微積分基本知識(shí)

1、微積分基本知識(shí)第一章、 極限與連續(xù)一、數(shù)列的極限1. 數(shù)列定義：按著正整數(shù)的順序排列起來的無窮多個(gè)數(shù)Xi,|汁Xn,川叫數(shù)列，記作Xn，并吧每個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的 項(xiàng)，第n個(gè)數(shù)叫做數(shù)列 的第n項(xiàng)或通項(xiàng) 界的概念：一個(gè)數(shù)列Xn ，若 M 0，s.t對(duì)n N*，都有Xn M，則稱人是有界的：若不論M有多大，總 m N*， s.t Xm M，則稱Xn是無界的若a Xn b，則a稱為Xn的下界，b稱為xn的上界Xn有界的充要條件：Xn既有上界，又有下界2. 數(shù)列極限的概念定義：設(shè)Xn為一個(gè)數(shù)列，a為一個(gè)常數(shù)，若對(duì)0，總 N , st當(dāng)n N時(shí)，有Xn a則稱a是數(shù)列Xn的極限，記作lim Xn a或xna(

2、n )n數(shù)列有極限時(shí)，稱該數(shù)列為 收斂的，否則為發(fā)散的 幾何意義：從第N 1項(xiàng)開始，Xn的所有項(xiàng)全部落在點(diǎn)a的鄰域(a ,a )3. 數(shù)列極限的性質(zhì) 唯一性收斂必有界保號(hào)性：極限大小關(guān)系數(shù)列大小關(guān)系(n N時(shí))二、函數(shù)的極限1. 定義：兩種情形x Xo :設(shè)f (x)在點(diǎn)Xo處的某去心鄰域有定義，A為常數(shù)，若對(duì) 0，0，st當(dāng)0 x x0時(shí)，恒有f (x) A 成立，則稱f (x)在x x0時(shí)有極限A記作 lim f (x) A或 f (x) A(xx0)X X0幾何意義：對(duì)0，s.t 當(dāng) 0X X0時(shí)，f(x)介于兩直線y Ast當(dāng)0 x x0時(shí)，恒有f (x) A 成立，稱f (x)在X)

3、處有右極限A，記作 lim f(x) A或 f(x) Ax xlim f (x) A的充要條件為：f(x)f(x) = AX x垂直漸近線：當(dāng)lim f (x) 時(shí)，x X。為f (x)在x處的漸近線X x0 X :設(shè)函數(shù)f(x)在X b 0上有定義，A為常數(shù)，若對(duì) 0, X b,st 當(dāng)x X時(shí)，有| f (x) A 成立，則稱f (x)在x時(shí)有極限A，記作im f (x) A 或 f (x) A(x )lim f (x) A 的充要條件為：lim f (x) lim f (x) AXXX水平漸進(jìn)線：若lim f (x) A或lim f (x) A，則y A是f (x)的水平漸近線Xx2.

4、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性局部有界性局部保號(hào)性(在當(dāng)0 |x x0時(shí)成立)三、極限的運(yùn)算法則1. 四則運(yùn)算法則設(shè) f(x)、g(x)的極限存在，lim f(x) A,lim g(x) B 則 lim f(x) g(x) A B limf (x)g(x) AB lim f(x)- (當(dāng) B 0 時(shí))g(x) B lim cf (x) cA ( c為常數(shù)) lim f (x)kAk( k為正整數(shù))2. 復(fù)合運(yùn)算法則設(shè) y f (x)，若 lim (x) a，則 lim f (x) f (a)X X)X X0可以寫成lim f (x) f lim (x)(換元法基礎(chǔ))x X0x X0四、極限存在準(zhǔn)則及兩

5、個(gè)重要極限1 極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則設(shè)有三個(gè)數(shù)列Xn ,yn ,Zn ,滿足YnXnZn,lim ynlim zna貝V lim xnannn單調(diào)有界準(zhǔn)則 有界數(shù)列必有極限3. 重要極限limX 0sin xX1 lim 1 -1或lim 1 x匸 eX 0五、無窮大與無窮小1. 無窮小：在自變量某個(gè)變化過程中l(wèi)im f(x)0 ,則稱f (x)為x在該變化過程中的無窮小探 若f(x) 0，則f(x)為x在所有變化過程中的無窮小若f (x) ，則f(x)不是無窮小性質(zhì)：1.有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小2. 常量與無窮小的乘積為無窮小3. 有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小4. 有極限的量與無窮小的乘積為

6、無窮小5. 有界變量與無窮小的乘積為無窮小定理：lim f(x) A的充要條件是f(x) A (x)，其中(x)為x在該變化中過程中的無窮小無窮小的比較：(趨于0的速度的大小比較)(x),(x)，為同一變化過程中 的無窮小若 lim -c (c 0常數(shù))則是的同階無窮小(當(dāng)c 1時(shí)為等價(jià)無窮小)若 lim -c ( c 0常數(shù))則是的k階無窮小若 lim -0則是的高階無窮小常用等價(jià)無窮小：(x 0) x sin x 怡玄nxarcsinxarctanxln(1 x)NeX 1;x2cosx ； (1IT 2x) 1N x ; ax 1“xlna2無窮大：設(shè)函數(shù)f(x)在xo的某去心鄰域有定義

7、。若對(duì)于 M 0 ,Os.t當(dāng)0 xx0時(shí)，恒有f(x) M稱f(x)當(dāng)xXo時(shí)為無窮大，記作lim f (x)x Xo無窮大定理：lim f (x)無窮小lif)為無窮小(下：趨于某點(diǎn)，去心鄰域不為 0)If)為無窮大探 無窮大的乘積為無窮大，其和、差、商不確定六、連續(xù)函數(shù)1 定義設(shè)函數(shù)y f (x)在Xo某鄰域有定義，若對(duì)0， Ost當(dāng)0 x xo時(shí),恒有： f(x) f(x。)也可記作 lim f (x) f (x0)或 lim y 0x x0x 0f(X) f(X)(或 f(X) f()為左(或右)連續(xù)2 函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)：左右極限存在左右極限相等，該處無定義左右極限不等可去間

8、斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)，震蕩間斷點(diǎn)等3. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算若函數(shù)f (X)與g(x)都在X處連續(xù)，則函數(shù)f (x)f (x) g(x)， f (x)g(x)，( g(x) 0 )g(x)定理：y fg(x)， g(x) U0，若g(x)在x處連續(xù)，f (g)在u處連續(xù)，則yfg(x)在X0處連續(xù)4閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值定理：f (x)在a,b上連續(xù)，貝V x!,x2，對(duì)一切x a,b有f(xjf(x)f(X2)介值定理：f(x)在a,b上連續(xù)，對(duì)于f(a)與f(b)之間的任何數(shù)u，至少 一點(diǎn)s.t f ( ) u導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的概念定義：設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)X0的某鄰域有定義，

9、如果極限lim f (xox) f(X。)x 0存在，則稱函數(shù)y f (x)在點(diǎn)Xo可導(dǎo)，極限值為函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f (xo)單側(cè)導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0處的左側(cè)(x0,x0有定義，若極限lim f (xox) f (xo)x o存在，則稱此極限為函數(shù)xy f (x)在點(diǎn)xo處的左導(dǎo)數(shù)，記為f (xo)，類似有右導(dǎo)數(shù)f (xo)導(dǎo)函數(shù)：函數(shù)y f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)，貝yf (x x) f (x) f (x) limx oxII性質(zhì)：函數(shù)y f (x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)的充要條件f (xo) f (xo)可導(dǎo)連續(xù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)點(diǎn)處的切線斜率二、求導(dǎo)法則1 函數(shù)

10、的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理：若u u(x),v v(x)都在x處可導(dǎo)，則函數(shù)u(x) v(x)在x處也可導(dǎo)，且u(x) v(x) u (x) v (x)定理：若u u(x), v v(x)都在x處可導(dǎo)，則函數(shù)u(x)v(x)在x處也可導(dǎo)，且IIu(x)v(x) u v uv推論：若ui,|,un都在x處可導(dǎo)，則函數(shù)5氏|片在x處也可導(dǎo)，且定理：若u u(x),v v(x)都在x處可導(dǎo)，貝y函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且 v(x)u(x) u v uvv(x)v22 反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理：設(shè)函數(shù)x g(y)在I y上單調(diào)可導(dǎo)，它的值域?yàn)閘x，而g(y)0，則其反函數(shù)y g 1(x) f(x)在區(qū)間lx

11、上可導(dǎo)，并且有f(x)(X。)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)4. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理：若函數(shù)u(x)在X。可導(dǎo)，函數(shù)y f(u)在點(diǎn)uoy f ( (x)在X。處可導(dǎo)f( (x) f( (x) (x)三、高階導(dǎo)數(shù)或dx號(hào)(連鎖規(guī)則)定義：若函數(shù)y f(x)的導(dǎo)數(shù)yf(x)仍可導(dǎo)，貝V y f(x)導(dǎo)數(shù)為y f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作y,f(x)，寫， 類似的，有n階導(dǎo)數(shù)y(n),f(n)(x),ydxdx四、隱函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于 Fx, y(x)0 ,或 Fx, y(x) Gx, y(x)，若求魚dx求導(dǎo)法：方程兩側(cè)對(duì)x求導(dǎo)微分法：方程兩側(cè)求微分I公式法：dy 昌，將方程化成Fx, y=0,將F看成關(guān)于x,y的

12、二元函數(shù)，分dx Fy別對(duì)x,y求偏導(dǎo)Fx,Fy五、參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)x(t) dydydtdy / dxyty(t) dxdJdxdt dt(t)xt導(dǎo)數(shù)公式基本函數(shù)：C 0(x )1x(ax) ax ln a(log ax)1xln a(sin x)cosx1(cos x)sin x1(cot x)2 csc x1(secx)secx ta n x導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:(u v) u v(cscx)(arcsin x)(arccosx)(arcta nx)(arccot x)(Cu)CSC x cot X1廠X211 x2Cu(uv) u v uvuv2 v(u v)(n) u(n)v(n)

13、(n)(uv)nC：uk 0(n k)v(k)高階導(dǎo)數(shù)Cf (axb)(n)Can f (n)(ax b)n (m)(x )m nAn xm,( n N )若m n,則 01 (n)1)啤x(ax)(n)x na In a(log a x)(1)n(si nx)sin(xy)(cosx)(n)cos(x1(n 1)! xn ln a 牛)探 1. o(xn 1) o(x)xn2.叭f(x0)需補(bǔ)充條件f(x)在x0處可導(dǎo)或該極限存在第三章、微分一、微分的概念定義：設(shè)函數(shù)y f(x)在某區(qū)間I上有定義，xo,xox I ，若y f (xo x) f (xo)可表示為y Ax o( x)(其中A與

14、x無關(guān))，則稱A x為y在x0處 的微分，記作dy A x探dy與y的區(qū)別：當(dāng)y為自變量時(shí)，dy y當(dāng)y為因變量時(shí)，dy y， y dy o( x)， dy為y的線性主部定理：對(duì)于一元函數(shù)y f (x)，可導(dǎo) 可微性質(zhì)：一階微分形式不變性，對(duì)于高階微分dny f(n)(x)(dx)n二、微分的幾何意義“以直代曲”三、微分中值定理中值定理?xiàng)l件結(jié)論Rollea,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo), f(a) f (b)至少存在一點(diǎn) ，使得f( ) 0Lagra ngea,b上連續(xù)，(a,b)上可導(dǎo)f(b) f (a) f b aCauchya,b上連續(xù)，(a,b)上可導(dǎo)，g (x)0f(b) f (a)

15、f() g(b) g(a) g()有限增量定理：y f (x x) x (01) L Hospital 法則:0型未定式定值法：f(x),g(x)在x0的某去心鄰域有定義，且0lim f (x) lim g(x) 0 , f (x), g(x)在 x0 的某去心鄰域可導(dǎo)，且 g (x)0x Xox xolim 3x X。g (x)lim 3 A ,則有 lim 3x xo g (x)x xo g(x)0類似，0 ，1，o0， 四、函數(shù)的單調(diào)性與極值1. 單調(diào)性：定理：設(shè)函數(shù)y f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)符號(hào)原函數(shù)單調(diào)性f(x) 0/f(x) 02. 極值定義：設(shè)函數(shù)y

16、 f (x)在點(diǎn)xo某鄰域有定義，若對(duì)該鄰域一切x都有f (xo) f(x)貝U f (xo)是函數(shù)f (x)的一個(gè)極大值，點(diǎn)Xo為函數(shù)f (x)的一個(gè)極大值點(diǎn)。(極小值類似)函數(shù)取得極值的一階充分條件函數(shù)y f (x)在點(diǎn)Xo去心鄰域可導(dǎo)，且在Xo處可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在，貝V：當(dāng)XXo時(shí)，f (X)0， xXo時(shí)，f (X)0,則f(Xo)是極大值當(dāng)XXo時(shí)，f(x)0， xXo時(shí)，f(x)0,則f (Xo)是極小值無論X Xo還是Xx0，總有f(x)0 (或f(x)0 )，則f(Xo)不是極值函數(shù)取得極值的二階充分條件IH函數(shù)y f(x)在點(diǎn)Xo處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f (Xo) 0，f (Xo)

17、 0，則 若f (Xo) 0，則f (Xo)是極小值 若f (Xo)0，則f(Xo)是極大值第四章、不定積分一、不定積分的概念和性質(zhì)1. 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)：設(shè)f(x)在|上有定義，若對(duì) XI，都有F (x) f (x) 或 dF (x) f (x)dx則稱F(x)為f (x)在I上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)存在定理：若函數(shù)f(x)在I上連續(xù)，則在I上 可導(dǎo)函數(shù)F(x)，s.t對(duì)x I，都有F(x)f (x)。即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)不定積分：設(shè)F(x)使f(x)的一個(gè)原函數(shù)，C為任意常數(shù)，稱F(x) C為f(x)的不定積分，記作f(x)dx F(x) C幾何意義：積分曲線族2. 不定積分的性質(zhì)：

18、積分運(yùn)算與微分運(yùn)算為互逆運(yùn)算 f(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx k 0二、換元積分法1. 第一類換元積分法定理：設(shè)f(u)有原函數(shù)，且U (X)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則f (x) (x)有原函數(shù)f (x) (x)dx f(u)du2. 第二類換元積分法定理：設(shè)f(x)連續(xù)，x(t)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(t) 0，則f(x)dx f (t) (t)dt，其中 t 1(x)三、分部積分法IIuv dx uv u vdx四、有理函數(shù)的積分1. 簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分將真分式P(x)分解為部分分式之和Q(x)對(duì)于Q(x)(xa)k形式：應(yīng)分解成k個(gè)部分分式Ax

19、 aA2Ak(x a)2(x a)k對(duì) 于 Q(x) (x2 px q)1應(yīng)分解成I個(gè)部分分式Ci x DiC2 x D2C i x D |，J 2- jx px q (x px q) h (x px q) 求4種積分1,1,Cx D ,Cx D ,dx ,kdx,dx,2pdxx a(x a)x px q(x px q)2其中，對(duì)于Cx Dp4q p2dx，可令 t x , a(x2 px q)124則(xl dx px q) (t adt，再利用遞推法2. 三角函數(shù)有理式的積分sin x萬能變換：ta n2cosx2u1 u21 u21 u2，dx其他方法:形式換元f (sin x,cos

20、 x)f ( sin x,cos x)t cosxf (sin x,cos x)f (sin x, cosx)t sin xf (sin x,cosx) f ( sinx, cosx)t tan x二、tann xdx 與 cotn xdx n N對(duì)于 tann xdx 令 t tanx對(duì)于 cotn xdx 令 t cotx、se(? xdx 與 csC xdx n 為偶數(shù) 對(duì)于 sec? xdx 令 t tan x對(duì)于 cscJ1 xdx 令 t cot x四、sinm xcosn xdx當(dāng)n,m至少有一個(gè)為 奇數(shù)時(shí)，可利用sin2 x cos2 x 1將其轉(zhuǎn)化當(dāng)n,m均為偶數(shù)時(shí)，利用2倍

21、角轉(zhuǎn)化五、d sin x bi cosx ,- dxa sinx bcosxA (a sin x令B(acosx分Cbsin x)解出A,B原函數(shù)為 Ax Blnasinx bcosx分母積分表kdx kx Cxndx1)dxxIn x CaxdxCIn asin xdxcosxcosxdxsin xtan xdx In cosxcot xdxIn sinsecxdxIn secxtanxcscxdx In cscx cotx2sec xtanxcsc xdxcotxsecxtanxdx secx Ccscx cot xdxcotxr1dx arcsin x、1 x21dx arcta n x

22、 C1x2x2a2dx arcta n - adx aXaXaC丄ln2a1xdxarcs in 、a2 x2a1 dx2 2x aIn第五章、定積分、定積分的定義定義：設(shè)函數(shù)f (x)在a,b上有界，在a,b任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)a x0x-iI Xn 1 xn把a(bǔ),b分成 n 個(gè)小區(qū)間，XjXiHi 1,2,|, n)記Xi Xj 1，在第i個(gè)區(qū)間上任取一點(diǎn)i，用f ( i)乘上區(qū)間長(zhǎng)度 x，即f( i) Xj，并作和f( J xi 1記 max x, x2J|, xn ,無論怎么分割，無論怎么取i，若 0時(shí)，nbf( i) xi趨于同一極限，則稱此極限為f (x)在a,b上的定積分.記作

23、f (x)dxaf(x)dxnlim0f( i) xi0 i 1可積定理： 函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù) 函數(shù)f (x)在a,b上有界，且僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) 函數(shù)f (x)在a,b上單調(diào)有界二、定積分的性質(zhì)b kf(x)dxabk f(x)dxab a f(X)g(X)dXbf(x)dxaba g(x)dx區(qū)間可加性bf (x)dxacf(x)dxabf(x)dxcb Cdx (b ab f (x) dxaa)C單調(diào)性:若a,b上f(x) g(x)則ba f(x)dxbf(x)dxaba g (x)dx 估值性質(zhì)：設(shè)M , m分別為f (x)在a,b上的最大值與最小值，則bm(b a) f

24、 (x)dx M (b a)a 定積分中值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，則在區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)，s.tf(x)dxf( )(b a)1 b f (x)在a, b上的平均值為f (x)dxb a aaaa 若f (x)為奇函數(shù)，a f (x)dx 0 ;若為偶函數(shù) a f (x)dx 2 f (x)dx(11)o2 f (sinx)dx。彳 f(cosx)dxo xf (sin x)dxf (sin x)dxf(x)為周期函數(shù),af(x)dx0 f (x)dxTT f (x)dx2nTf (x)dxTn 0 f(x)dx三、微積分學(xué)基本定理1. 變上限函數(shù)x(x) f(t)dt x a,ba定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，則變上限函數(shù) 可導(dǎo)，(x) f(x)2. 原函數(shù)存在定理若f (x)在a,b上連續(xù)，則函數(shù)(x)是f (x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)3. Newt on-Leib niz 公式(微積分基本定理)f(x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在a,b上一