任意角的概念與弧度制資料

1、任意角的概念與弧度任意角的概念與弧度制1、角的概念的推廣：匾角可以看作平面內(nèi)一條射線繞端點(diǎn)從一個(gè)位置 （始邊）旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置（終 邊）形成的圖形.規(guī)定按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角；按照順時(shí)針方向旋 轉(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角：射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)稱零角.任意角的概念與弧度制1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角.要點(diǎn)詮釋：角的概念是通過角的終邊的運(yùn)動(dòng)來推廣的，既有旋轉(zhuǎn)方向，又有旋轉(zhuǎn)大小，同時(shí)沒有旋轉(zhuǎn)也是一個(gè)角，從而得到正角、負(fù)角和零角的定義2

2、. 終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊（除 端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角.要點(diǎn)詮釋：終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；（2）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；（3）終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差主：的整數(shù)倍.3、終邊相同的角與象限角：衣與角門終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合 r 1，一：門；頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與工軸正半軸重合，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫 做第幾象限的角.知識(shí)點(diǎn)二：弧度制&|弧度制(1)長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)

3、.(2)弧度與角度互換公式：-二-心7T心 0.01745(rad)isoV1rad=汀丿57.30°57°8',1°130(3)弧長(zhǎng)公式:円劊廠g是圓心角的弧度數(shù))，s_L/ 廠二丄 | 扇形面積公式：要點(diǎn)詮釋:(1)角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如“ -等 等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.kd =(2)角匸的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，'是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑.3、弧度制的概念及換算： 詒規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.弧度記

4、作rad注意在用弧度制時(shí)，“弧度”或“d”可以略去不寫d ,在半徑為廣的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)圓心角為丄弓二，貝U-=5718r所以，1 兒=；7rad,(rad),4、弧度制下弧長(zhǎng)公式：志s 二I 優(yōu)I * ='I'；弧度制下扇形面積公式類型一：象限角固G i 已知角-；(1)在區(qū)間-內(nèi)找出所有與角二有相同終邊的角；M =妝 | 尤二二 xltf+4?, k 集合力一幻妙+斗咒七亡2、4，那么兩集合的關(guān)系是什么?解析：(1)所有與角二有相同終邊的角可表示為：I： -'匚, 則令-x <<i?= < |：,=,0 -75° <360

5、76;<-45°得W 疋三一-解得二二，從而：或-代回八：或':".(2)因?yàn)?quot; J丨 “ 一 I表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集u合，從而：總結(jié)升華：(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角 有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于：的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求 出所求解；(2)可對(duì)整數(shù)：的奇、偶數(shù)情況展開討論.O2已知録是第三象限角，貝U三是第幾象限角?&a思路點(diǎn)撥：已知角匸的范圍或所在的象限，求所在的象限是?？碱}之一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下

6、：把各象限均分n覽等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、U、M、W,并循環(huán)一周，則二原來是第幾象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域(n N*)解法一：因?yàn)殚T是第三象限角，所以2k 7T a一7T+ < a當(dāng)k=3m(m Z)時(shí)，；為第一象限角;當(dāng)k=3m+ 1(m Z)時(shí)，二為第三象限角,當(dāng)k=3m + 2(m Z)時(shí)，二為第四象限角,a故為第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起-依次將各區(qū)域標(biāo)上I、U、M、W，并依次循環(huán)一周，a則二原來是第川象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為 丁的終邊所在的區(qū)域.由圖可知，是第一、三、四象限角總結(jié)升華：(1)

7、要分清弧度制與角度制象限角和終邊在坐標(biāo)軸上的角；(2) 討論角的終邊所在象限，一定要注意分類討論，做到不重不落，尤其對(duì) 象限界角應(yīng)引起注意舉一反三：A/ = (z: | = -b , A s N = (a |4- , 4 £ 2【變式1】集合二*，-，則()A、B、亞nNC、M u ND、【答案】C思路點(diǎn)撥：(法一)=-' '取特殊值-1，-3, -2,-1，0，1, 2, 3, 4(法二)在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)形結(jié)合(2k + IX ?7兀二二北E £(法三)集合M變形,血7T+2汀(k -h 2)7T t _ 忑=,Z集合N變形 4,'是汀的奇數(shù)

8、倍，是;丁的整數(shù)倍，因匚此-<sia _2_8COS 【變式2】設(shè)r為第三象限角，試判斷-的符號(hào).'.2:71-7T < & < 271 +7lk E Z, 解析：'三為第三象限角，-t7T + - <224當(dāng)-二時(shí),沏+蘭 叭如+気色此時(shí)二在第二象限.第四象限.當(dāng) ' -p -時(shí)B sm CO£ 綜上可知： 18sin +CGS 27T 召3二(2?2 + 1)jr + <- <(22 + 1W+-JT,此時(shí)在Slfl2cos2<0.sin < c o £ >0,:. 2 2類型二：扇形

9、的弧長(zhǎng)、面積與圓心角問題品03.已知一半徑為r的扇形，它的周長(zhǎng)等于所在圓的周長(zhǎng)的半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？蛋解：設(shè)扇形的圓心角是王抿，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是F，所以扇形的周長(zhǎng)是2r+rfl依題意，得& =(7T- 2)rad（7T- 2） X1.142x57.30°仇、角度制與弧度制的互化:17T 3n（1）22?。ǘ? ； （2） 二 12.勒i65.44°,1 313;.S-r8=-（v - 2” .22總結(jié)升華：弧長(zhǎng)和扇形面積的核心公式是圓周長(zhǎng)公式：一"和圓面積公1 aS = - r式-，當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)&代替時(shí)

10、，即得到一般的弧長(zhǎng)公式I11 | 2I - a r, S - lr 二一，r .和扇形面積公式：:舉一反三：【變式1】一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為2-'-，當(dāng)扇形的圓心角土等于多少弧度時(shí)， 這個(gè)扇形的面積最大？并求出這個(gè)扇形的最大面積思路點(diǎn)撥：運(yùn)用扇形的面積公式和弧長(zhǎng)公式建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的性 質(zhì)來解決最值問題.解：設(shè)扇形的半徑為，則弧長(zhǎng)為；，£二廣二一（-5 + 25于是扇形的面積-當(dāng)寸， 二-（弧度），'取到最大值，此時(shí)最大值為 二宀.故當(dāng)扇形的圓心角等于2弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，最大面積是25亡加總結(jié)升華：求扇形最值的一般方法是根據(jù)扇形的面積公式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān) 于半

11、徑（或圓心角）的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解7T 57T 722 亍= 225x一二一兀-630* =-630 x二一一譏解：;-''為第三象限；為軸上角-Zxl8OD =-252* = xl80- = 195*55為第二象限；12讓為第三象限角小結(jié)：1用弧度表示角時(shí)，“弧度”兩字不寫，可寫“江”；2角度制化弧度時(shí)，分?jǐn)?shù)形式，且“;壬”不取近似值° 2、用角度和弧度分別寫出分別滿足下列條件的角的集合：第一象限角；銳角；（3）小于“廣的角;7T（4）終邊與角的終邊關(guān)于F軸對(duì)稱的角；（5）終邊在直線二”上的角.解：宀-打二或7/r分析：因?yàn)樗蠼堑慕K邊與'角的終邊關(guān)于匸軸對(duì)稱，可以選擇代7T- 表角 '，因此問題轉(zhuǎn)化為寫出與八角的終邊相同的角的集合即a 2丘肝+押Z 6- - 7(5仲"回+4*Z7T或4注意：角度制與弧度制不能混用!03、若嘔第二象限角，則aL是第幾象限角？反之,ar-是第二象限角，©是第幾象限角？ 112k7T