié)論并給予證 明.【解析】經(jīng)探求，結(jié)論是：DF = AB.證明如下：四邊形ABCDI矩形，/B=90，AD/ BC/ DAF= / AEBDF AE/AFD=90：,AE = AD , AABEADFA.AB = DF【練習(xí)4】如圖， ABC中，AC =BC , /BCA =90 , D是AB上任意一點(diǎn),AE _LCD 交 CD 延長線于 E

21、, BF，CD 于 F .求證：EF = BFAE.【解析】根據(jù)條件，/ACE、ZCBF都與/BCF互余， /ACE =/CBF .在 ACE和ACBF中，AC =CB , /AEC =/CFB =90 , ACE 9A CBF .則 CE =BF , AE =CF , EF =CE -CF =BF -AE .【練習(xí)5】四邊形ABCD1正方形.如圖1,點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)（不與R C兩點(diǎn)重合），連接AG彳BFL AG于 點(diǎn) F, DEL AG于點(diǎn) E,求證： ABF DAE在中，線段 EF與AF、BF的等量關(guān)系是 （直接寫出結(jié)論即可，不需要證明）；如圖2,點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)（不與C D兩點(diǎn)重合），連接AG彳BFAG于 點(diǎn)F, DEL AG于點(diǎn)E.那么圖中全等三角形是 ,線段EF與AF、BF 的等量關(guān)系是 （直接寫出結(jié)論即可，不需要證明）.【解析】 在正方形 ABC用，AB=AD /BAD =90 /BAF +/DAE