專升本資料5-1(多元函數(shù)微分學)

1、四川省普通高等學校“專升本”選拔高等數(shù)學考試大綱（理工類）總體要求考生應理解或了解高等數(shù)學中函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分分學、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程以及線性代數(shù)的行列式、矩陣、向量、方程組的基本概念與基本理論；掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應具備一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確、簡捷地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。本大綱對內(nèi)容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“

2、會”、“掌握”、“熟練掌握”三人層次?？荚囉脮r：120分鐘考試范圍及要求一 函數(shù)、極限和連續(xù)二 一元函數(shù)微分學三 一元函數(shù)積分學四 向量代數(shù)與空間解析幾何五 多元函數(shù)微分學1. 了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念（對計算不作要求），會求二元函數(shù)的定義域。（1） 多元函數(shù) 二元函數(shù)： 三元函數(shù)： 三元或三元以上的函數(shù)：（2） 二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的圖形是一個曲面，曲面在面上的投影就是定義域。（3） 二元函數(shù)的定義域一元函數(shù)的定義域: 通常可用區(qū)間（開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間，這些區(qū)間可為有界也可是無界）或用關于的不等式表示.二元函數(shù)的定義域: 由使函數(shù)式有

3、意義的點的全體構成。通常由一條或幾條曲線（稱為的邊界）圍成的面上的一部分，可用區(qū)域（開區(qū)域、閉區(qū)域、有界開區(qū)域或有界閉區(qū)域，無界開區(qū)域或無界閉區(qū)域）?？捎藐P于、所確定的不等式組表示。（3） 二元函數(shù)的極限 定義 設函數(shù)在點的附近有定義（在點處函數(shù)可無定義），如果動點沿任意路徑趨近于定點時, 總是趨于一個常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記為 或 或 注： 定義中是沿任意路徑的； 若動點以某一種特殊方式（沿某特殊直線或曲線）趨于點時，無限接近，不能得出的結論； 當動點以不同方式或不同路徑趨于時，趨于不同值，則一定不存在；（4）二元函數(shù)的連續(xù)性定義 設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當點趨近于點時，函數(shù)

4、的極限存在， 且等于它在點處的函數(shù)值，即 或 則稱函數(shù)在點處連續(xù)。定義 設函數(shù)在點的一個鄰域內(nèi)有定義， 若當自變量、的增量、趨近于零時，對應的函數(shù)的全增量 也趨向于零，即 則稱函數(shù)在點處連續(xù)。2. 理解偏導數(shù)的概念，了解全微分的概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。 （1）偏導數(shù)在點處對的偏導數(shù)：、 、 、， 在點處對的偏導數(shù)：、 、， 在任意點處對的偏導數(shù)：、 、 在任意點處對的偏導數(shù)：、 、 、 （2）全微分定義 定義 如果二元函數(shù)在點處的全增量可以表示為 ： 其中、與、無關， 是的高階無窮小，即 則稱 為函數(shù)在點處的全微分，記為 ， 這時， 稱函數(shù)在點處可微。如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點都

5、可微，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微。 全微分與偏見導數(shù)的關系 如果函數(shù)在點處可微，則函數(shù)在點處的偏導數(shù)存在，而且 ，。 （3）函數(shù)的可微性、可偏見導性、連續(xù)性的關系可微 連續(xù) 的極限存在?？晌?可偏導。的偏導存在且連續(xù) 可微可偏導 與 連續(xù) 沒有關聯(lián)。例1考察函數(shù) ，在時的極限是否存在。在處可偏導，求，例2 （成都理工大學2013：理科選擇題3分）設，則在處有【 】(A) 在不連續(xù)； (B) 在偏導數(shù)不存在(C) 在連續(xù)且偏導數(shù)存在但不可微； (D) 在可微例 3（攀枝花學院：理科解答題5分）連續(xù)是可微的（ ）條件.（A）必要 （B）充分 （C）充要 （D）無關3. 掌握二元函數(shù)的一、二階偏導數(shù)的計算

6、方法。 ：把看成為常數(shù)，把視為的一元函數(shù)，對求導 ：把看成為常數(shù)，把視為的一元函數(shù)，對求導 、， 、 ， 、 ， 、 、，4. 掌握復合函數(shù)的一階偏導數(shù)的求法（包括抽象函數(shù)）。（1）多元復合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)，（2） 多元復合函數(shù)的中間變量為二元函數(shù)， ， （3）多元復合函數(shù)的中間變量一個為二元函數(shù)，一個一元函數(shù)， ， （4）多元復合函數(shù)為抽象函數(shù)形式若函數(shù)沒有由自變量具體地表示出來，這樣的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，如 等。例1 （攀枝花學院：文科解答題5分） 設，求.例2 設，求，.例3 設，求，.5. 會求二元函數(shù)的全微分（不包括抽象函數(shù)）。例 （成都理工大學：文科選擇題4分）設，則【 】(

7、A) (B) (C) (D) 6. 掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導數(shù)的計算方法。（1） 二元方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)： . 例（攀枝花學院2013：文科解答題5分） 設由方程確定的一個隱函數(shù)，求（2） 三元方程所確定的隱函數(shù)的偏導數(shù) ， 例1 （攀枝花學院：理科解答題5分）求由方程所確定的隱函數(shù)的全微分例2（成都理工大學2014：理科填空題4分）13設函數(shù)由方程確定，其中連續(xù)偏導數(shù)，則 ， ；7. 會求空間曲線的切線和法平面方程，會求空間曲面的切平面和法線方程。（1）曲面 在其上的點處的切平面方程 切平面的法向量： 切平面方程： 法線方程： （2）曲線 在其上的點處的切線方程 切線的方向向量

8、：， 為點對應的參數(shù)的值。 切線方程： 法平面方程： （3）曲線 在其上的點處的切線方程 切線的方向向量： 切線方程： 法平面方程： 例1 （成都理工大學2013：理科填空題4分）曲線在點的切線方程是： 例2 （成都理工大學2014：理科選擇題3分）已知曲面上點P處的切平面平行于平面 ，則點P的坐標是【 】 （A）(1,-1,2) （B）(-1,1,2) （C）(1,1,2) （D）(-1,-1,2)8. 會求二元函數(shù)的無條件極值，會應用拉格朗日乘數(shù)法求解一些最大值最小值問題。（1）二元函數(shù)的無條件極值 定義： 設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)異于的點都有 (或 )則稱為函數(shù)的極

9、大值(或極小值)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極大值的點(或極小值的點)稱為極大值的點(或極小值的點)，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。極值的必要條件： 設函數(shù)在點的偏導數(shù)，都存在，且在點處有極值，則在該點的偏導數(shù)必為零，即 同時滿足，的點稱為函數(shù)的駐點。 極值存在的充分條件（判別駐點是否為極值點) 設是函數(shù)的駐點，且函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)二階偏導數(shù)連續(xù)，令 ，則 (1) 當 且 時，是極大值，當 且 時，是極小值；(2) 當 時， 不是極值； (3) 當 時，可能是極值，也可能不是極值。 求二元函數(shù)極值的步驟：(1) 求出函數(shù)的一階、二階偏導數(shù) 、(2) 解方程組，求出函數(shù)的駐點；(3

10、) 確定駐點處，、的值及的符號，據(jù)此判斷出該駐點是否為極值點，并求出極值。例1 （攀枝花學院：理科解答題7分） 求函數(shù)的極值.例2 求函數(shù) 的極值。 解 （1） 求偏導數(shù)， ， ， （2）解方程組 ， 得駐點及（3） 列表判斷函數(shù)的極值點駐點(結論不是極值是是大極值 函數(shù)只有一個極大值：（2）拉格朗日乘數(shù)法求解一些最大值最小值（條件極值）在實際問題中，往往會遇到自變量有約束條件的函數(shù)的極值問題，這樣的極值稱為條件極值，無約束條件的極值叫無條件極值。 求函數(shù) 在約束條件下的最值第一步：構造輔助函數(shù) （稱為拉格朗日乘數(shù)）第二步： 解聯(lián)立方程組 即 得駐點第三步：判別駐點為最值點。（若在實際的函數(shù)的

11、定義域內(nèi)駐點是唯一的，討論的問題又有最值，則該駐點為函數(shù)的最值點）。第四步：得出問題的答案。 求三元函數(shù)在約束條件下的最值第一步：構造拉格朗日輔助函數(shù)；第二步：解聯(lián)立方程組 即 得駐點 。第三步：判別駐點為最值點。（若在實際的函數(shù)的定義域內(nèi)駐點是唯一的，討論的問題又有最值，則該駐點為函數(shù)的最值點）。第四步：得出問題的答案。例1 （成都理工大學2013： 文科解答題8分） 要做一個容積為常數(shù)R3的長方體無蓋水池，應如何選擇長方體的長、寬、高，才能使它的表面積最??；例2 要制造一個容積為的圓柱形無蓋茶缸，問茶缸的底半徑與高各為多少時，才能使其用料最省？解 設圓柱形茶缸的底半徑為，高為，表面積為，則

12、 ，且此例實際上是一個條件極值問題，即求函數(shù)在條件下的最小值。構造拉格朗日輔助函數(shù)按題意組成方程組 ，即 解方程組，得： 由問題的實際意義得知，函數(shù)在條件下有最小值，又函數(shù)只有一個駐點因此點是函數(shù)的最小值點。所以茶缸的底半徑、高都為時，其用料最省。例4 要制造一個容積為4立方米的無蓋水箱，問水箱的長、寬、高各為多少時，才能使水箱的用料最省？（二）二重積分1. 理解二重積分的概念及的性質(zhì)。性質(zhì)1 有限個函數(shù)代數(shù)和的積分等于各個函數(shù)積分的代數(shù)和（也叫逐項積分），即 性質(zhì)2 常數(shù)因子可以提到積分號外作因子，即 其中相對積分變量與而言是常數(shù)。性質(zhì)3 （可加性） 二重積分對積分區(qū)域具有可加性，即，若，則

13、 性質(zhì)4 如果在上，為的面積，那么 性質(zhì)5 (比值定理) 如果在上，那么 性質(zhì)6 (估值定理) 設、分別是在上的最大值和最小值，為的面積，那么 性質(zhì)7（二重積分中值定理） 如果在閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，那么在上至少存在一點，使得 2. 掌握直角坐標系下及極坐標系下二重積分的計算方法。（1）型積分區(qū)域： 區(qū)域可表示為： （2）型積分區(qū)域：區(qū)域可表示為： 綜合上所述，在直角坐標系下計算二重積分的一般步驟和方法是： 作出積分區(qū)域示意圖，通過解方程組求出積分區(qū)域邊界曲線交點的坐標； 根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點，決定二次積分的順序； 將區(qū)域看作為型或型積分區(qū)域，并用相應的不等式組表示； 確定每個單積分

14、的積分上（下）限，將二重積分化為二次積分（這是關鍵步驟，尤其是在直角坐標系下交換二次積分順序時，更為重要）； 計算出兩個單積分，得到二重積分的結果。例 1 （攀枝花學院： 理科解答題6分）3、計算二重積分，其中是由曲線和圍成的區(qū)域.例 2 （攀枝花學院： 文科解答題6分）計算二重積分，其中是由曲線和圍成的區(qū)域.例 3 （成都理工大學： 理科及文科解答題8分）計算二重積分：；其中D：；（3）極坐標系下的二重積分的計算當極點與原點重合、極軸正方向與軸正方向重合且有相同長度單位時，平面內(nèi)點的直角坐標與其極坐標有變換關系 ， 顯然，被積函數(shù)可變換為 極點在積分區(qū)域的外部時，積分區(qū)域可用不等式組表示，從

15、而二重積分化為： 極點在扇形積分區(qū)域的頂點處時，積分區(qū)域可用不等式組表示，從而二重積分化為： 極點在積分區(qū)域的內(nèi)部時，積分區(qū)域可用不等式組表示，從而二重積分化為： 極坐標系下計算二重積分的一般步驟和方法是： 根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點選擇適當?shù)淖鴺讼?。如果積分區(qū)域?qū)儆趫A面域、扇面域、圓環(huán)域等與圓有關的區(qū)域，或者被積函數(shù)具有特點時，可以試用極坐標計算二重積分；否則，試用直角坐標計算二重積分。 作出積分區(qū)域示意圖，計算出積分區(qū)域邊界曲線交點的坐標，用幾何直觀法，將區(qū)域看作型、型、極坐標型區(qū)域，并用相應的不等式組來表示。 確定兩個單次積分的上、下限，將二重積分化為二次積分（這是最關鍵的步驟）。 依次計算出兩個單積分（注意