非成像光學(xué)的邊緣光線原理

1、非成像光學(xué)的邊緣光線原理非成像光學(xué)的邊緣光線原理說(shuō)明，從光源到目標(biāo)邊緣的邊緣光線映射能夠應(yīng)用到非成像器件的設(shè)計(jì)。然而，在大多數(shù)的非成像反射器，包括復(fù)合拋物面聚焦器（CPC），至少部分輻射光經(jīng)過(guò)多次反射，一些光線甚至出現(xiàn)被多次反射，最后的檢測(cè)揭示光源的一些邊緣光線沒有映射到目標(biāo)邊緣上，盡管這個(gè)CPC在二維空間是理想的。使用一個(gè)拓?fù)涞姆椒ǎ覀兏纳屏诉吘壒饩€原理的公式，來(lái)確保對(duì)所有的情況都是正確的。我們提出兩種一般原理的不同版本。第一種涉及到不同區(qū)域的邊界與不同數(shù)目的反射器相一致。第二個(gè)版本用僅有的單一反射器來(lái)說(shuō)明，但是它涉及到了一個(gè)增加的輔助相位空間。我們討論邊緣光線原理作為一個(gè)非成像器件的設(shè)計(jì)

2、程序的使用。CPC用來(lái)說(shuō)明論據(jù)的每個(gè)部分。1 說(shuō)明非成像光學(xué)的目標(biāo)是從一個(gè)擴(kuò)展光源傳輸輻射光到目標(biāo)上，用這樣的方法得到在目標(biāo)上的輻射光的詳細(xì)分布。這個(gè)非成像器件的設(shè)計(jì)是基于邊緣光線原理，它說(shuō)明光源的光線從光源的邊緣應(yīng)該到達(dá)目標(biāo)的邊緣。一個(gè)表面的邊緣被定義為通過(guò)光源表面的邊緣或者與它相切。盡管邊緣光線的概念已經(jīng)廣泛的應(yīng)用，但是沒有邊緣光線原理的公式被提出，也沒有嚴(yán)格的證據(jù)證明它的正確性。此外，最簡(jiǎn)單的和看起來(lái)最自然的原理公式在大多數(shù)的非成像系統(tǒng)里被違背了，尤其在復(fù)合拋物面聚焦器（CPC）非成像設(shè)計(jì)的原型中。本文中我們采用一種拓?fù)涞姆椒▉?lái)規(guī)定和證明一般邊緣光線原理。這個(gè)原理可以當(dāng)做非成像光學(xué)器件設(shè)

3、計(jì)的強(qiáng)有力的指南，它是基于折射和反射的基礎(chǔ)（在文章中我們頻繁的使用反射這個(gè)術(shù)語(yǔ)，為了簡(jiǎn)便起見即使反射和折射都被使用）。這個(gè)原理同樣的和非成像光學(xué)的兩個(gè)最重要的應(yīng)用級(jí)別相適應(yīng)，它被稱為采集問(wèn)題（例如，太陽(yáng)能收集器的設(shè)計(jì)，當(dāng)人們想將太陽(yáng)輻射收集到一個(gè)收集器中，它要盡可能的?。┖驼彰鲉?wèn)題（例如，燈具的設(shè)計(jì)，它通過(guò)改變燈的光線方向產(chǎn)生在遠(yuǎn)處目標(biāo)面上希望的照度）。我們分析的一個(gè)必要的假設(shè)是光學(xué)系統(tǒng)的所有的組成都是完美的鏡面：每一條光線傳播有唯一的路徑。既沒有散射也沒有光束的分裂。事實(shí)上我們假設(shè)的沒有損耗的光學(xué)系統(tǒng)是沒有限制的，因?yàn)橛捎谖债a(chǎn)生的損耗通過(guò)簡(jiǎn)單的倍增因素可以很容易的合并。2 相位空間和光學(xué)擴(kuò)

4、展量幾何光學(xué)中，一條光線通過(guò)它一個(gè)參考平面（x，y）的交叉點(diǎn)和它的路徑（kx,ky）的正弦方向描述。因此，一條光線在三維空間中相當(dāng)于在四維空間中被稱為相位空間P的一點(diǎn)。這個(gè)設(shè)計(jì)的目標(biāo)是找出表面反射或者折射系統(tǒng)到給定的相位空間區(qū)域的映射，光源到另一個(gè)給定的目標(biāo)區(qū)域。一個(gè)區(qū)域，也就是可分辨的，在相位空間中反射或者折射表面組成的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的映射。在相位空間定義拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的函數(shù)，一個(gè)最小要求的相位空間被賦予一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也就是一個(gè)相位空間的開子集的定義。我們使用熟悉的笛卡爾四維空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：設(shè)定形式，的開集，這些集合的任意的并集和有限的交集。相位空間的函數(shù)（映射）以拓?fù)涞男问蕉x，如果他在映射和反轉(zhuǎn)時(shí)是

5、連續(xù)的，也就是說(shuō)，他們總是將開集映射到開集。最后，我們定義一系列的光線X的邊界，所有這些光線的集合是所有光線的開集，恰巧是X和X的補(bǔ)的非空交集的組成。集合的閉定義為。本文中使用兩個(gè)原理。第一個(gè)是拓?fù)鋵W(xué)的基本原理：定理1（相位空間邊界）。為了將P區(qū)域映射到另一個(gè)區(qū)域，將第一個(gè)區(qū)域的邊界映射到第二個(gè)的邊界上是必要的和充分的。注意，在單側(cè)極限的情況下定義邊界的映射：也就是，區(qū)域邊緣上的一點(diǎn)的映射當(dāng)做一系列點(diǎn)的極限映射近似為區(qū)域內(nèi)部的邊緣上的點(diǎn)定義。兩個(gè)區(qū)域邊緣上的點(diǎn)映射的差異取決于把這個(gè)點(diǎn)當(dāng)做一個(gè)區(qū)域的邊界還是另一個(gè)的邊界。嚴(yán)格的說(shuō)，這種映射只能被定義在開集中，包括邊界。第二種定理說(shuō)明，光學(xué)系統(tǒng)并不

6、改變相位空間的容量，正如所知的光學(xué)擴(kuò)展量光線通過(guò)它傳輸。光學(xué)擴(kuò)展量是區(qū)域P的一個(gè)測(cè)量方法。如果我們表示一個(gè)相位空間區(qū)域，然后對(duì)于任意不重疊的相位空間區(qū)域的X和Y有， （1）不重疊的意思是交集為空。空集的測(cè)量當(dāng)然是零，但是集合的零測(cè)度不需要是空的。定理2（相位空間容量守恒）。光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生的映射m使光學(xué)擴(kuò)展量守恒：，對(duì)所有的X成立。適用于所有的X，所有意思不包括零測(cè)度的集合，假設(shè)X在非零的測(cè)量。3.特殊的邊緣光線原理定理1是邊緣光線方法的基礎(chǔ)，已經(jīng)應(yīng)用到非成像光學(xué)的設(shè)計(jì)中。試圖把光源的邊緣光線映射到目標(biāo)的邊緣，如果成功了，那么光源的所有光線都能到達(dá)目標(biāo)。這使設(shè)計(jì)問(wèn)題極大簡(jiǎn)化，因?yàn)樵O(shè)計(jì)師不需要擔(dān)心光

7、源內(nèi)部的光線。注意，對(duì)于定理1的正確性的條件是：映射必須是連續(xù)的。在大多數(shù)情況下，這個(gè)條件不能滿足整個(gè)映射。從圖1中的CPC很容易看到。一些光線直接到達(dá)目標(biāo)；其他的經(jīng)過(guò)一次或者多次反射到達(dá)目標(biāo)。在不同的反射區(qū)域的邊界的映射是不連續(xù)的。相當(dāng)一般的，間斷點(diǎn)出現(xiàn)在光線通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的任何一個(gè)反射面的邊緣。因此，邊緣光線原理需要更仔細(xì)的公式。以說(shuō)明有限制的版本開始，只有在沒有從光源射出的光線到達(dá)光學(xué)系統(tǒng)的邊緣才有效（例如，當(dāng)所有的光線經(jīng)過(guò)相同數(shù)量的反射面）。版本1（特殊的邊緣光線原理）。光源S連續(xù)不斷的映射到目標(biāo)T上，S的邊界到T的邊界的映射是必要的和充分的（necessary and sufficie

8、nt）。這么翻不知道合適不。這個(gè)版本是定理1的直接應(yīng)用。成功的應(yīng)用到非成像系統(tǒng)的連續(xù)映射的設(shè)計(jì)中，它基于材料的梯度指數(shù)。在接下來(lái)的部分里概括這個(gè)原理應(yīng)用在具有間斷點(diǎn)的映射和說(shuō)明在非成像系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。在基于反射器的系統(tǒng)中這些非連續(xù)的映射是典型的。4.復(fù)合拋物線集光器和邊緣光線原理既然例子是有幫助的，首先提出一個(gè)CPC的更加詳細(xì)的討論，如圖1所示。雙邊界的CPC將所有的光線以一定的角度從入射（大）孔徑完美的映射到出射（?。┛讖健１疚闹胁捎靡欢ㄈ肷浣欠植嫉娜肷淇讖綖楣庠?，以出射孔徑為目標(biāo)面。相位空間區(qū)域與光源和目標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系在圖2中描述出。注意哪些重疊區(qū)域。根據(jù)反射器的數(shù)字用下標(biāo)標(biāo)出。標(biāo)有和的

9、不需要反射。雙邊界CPC反射器的每一邊的映射，標(biāo)記的部分對(duì)應(yīng)于目標(biāo)上。然而，如圖3所示，CPC違反了嚴(yán)格的邊緣光線原理，因?yàn)楣庠催吔绲牟糠止庥成涞搅四繕?biāo)內(nèi)部的一系列曲線上。反向映射具有相同的性質(zhì)。利用對(duì)稱的優(yōu)點(diǎn)，今后只要關(guān)注反射器的一半。圖1，設(shè)計(jì)CPC，所以的光線進(jìn)入孔徑以角度范圍，經(jīng)過(guò)反射到達(dá)目標(biāo)的左邊緣或者右邊緣。圖2，光源和目標(biāo)的相位空間。標(biāo)有的區(qū)域是重疊的。反射器必須將標(biāo)有的光源區(qū)域?qū)?yīng)到目標(biāo)區(qū)域。圖3，CPC的T區(qū)域和S區(qū)域的邊界的有效映射。并不是S的邊界上所以光線都能映射到T的邊界上。部分映射到T內(nèi)部的一系列的拱形區(qū)域，集中在h。類似的，T的邊界出射的光到S內(nèi)部的一系列的拱形區(qū)域

10、，集中在g。圖4，CPC的T區(qū)域和S區(qū)域的邊界映射的全貌圖。經(jīng)過(guò)不同數(shù)目的反射，曲線分割光線區(qū)域，以標(biāo)記。反射光集中在h。有效映射在邊界是不連續(xù)的。巢狀的序列的全貌圖如圖4所示。經(jīng)過(guò)不同數(shù)目的反射曲線劃分區(qū)域。這個(gè)序列是無(wú)限制的，集中在光源標(biāo)記為g的光線（見圖3），光源末端到反射器的切線，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的反射出現(xiàn)最終在目標(biāo)末端的切線標(biāo)記h，被稱為whisper gallery模型。可以看出一系列曲線集中在相同拋物線的一系列中心截面。長(zhǎng)度減少1/n；所以光線的展度反射了n次或者更多，對(duì)于大的n，減少相應(yīng)的為。5.有效的非連續(xù)映射如果將這個(gè)映射看做有限的反射面產(chǎn)生的，映射定義在整個(gè)P上，然后很明顯的看

11、出映射的光線在反射器的突出邊緣是不連續(xù)的。光線區(qū)域的外邊和光學(xué)系統(tǒng)相交，在系統(tǒng)區(qū)域R光線是不改變的。此外，如果光線已經(jīng)由光學(xué)系統(tǒng)反射或者折射，再一次和有效的反射面或者折射面相交，光線將再一次的被傳播，這個(gè)過(guò)程不斷重復(fù)直到光線從光學(xué)系統(tǒng)中射出。如果指定m作為只有一次反射或者折射的光學(xué)系統(tǒng)的主要映射，有： （2）另一方面，有效映射M是每一條光線追跡觀察到的，經(jīng)過(guò)很多次的反射 直到不再和反射器相交。的定義只有在反射有限數(shù)目n時(shí)才有意義： （3）包括M中的零反射映射（恒定）?？臻g的每條路徑能夠傳輸光線的兩個(gè)方向的一個(gè)。給定光線，指出光線以和方向相反的路徑傳輸。光路的可逆性意思是，如果有反射器映射，同樣

12、有映射。對(duì)于基本的映射和有效的映射這是事實(shí)。指出R，所有的光線經(jīng)過(guò)反射器的反射。然后這個(gè)區(qū)域的所有光線經(jīng)過(guò)反射器反射，反射器定義為或者。區(qū)域包含經(jīng)過(guò)多次反射的光線。這個(gè)縮略圖在圖5所示。這個(gè)區(qū)域受反射器邊緣光線的約束。反射器的切線也是邊緣光線，反射器本身形成的邊界部分。對(duì)于凸面反射器是空集。注意，盡管這個(gè)基本映射是連續(xù)的，有效映射M通常不是的。更具體的說(shuō)，如果定義,那么有效映射在是不連續(xù)的，經(jīng)過(guò)不同次數(shù)的反射得到的分離區(qū)域的邊界。區(qū)域S中給出點(diǎn)等，有效映射在區(qū)域等，下標(biāo)0,1,2，等都是獨(dú)立的反射。這就構(gòu)成了S和T的區(qū)域劃分： （4）圖5, R表示光線區(qū)域經(jīng)反射器反射，表示反射的光線區(qū)域。的交

13、叉區(qū)表示多次反射。邊緣部分用一個(gè)窄的表示有效映射的不連續(xù)的箭頭標(biāo)記。圖6，從光源到目標(biāo)經(jīng)過(guò)n次反射的區(qū)域的有效映射。在邊界上標(biāo)記Sa到Sd的點(diǎn)，這些劃分的邊界片映射到相應(yīng)的目標(biāo)區(qū)域的邊界點(diǎn)Ta到Td，兩點(diǎn)間是相互獨(dú)立的。有效映射是分段連續(xù)的；也就是說(shuō)，他們?cè)诔藙澐炙麄兊倪吔缇€外，這些分離部分是連續(xù)的。從而，邊緣光線原理的一般形式用公式表示：版本2（分段連續(xù)映射的一般邊緣光線原理）為了光源區(qū)域S有效的映射到目標(biāo)區(qū)域T，遵守嚴(yán)格的邊緣光線原理是必要的和成分的，通過(guò)有效映射（所以的反射映射）M，區(qū)域S和T的所有部分定義反射數(shù)目i：。圖6舉例說(shuō)明，區(qū)域邊界經(jīng)過(guò)n次反射怎樣在二維CPC上有效的映射。注

14、意，這個(gè)片是整個(gè)光源的邊界映射到目標(biāo)區(qū)域中不同反射次數(shù)的分離區(qū)域的內(nèi)部的邊界，反之亦然，光源的內(nèi)部邊界映射到目標(biāo)的邊界上。這個(gè)原理蘊(yùn)含著對(duì)設(shè)計(jì)師來(lái)說(shuō)不合適的特性：設(shè)計(jì)師不得不檢測(cè)大量的潛在的相位空間區(qū)域來(lái)核實(shí)所有的反射映射滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)。對(duì)于一般的設(shè)計(jì)程序，完全按照一個(gè)反射映射工作是更好的。在第六部分指出這個(gè)的切實(shí)可行性。6.基本映射的一般邊緣光線原理為達(dá)到這個(gè)目的，引入輔助的相位空間區(qū)域A，和S或者T不重合，分到了的一般邊界和的一般邊界。除了這些輔助區(qū)域的精確性質(zhì)這些點(diǎn)不是我們關(guān)心的。注意，這個(gè)邊界不包括的一般邊界和A：,在目標(biāo)區(qū)有相似的結(jié)論。假設(shè)已知光學(xué)系統(tǒng)完成的連續(xù)基本映射m，如此一致邊緣

15、映射到邊界。由于定理1知，這個(gè)等于到基本映射?，F(xiàn)在表明，到的基本映射m的存在意味著有效映射M由S映射到T。因此一般的邊緣光線原理按照基本映射用公式表示。為了促進(jìn)實(shí)驗(yàn)使用一個(gè)相似的可比擬的光學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜系統(tǒng)，找出如果光線最終從某一出口射出。這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)（maze）A入口是，出口是。分段連續(xù)的映射的一般邊緣光線原理類似于追跡復(fù)雜系統(tǒng)中的每一條可能的路徑。現(xiàn)在尋找類似的總體驗(yàn)證，這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)沒有其他的出口光線也不能在里面積累。如果m 由映射到，的任何光線都將反射到或者永久的收集在A中。表示這些光線的集合，經(jīng)過(guò)n次反射到達(dá)，A內(nèi)光線收集的集合,和公式（4）類似。指出的光學(xué)擴(kuò)展量為零。和是經(jīng)過(guò)總數(shù)為n的

16、反射的光線集合，或者經(jīng)過(guò)k次反射后永久的收集。很明顯， 。這些集合是相互分離的，也就是不重疊： （5） 這些并集是： (6)光學(xué)擴(kuò)展量在每個(gè)反射面上是守恒的；所以可以寫成： （7）利用定理2敘述（6），得到： (8)如果A, ,是有限值，那么不等式（8）；的集合意味著；換句話說(shuō)，的幾乎所有的光線經(jīng)過(guò)有限次的反射最終到達(dá)。 為了直觀的解釋這個(gè)結(jié)果，觀察映射m從的外側(cè)的集合傳輸?shù)降牟糠謨?nèi)側(cè)的集合。自從保存光學(xué)擴(kuò)展量，m的每一個(gè)連續(xù)應(yīng)用減少了集合的體積，留在外邊通過(guò)總數(shù)到達(dá)。是否存在的子集，永遠(yuǎn)映射不到上，無(wú)論這個(gè)m的應(yīng)用的數(shù)量有多大？上面的論證表明這樣的子集必須有零光學(xué)擴(kuò)展量。注意，數(shù)學(xué)上的子集可

17、能包含無(wú)窮多光線和零測(cè)度。然而，物理上因?yàn)槟芰棵芏仍谙辔豢臻g總是有限的，這些病態(tài)（pathological）光線的總能量是零。已經(jīng)證明基本映射m的存在，也就是映射到，意味著有效映射M由S映射到T，現(xiàn)在說(shuō)明反過(guò)來(lái)也是對(duì)的：如果有S到T的有效映射M，那么存在一個(gè)輔助的區(qū)域A，以至于基本映射m由映射到。為了這個(gè)目的定義集合A： （9）有： (10)接下來(lái)的敘述總結(jié)這個(gè)部分：版本3（依據(jù)基本映射的一般邊緣光線原理）。從光源區(qū)域S到目標(biāo)區(qū)域T的所有光線的有效映射，找出區(qū)域A和到的基本映射m是必須的和充分的。為此邊緣首先映射到時(shí)必須的和充分的。在版本3中描述的特別的邊緣光線原理相當(dāng)于集合A是空集。附帶說(shuō)明

18、，注意在公式（8）的首項(xiàng)的第二個(gè)求和可以計(jì)算，公式（8）變成： (11)于是出現(xiàn)結(jié)果，平均反射次，認(rèn)為光線從到滿足： (12)如果公式（8）是等式，那么不等式（12）也變成等式。7.非成像裝置的設(shè)計(jì)在原理的版本3和設(shè)計(jì)程序之間建立關(guān)系，注意大多數(shù)的非成像反射器在設(shè)計(jì)時(shí)都考慮到了經(jīng)過(guò)一次反射的邊緣光線。因此反射器的選擇以至于從光源的邊緣發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)一次反射到達(dá)目標(biāo)的邊緣。這個(gè)判決的必要條件是沒一點(diǎn)上反射器的傾斜，伴隨著開始點(diǎn)的選擇連續(xù)的解決方案；這個(gè)解決方案知道反射器的邊緣都是連續(xù)的，這里反射器可是和光源和目標(biāo)相交叉，或者是已經(jīng)被用來(lái)決定反射器的另一部分的邊緣光線。然而這種設(shè)計(jì)是由基本映射決定

19、的，但是基本映射只是將光源的部分發(fā)射到目標(biāo)的部分上。必須核實(shí)有效映射的多次反射部分除了目標(biāo)沒有溢出量。傳統(tǒng)上看這個(gè)已經(jīng)很明白了，類似于在一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)中追跡所有可能的路徑。對(duì)于這些確定相位的一般邊緣光線原理依據(jù)基本映射提供一個(gè)可選擇的方案，因?yàn)榛居成鋯为?dú)的滿足保證的方案。對(duì)于這些確定的相位當(dāng)做輔助的集合A，所有的光線的集合不止一次的反射，在第五部分只能夠定義的.沒有理由加入到A中的任何光線不轉(zhuǎn)移到R中，因?yàn)檫@些光線在m中是無(wú)效的。如果在輔助集合中的一點(diǎn)不屬于，它也不滿足，當(dāng)然S中的點(diǎn)不需要增加，應(yīng)經(jīng)在上面解釋過(guò)了。因此不需要比更長(zhǎng)的輔助集合A。現(xiàn)在可以核實(shí)邊緣光線原理版本3?？梢杂^察有效映射

20、是理想的。說(shuō)明產(chǎn)生CPC的步驟，使用在圖7中給出的相位空間圖。各種區(qū)域的邊界用標(biāo)出標(biāo)出：·輔助區(qū)域由d-g-h-i-d 圍成； ·由d-f-e-k-g-d圍成；·由d-c-b-a-j-h-i-d圍成；·圓弧g-h是反射器切線的集合；·由d-f-e-k-g-h-i-d圍成；·由d-c-d-a-j-h-g-d圍成。給定和，設(shè)計(jì)者只需要裁剪反射器使得的邊界經(jīng)過(guò)一個(gè)單獨(dú)的反射面到達(dá)的邊界。這個(gè)步驟產(chǎn)生的反射器遵循下面的邊界映射：d-f映射到j(luò)-a-b（實(shí)際上，a和b代表相同的光線）；f-e映射到b-c；e-k映射到c-d。現(xiàn)在反射器接觸光源和目標(biāo)，不能夠擴(kuò)展更遠(yuǎn)。邊界j-d-k部分仍然是開集。它包含多重反射，但是設(shè)計(jì)師不需要考慮這些。為了核實(shí)設(shè)計(jì)作品，設(shè)計(jì)師定義了一個(gè)輔助的區(qū)域，由g-h-i-d-g圍成?，F(xiàn)在設(shè)計(jì)師很容易驗(yàn)證：·g-h映射到g-h因?yàn)檫@些點(diǎn)代表切線；·h-d(A邊)映射到h-j（T邊）；·k-g（S邊）映射到g-d（