專升本資料5-1(多元函數(shù)微分學(xué))

1、四川省普通高等學(xué)校“專升本”選拔高等數(shù)學(xué)考試大綱（理工類）總體要求考生應(yīng)理解或了解高等數(shù)學(xué)中函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程以及線性代數(shù)的行列式、矩陣、向量、方程組的基本概念與基本理論；掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具備一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次；對(duì)方法和運(yùn)算分為“

2、會(huì)”、“掌握”、“熟練掌握”三人層次。考試用時(shí)：120分鐘考試范圍及要求一 函數(shù)、極限和連續(xù)二 一元函數(shù)微分學(xué)三 一元函數(shù)積分學(xué)四 向量代數(shù)與空間解析幾何五 多元函數(shù)微分學(xué)1. 了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念（對(duì)計(jì)算不作要求），會(huì)求二元函數(shù)的定義域。（1） 多元函數(shù) 二元函數(shù)： 三元函數(shù)： 三元或三元以上的函數(shù)：（2） 二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的圖形是一個(gè)曲面，曲面在面上的投影就是定義域。（3） 二元函數(shù)的定義域一元函數(shù)的定義域: 通?？捎脜^(qū)間（開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間，這些區(qū)間可為有界也可是無(wú)界）或用關(guān)于的不等式表示.二元函數(shù)的定義域: 由使函數(shù)式有

3、意義的點(diǎn)的全體構(gòu)成。通常由一條或幾條曲線（稱為的邊界）圍成的面上的一部分，可用區(qū)域（開區(qū)域、閉區(qū)域、有界開區(qū)域或有界閉區(qū)域，無(wú)界開區(qū)域或無(wú)界閉區(qū)域）。可用關(guān)于、所確定的不等式組表示。（3） 二元函數(shù)的極限 定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義（在點(diǎn)處函數(shù)可無(wú)定義），如果動(dòng)點(diǎn)沿任意路徑趨近于定點(diǎn)時(shí), 總是趨于一個(gè)常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為 或 或 注： 定義中是沿任意路徑的； 若動(dòng)點(diǎn)以某一種特殊方式（沿某特殊直線或曲線）趨于點(diǎn)時(shí)，無(wú)限接近，不能得出的結(jié)論； 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)以不同方式或不同路徑趨于時(shí)，趨于不同值，則一定不存在；（4）二元函數(shù)的連續(xù)性定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)趨近于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)

4、的極限存在， 且等于它在點(diǎn)處的函數(shù)值，即 或 則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 若當(dāng)自變量、的增量、趨近于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的全增量 也趨向于零，即 則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。2. 理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，了解全微分的概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。 （1）偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)：、 、 、， 在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)：、 、， 在任意點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)：、 、 在任意點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)：、 、 、 （2）全微分定義 定義 如果二元函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可以表示為 ： 其中、與、無(wú)關(guān)， 是的高階無(wú)窮小，即 則稱 為函數(shù)在點(diǎn)處的全微分，記為 ， 這時(shí)， 稱函數(shù)在點(diǎn)處可微。如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都

5、可微，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微。 全微分與偏見導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 如果函數(shù)在點(diǎn)處可微，則函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，而且 ，。 （3）函數(shù)的可微性、可偏見導(dǎo)性、連續(xù)性的關(guān)系可微 連續(xù) 的極限存在?？晌?可偏導(dǎo)。的偏導(dǎo)存在且連續(xù) 可微可偏導(dǎo) 與 連續(xù) 沒有關(guān)聯(lián)。例1考察函數(shù) ，在時(shí)的極限是否存在。在處可偏導(dǎo)，求，例2 （成都理工大學(xué)2013：理科選擇題3分）設(shè)，則在處有【 】(A) 在不連續(xù)； (B) 在偏導(dǎo)數(shù)不存在(C) 在連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微； (D) 在可微例 3（攀枝花學(xué)院：理科解答題5分）連續(xù)是可微的（ ）條件.（A）必要 （B）充分 （C）充要 （D）無(wú)關(guān)3. 掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

6、方法。 ：把看成為常數(shù)，把視為的一元函數(shù)，對(duì)求導(dǎo) ：把看成為常數(shù)，把視為的一元函數(shù)，對(duì)求導(dǎo) 、， 、 ， 、 ， 、 、，4. 掌握復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法（包括抽象函數(shù)）。（1）多元復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)，（2） 多元復(fù)合函數(shù)的中間變量為二元函數(shù)， ， （3）多元復(fù)合函數(shù)的中間變量一個(gè)為二元函數(shù)，一個(gè)一元函數(shù)， ， （4）多元復(fù)合函數(shù)為抽象函數(shù)形式若函數(shù)沒有由自變量具體地表示出來(lái)，這樣的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，如 等。例1 （攀枝花學(xué)院：文科解答題5分） 設(shè)，求.例2 設(shè)，求，.例3 設(shè)，求，.5. 會(huì)求二元函數(shù)的全微分（不包括抽象函數(shù)）。例 （成都理工大學(xué)：文科選擇題4分）設(shè)，則【 】(

7、A) (B) (C) (D) 6. 掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。（1） 二元方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： . 例（攀枝花學(xué)院2013：文科解答題5分） 設(shè)由方程確定的一個(gè)隱函數(shù)，求（2） 三元方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ， 例1 （攀枝花學(xué)院：理科解答題5分）求由方程所確定的隱函數(shù)的全微分例2（成都理工大學(xué)2014：理科填空題4分）13設(shè)函數(shù)由方程確定，其中連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ， ；7. 會(huì)求空間曲線的切線和法平面方程，會(huì)求空間曲面的切平面和法線方程。（1）曲面 在其上的點(diǎn)處的切平面方程 切平面的法向量： 切平面方程： 法線方程： （2）曲線 在其上的點(diǎn)處的切線方程 切線的方向向量

8、：， 為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值。 切線方程： 法平面方程： （3）曲線 在其上的點(diǎn)處的切線方程 切線的方向向量： 切線方程： 法平面方程： 例1 （成都理工大學(xué)2013：理科填空題4分）曲線在點(diǎn)的切線方程是： 例2 （成都理工大學(xué)2014：理科選擇題3分）已知曲面上點(diǎn)P處的切平面平行于平面 ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是【 】 （A）(1,-1,2) （B）(-1,1,2) （C）(1,1,2) （D）(-1,-1,2)8. 會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值，會(huì)應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求解一些最大值最小值問題。（1）二元函數(shù)的無(wú)條件極值 定義： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)都有 (或 )則稱為函數(shù)的極

9、大值(或極小值)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極大值的點(diǎn)(或極小值的點(diǎn))稱為極大值的點(diǎn)(或極小值的點(diǎn))，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。極值的必要條件： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，都存在，且在點(diǎn)處有極值，則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即 同時(shí)滿足，的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。 極值存在的充分條件（判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)) 設(shè)是函數(shù)的駐點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，令 ，則 (1) 當(dāng) 且 時(shí)，是極大值，當(dāng) 且 時(shí)，是極小值；(2) 當(dāng) 時(shí)， 不是極值； (3) 當(dāng) 時(shí)，可能是極值，也可能不是極值。 求二元函數(shù)極值的步驟：(1) 求出函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù) 、(2) 解方程組，求出函數(shù)的駐點(diǎn)；(3

10、) 確定駐點(diǎn)處，、的值及的符號(hào)，據(jù)此判斷出該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，并求出極值。例1 （攀枝花學(xué)院：理科解答題7分） 求函數(shù)的極值.例2 求函數(shù) 的極值。 解 （1） 求偏導(dǎo)數(shù)， ， ， （2）解方程組 ， 得駐點(diǎn)及（3） 列表判斷函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)(結(jié)論不是極值是是大極值 函數(shù)只有一個(gè)極大值：（2）拉格朗日乘數(shù)法求解一些最大值最小值（條件極值）在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到自變量有約束條件的函數(shù)的極值問題，這樣的極值稱為條件極值，無(wú)約束條件的極值叫無(wú)條件極值。 求函數(shù) 在約束條件下的最值第一步：構(gòu)造輔助函數(shù) （稱為拉格朗日乘數(shù)）第二步： 解聯(lián)立方程組 即 得駐點(diǎn)第三步：判別駐點(diǎn)為最值點(diǎn)。（若在實(shí)際的函數(shù)的

11、定義域內(nèi)駐點(diǎn)是唯一的，討論的問題又有最值，則該駐點(diǎn)為函數(shù)的最值點(diǎn)）。第四步：得出問題的答案。 求三元函數(shù)在約束條件下的最值第一步：構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)；第二步：解聯(lián)立方程組 即 得駐點(diǎn) 。第三步：判別駐點(diǎn)為最值點(diǎn)。（若在實(shí)際的函數(shù)的定義域內(nèi)駐點(diǎn)是唯一的，討論的問題又有最值，則該駐點(diǎn)為函數(shù)的最值點(diǎn)）。第四步：得出問題的答案。例1 （成都理工大學(xué)2013： 文科解答題8分） 要做一個(gè)容積為常數(shù)R3的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，應(yīng)如何選擇長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，才能使它的表面積最小；例2 要制造一個(gè)容積為的圓柱形無(wú)蓋茶缸，問茶缸的底半徑與高各為多少時(shí)，才能使其用料最?。拷?設(shè)圓柱形茶缸的底半徑為，高為，表面積為，則

12、 ，且此例實(shí)際上是一個(gè)條件極值問題，即求函數(shù)在條件下的最小值。構(gòu)造拉格朗日輔助函數(shù)按題意組成方程組 ，即 解方程組，得： 由問題的實(shí)際意義得知，函數(shù)在條件下有最小值，又函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)因此點(diǎn)是函數(shù)的最小值點(diǎn)。所以茶缸的底半徑、高都為時(shí)，其用料最省。例4 要制造一個(gè)容積為4立方米的無(wú)蓋水箱，問水箱的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，才能使水箱的用料最省？（二）二重積分1. 理解二重積分的概念及的性質(zhì)。性質(zhì)1 有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和（也叫逐項(xiàng)積分），即 性質(zhì)2 常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外作因子，即 其中相對(duì)積分變量與而言是常數(shù)。性質(zhì)3 （可加性） 二重積分對(duì)積分區(qū)域具有可加性，即，若，則

13、 性質(zhì)4 如果在上，為的面積，那么 性質(zhì)5 (比值定理) 如果在上，那么 性質(zhì)6 (估值定理) 設(shè)、分別是在上的最大值和最小值，為的面積，那么 性質(zhì)7（二重積分中值定理） 如果在閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，那么在上至少存在一點(diǎn)，使得 2. 掌握直角坐標(biāo)系下及極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。（1）型積分區(qū)域： 區(qū)域可表示為： （2）型積分區(qū)域：區(qū)域可表示為： 綜合上所述，在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的一般步驟和方法是： 作出積分區(qū)域示意圖，通過(guò)解方程組求出積分區(qū)域邊界曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)； 根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)，決定二次積分的順序； 將區(qū)域看作為型或型積分區(qū)域，并用相應(yīng)的不等式組表示； 確定每個(gè)單積分

14、的積分上（下）限，將二重積分化為二次積分（這是關(guān)鍵步驟，尤其是在直角坐標(biāo)系下交換二次積分順序時(shí)，更為重要）； 計(jì)算出兩個(gè)單積分，得到二重積分的結(jié)果。例 1 （攀枝花學(xué)院： 理科解答題6分）3、計(jì)算二重積分，其中是由曲線和圍成的區(qū)域.例 2 （攀枝花學(xué)院： 文科解答題6分）計(jì)算二重積分，其中是由曲線和圍成的區(qū)域.例 3 （成都理工大學(xué)： 理科及文科解答題8分）計(jì)算二重積分：；其中D：；（3）極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算當(dāng)極點(diǎn)與原點(diǎn)重合、極軸正方向與軸正方向重合且有相同長(zhǎng)度單位時(shí)，平面內(nèi)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與其極坐標(biāo)有變換關(guān)系 ， 顯然，被積函數(shù)可變換為 極點(diǎn)在積分區(qū)域的外部時(shí)，積分區(qū)域可用不等式組表示，從

15、而二重積分化為： 極點(diǎn)在扇形積分區(qū)域的頂點(diǎn)處時(shí)，積分區(qū)域可用不等式組表示，從而二重積分化為： 極點(diǎn)在積分區(qū)域的內(nèi)部時(shí)，積分區(qū)域可用不等式組表示，從而二重積分化為： 極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的一般步驟和方法是： 根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。如果積分區(qū)域?qū)儆趫A面域、扇面域、圓環(huán)域等與圓有關(guān)的區(qū)域，或者被積函數(shù)具有特點(diǎn)時(shí)，可以試用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；否則，試用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分。 作出積分區(qū)域示意圖，計(jì)算出積分區(qū)域邊界曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，用幾何直觀法，將區(qū)域看作型、型、極坐標(biāo)型區(qū)域，并用相應(yīng)的不等式組來(lái)表示。 確定兩個(gè)單次積分的上、下限，將二重積分化為二次積分（這是最關(guān)鍵的步驟）。 依次計(jì)算出兩個(gè)單積分（注意