高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的意義求導(dǎo)法則與高階導(dǎo)數(shù)知識(shí)與練習(xí)

1、導(dǎo)數(shù)的意義基本知識(shí)1導(dǎo)數(shù)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的定義：       左、右導(dǎo)數(shù)    導(dǎo)函數(shù) 2導(dǎo)數(shù)的幾何物理意義：   幾何意義： 表示曲線 在點(diǎn) 處的切線斜率，即 其中 是切線的傾角。   物理意義： 表示做變速直線運(yùn)動(dòng) 的物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即 。3 在 點(diǎn)可導(dǎo)的性質(zhì)：   性質(zhì)1（必要條件） 在 點(diǎn)可導(dǎo) 在 點(diǎn)連續(xù)，            

2、          即： 可導(dǎo)連續(xù)，不連續(xù)不可導(dǎo)。   性質(zhì)2（充要條件） 依此用于判定連續(xù)函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性。   性質(zhì)3 在 點(diǎn)可導(dǎo)且 ：               當(dāng) 有             &#

3、160;  當(dāng) 有 即 的符號(hào)指示了 在點(diǎn) 變化方向！4兩個(gè)結(jié)論：1）可導(dǎo)的偶（奇）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇（偶）函數(shù)；             2）可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為具有相同周期的周期函數(shù)。   下面給出結(jié)論1的證明：   設(shè) 為偶函數(shù)，即 又 可導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，              

4、0;                             即 為偶函數(shù)。求導(dǎo)的基本知識(shí)1.求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算法則）：  若 都在點(diǎn) 具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在 具有導(dǎo)數(shù)，且2.反函數(shù)的求導(dǎo)法則：  若 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)，可導(dǎo)且 ，則它的反函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)也可導(dǎo)，且 即“反函數(shù)

5、的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)”。3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：  若 可導(dǎo)， 則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo)，且 4.常用求導(dǎo)公式：（略）5.補(bǔ)充兩個(gè)結(jié)論：  點(diǎn)連續(xù)且 ，         則 點(diǎn)可導(dǎo) 點(diǎn)可導(dǎo)。點(diǎn)連續(xù)且 ，         則 點(diǎn)可導(dǎo) 點(diǎn)可導(dǎo)且 。       依此，可方便地判定 在一點(diǎn)的可導(dǎo)性。  點(diǎn)可導(dǎo)， 點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)， 

6、0;       則 在 點(diǎn)可導(dǎo)        即若 在 點(diǎn)不可導(dǎo)，         若 在 點(diǎn)可導(dǎo)且       依此，可用于判定可導(dǎo)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)之積函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)性。證明： （或 ）             

7、60;        有 （或 ）                                          &

8、#160;               （或 ）            點(diǎn)可導(dǎo) 點(diǎn)可導(dǎo)              且 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)         

9、;         點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 。        點(diǎn)可導(dǎo) 存在                                    

10、                     或                               &#

11、160;                     即 。        設(shè)           由             

12、60;                                   知 點(diǎn)可導(dǎo)且          設(shè) 點(diǎn)可導(dǎo)，反證之，若      

13、0;        由 知 ，由 、 點(diǎn)可導(dǎo)且   知 點(diǎn)可導(dǎo)與條件 點(diǎn)連續(xù)矛盾               高階導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)1.高階導(dǎo)數(shù)定義: 二階導(dǎo)數(shù)：   階導(dǎo)數(shù)： 2.高階導(dǎo)數(shù)的基本公式：        （ 任意數(shù)）  、 簡(jiǎn)記為 、 ， 、 階可導(dǎo)，    &

14、#160;        重點(diǎn)難點(diǎn)1.求一給定的函數(shù) 的任意階導(dǎo)數(shù)即 ，常用如下方法： （1）歸納法：先逐一求出 的一、二、三階導(dǎo)數(shù)，然后正確歸納 的公式（必要時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明之）。 （2）分解法：通過恒等變形將 分解成 ，求出 、 ，則有 。 （3）用萊布尼茲公式求乘積函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)。 （4）利用簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)公式。2.求高階導(dǎo)一般比較麻煩，應(yīng)先化簡(jiǎn)變成基本公式中的形式，再套用公式。 例（1）求有理分式的高階導(dǎo)時(shí)，應(yīng)先化為真分式和多項(xiàng)式之和，而真分式分解成若干次數(shù)較低的分

15、式之和，此后再求導(dǎo)。   （2）求三角函數(shù)的高階導(dǎo)時(shí)，通過倍角公式或積化和差將其化為若干個(gè)基本三角函數(shù)的代數(shù)和，再行求導(dǎo)。   （3）反三角函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，因反雙曲、對(duì)數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)都是代數(shù)函數(shù)，它們的高階導(dǎo)即求代數(shù)函數(shù)的低一階的導(dǎo)數(shù)。3.計(jì)算帶有 或分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)先把復(fù)合函數(shù)按分段函數(shù)正確表達(dá)，再逐次求導(dǎo)；在分段點(diǎn)若一階導(dǎo)不存在，則二階導(dǎo)不必計(jì)算；若存在，應(yīng)根據(jù)一階導(dǎo)的分段表達(dá)式再按導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算，步驟比較多，不要遺漏。習(xí)題選解1. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（10）  解：（采用逐階求導(dǎo)法解之）   

16、   （11） 解：     3.若 存在，求下列函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù) ：（1）  解：             （2）  解：               4.試從 導(dǎo)出：（1）           （

17、2）  證明：（1）       （2） 注： 、 等仍是 的函數(shù)6.驗(yàn)證 （ 、 、 常數(shù)）滿足關(guān)系式 。證明：只須算出 ，再驗(yàn)證之                            8. 求下列函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式：（2）  解：    （4）

18、解：由乘積函數(shù)的萊布尼茲公式和 得：    9. 求下列函數(shù)所指定的階的導(dǎo)數(shù)：（2） 求 . 解： 的高階導(dǎo)數(shù)都為零，應(yīng)該用萊布尼茲公式計(jì)算本題    在線檢測(cè)1.設(shè) 有 階導(dǎo)數(shù)，求證： .2. 求下列函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù) ：（1）       （2）     （3） 3.求 在 處的 階導(dǎo)數(shù)。4.設(shè) ， 具有二階導(dǎo)，求 .【答案：1.略  2.（1） 提示： ，注意    （2） 提示：變形  

19、60;                                                                           &