一次函數(shù)與方程和不等式講義(經(jīng)典)

1、一次函數(shù)與方程和不等式講義函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。1、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描 出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用 平滑曲線連接起來(lái)）。2、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù) 之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系， 但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖

2、象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。3、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，kw0）勺函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx （k不為零）k不為零 x指數(shù)為1 b取零當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨 x的增大y也增大；當(dāng)k<0 時(shí)，？直線 尸kx經(jīng)過(guò)二、四象限，從左向右下降，即隨 x增大y反而減小.解析式：y=kx （k是常數(shù)，kwQ（2）必過(guò)點(diǎn)：（0, 0）、 （ 1, k）（3）走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限； k<0時(shí)，？圖像經(jīng)過(guò)二、四象限（4）增減性：k>0, y

3、隨x的增大而增大；k<0, y隨x增大而減?。?）傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸4、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如 y=kx+b（k,b是常數(shù)，kO）那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+ b即 y=kx,所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式 y=kx+b （k不為零）k不為零 x指數(shù)為1b取任意實(shí)數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)（0, b）和（一衛(wèi)，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線 y=kx平移| b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng) b<0 時(shí)，向下平移）（1）解析式：y=kx

4、+b（k、b是常數(shù)，k 0（3）走向：k>0,圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；b>0,圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限;k 0 直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限b 0k 0直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限b 0（4）增減性：k>0, y隨x的增大而增大;（2）必過(guò)點(diǎn)：（0, b）和（一2 , 0） kk<0,圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限b<0,圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限k 0直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限b 0k 0直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限b 0k<0, y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于 y軸；|k|越小，圖象越接近于 x軸.（6）圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移

5、b個(gè)單位;（上加下減，左加右減）當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移 b個(gè)單位.5、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系（2）兩直線相交：k1 k2（4）兩直線垂直：k1 k2= 1（1）兩直線平行：k1=k2且b1b2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b26、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；(3)解方程得出未知系數(shù)的值；(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式7、一元一次

6、方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為 ax+b=0 (a, b為常數(shù)，aw。的形式，所以解一元一 次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為 0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng) 于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.8、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k,b為常數(shù)，k用)的形式，可見(jiàn)一元一次方程是一次函數(shù)的一個(gè)特例，這就是說(shuō)，在 y=kx+b中，當(dāng)y=0時(shí)，即為一元一次方程.9、一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系：(1)任何二元一次方程 ax+by=c(a,b,c為常數(shù)，且aR,b4)都可以化為y=-ax+ £的

7、形式， b b所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)著一個(gè)一次函數(shù)；(2)從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)考慮求自變量為何值時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是多少；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條相應(yīng)直線的交點(diǎn)坐標(biāo).10、一次函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積一次函數(shù)y=kx+b的圖象與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與y軸的交點(diǎn)(0, b),與x軸的交點(diǎn)(擔(dān)，k0).一 一 1 b i.i b2直線y =(bw。與兩坐標(biāo)軸圍成白二角形面積為s= b 2 k21k例題講解：探究類型之一一次函數(shù)與一元一次方程綜合【例1】已知直線y (3m 2)x 2和y 3x 6交于x軸上同一點(diǎn)，m的值為()A.2B.

8、2C.1 D. 0【例2】 已知一次函數(shù)y x a與y x b的圖象相交于點(diǎn)m ,8 ,則a b .【例3】已知一次函數(shù)y kx b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0, 1 ,3 ,則不求k ,b的值， 可直接得到方程kx b 3的解是x .類似性問(wèn)題1、把直線y=-x+3向上平移m個(gè)單位后，與直線y=2x+4的交點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍是()<m<7<m<4>1<4探究類型之二一次函數(shù)與一元一次不等式【例4】已知一次函數(shù)y 2x5.（1）畫出它的圖象；（2）求出當(dāng)x 3時(shí)，y的值；（3）求出當(dāng)y 3時(shí)，x 2值；（4）觀察圖象，求出當(dāng) x為何值時(shí)，y 0 , y 0

9、, y 0【例5】 當(dāng)自變量x滿足什么條件時(shí)，函數(shù) y 4x 1的圖象在：（1） x軸上方；（2） y軸左側(cè)；（3）第一象限. 已知yi x 5, y2 2x 1 .當(dāng) y2時(shí)，x的取值范圍是（）1A. x 5B. x -C. x 6 D. x 62【例6】已知一次函數(shù)y 2x 3（1）當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù) y的值在1與2之間變化（2）當(dāng)x從2到3變化時(shí)，函數(shù)y的最小值和最大值各是多少類似性問(wèn)題141、如圖函數(shù)"=,"亍+3，21>"時(shí)，乂的取值氾?。?、如圖，直線y=kx+b交坐標(biāo)軸于A (-3, 0) , B (0, 5)兩點(diǎn)，則不等式-kx-b<0

10、的解集為（）A. x> -3B. x< -3C. x> 3D. x<33、如圖，直線yi=kx+b過(guò)點(diǎn)A (0, 2),且與直線y2=mx交于點(diǎn)P (1, m),則不等式組mx>kx+b>mx-2的解集是探究類型之三 一次函數(shù)、方程(組)、不等式(組)與幾何等知識(shí)的綜合例3、已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1, -5),且與函數(shù)y=1x+1的圖象2相交于點(diǎn)A ( 8 , a) . 3(1)求a的值;(2)求不等式組0<kx+b< 1x+1的正整數(shù)解；2(3)若函數(shù)y=kx+b圖象與x軸的交點(diǎn)是B,函數(shù)y= x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)2是C,

11、求四邊形ABOC的面積.例4、如圖，A (0, 1) , M (3, 2) , N (4, 4).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸 以每秒1個(gè)單位的速度向上移動(dòng)，且過(guò)點(diǎn) P的直線l： y=-x+b也隨之移動(dòng)，設(shè)移 動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t=3時(shí)，求直線l的解析式;(2)若點(diǎn)M, N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍;(3)直接寫出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.類似性問(wèn)題1.某單位急需用車，但又不準(zhǔn)備買車，他們準(zhǔn)備和一個(gè)個(gè)體車主或一國(guó)營(yíng)出租車公司簽訂月租車合同.設(shè)汽車每月行駛 x (cm),應(yīng)付給個(gè)體車主的月費(fèi)用為 yi元，？應(yīng)付給汽車 出租公司的月費(fèi)用為 y2元，yi, y2分別與x之間的函

12、數(shù)關(guān)系的圖像 (兩條射線)如圖所示, 觀察圖像回答下列問(wèn)題：(1)每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)，租出租公司的車合算(2)每月行駛的路程等于多少時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同(3)如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程為2300km,那么這個(gè)單位租哪家車合算2.某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買若干臺(tái)電腦, 并且多買都有一定的優(yōu)惠.甲商場(chǎng)的優(yōu)惠條件是：第一臺(tái)按原報(bào)價(jià)收費(fèi)，其余每臺(tái)優(yōu)惠25%,那么甲商場(chǎng)的收費(fèi)yi (元)與所買電腦臺(tái)數(shù) x之間的關(guān)系式是.乙商場(chǎng)的優(yōu)惠條件是：每臺(tái)優(yōu)惠20%,那么乙商場(chǎng)的收費(fèi) y2 (元)與所買電腦臺(tái)數(shù) x之間的關(guān)系式是.(1)什么情況下到甲商場(chǎng)購(gòu)買更優(yōu)惠(2)什么情況下到乙商場(chǎng)購(gòu)買更優(yōu)惠(3)什么情況下

13、兩家商場(chǎng)的收費(fèi)相同探究應(yīng)用拓展性訓(xùn)練1 .(與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系的應(yīng)用題)某單位要制作一批宣傳材料.甲公司提出：每份材料收費(fèi)20元，另收3000元設(shè)計(jì)費(fèi)；乙公司提出：每份材料收費(fèi) 30元，不收設(shè)計(jì)費(fèi).問(wèn)：讓哪 家公司制作這批宣傳比較合算2 .(學(xué)科內(nèi)綜合題)下圖表示學(xué)校浴室淋浴器水箱中的水量y (L) ?與進(jìn)水時(shí)間x (min)的函數(shù)關(guān)系.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)進(jìn)水多少分鐘后，水箱中的水量超過(guò) 100L150I Of)5010 50 100 /min3.小明準(zhǔn)備將平時(shí)的零用錢節(jié)約一些儲(chǔ)存起來(lái)，他已存有50元，從現(xiàn)在起每個(gè)月存12元.(1)試寫出小明的存款數(shù)與從現(xiàn)在開始的月份數(shù)之間的函

14、數(shù)關(guān)系式.(2)小明的同學(xué)小麗以前沒(méi)有存過(guò)零用錢，聽(tīng)到小明在存零用錢，?表示從現(xiàn)在起每個(gè)月存18元，爭(zhēng)取超過(guò)小明.請(qǐng)你在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出小明和小麗存款數(shù)和月份數(shù)的函數(shù)關(guān)系的圖像.半年以后小麗的存款數(shù)是多少能否超過(guò)小明 的存款數(shù)超過(guò)小明?至少幾個(gè)月后小麗4.(探究題)某企業(yè)急需一輛汽車，但無(wú)資金購(gòu)買，公司經(jīng)理決定租一輛汽車,?使用期限為一個(gè)月.甲汽車出租公司的出租條件為每千米的租車費(fèi)為 1.2元，？乙汽車出租公司的 條件是每月須支付司機(jī) 800元的工資，另外每千米的租車費(fèi)為 1元，設(shè)在這一個(gè)月中汽車 行駛x (km),租用甲公司的費(fèi)用為 y1(元)，租用乙公司的費(fèi)用為 y2 (元).

15、(1)試分別寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)汽車行駛路程為多少千米時(shí)，租用乙公司的汽車合算一次函數(shù)與方程和不等式課后練習(xí)1: 一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則方程 kx+b=0的解為()3:已知一次函數(shù)不等式a (x 1)4:如圖,A. x=2 B. y=2C. x= 1 D. y= 12： 一次函數(shù)y=ax+b的圖象如圖所示，則不等式 ax+b > 0的解集是()A. xv 2 B. x> 2C. xv 1D. x>1 y=ax+b的圖象過(guò)第一、二、四象限，且與 x軸交于點(diǎn)(2, 0),則關(guān)于x的b>0的解集為（）A. xvD. x< 1B.

16、x>1 C. x> 1已知函數(shù) y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn) P,則根據(jù)圖象可得，關(guān)于x、y的二元5:如圖，以兩條直線11, 12的交點(diǎn)坐標(biāo)為解的方程組是 ()A.x y 12x y 1B.x y 12x y 1C.x y 12x y 1D.x y 12x y 1y=mx+n與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)y=mx相交于點(diǎn)A( 1,2),6: (1)已知關(guān)于x的方程 mx+n=0的解是x= 2,那么，直線 是.(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB: y=kx+b與直線OA:則關(guān)于x的不等式kx+b < mx的解是如圖，直線11和12的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A. (4,2) B. (2,4)

17、C. ( 4, 2) D. (3,1)7: (1)已知方程2x+1= x+4的解是x=1,那么，直線y=2x+1與直線y= x+4的交點(diǎn)坐標(biāo)是 (2)在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=kx+1關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線l剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3, 2),則不等 式3x> kx+1的解集是.(3)如圖，直線11、12交于點(diǎn)A,試求點(diǎn)A的坐標(biāo)., ，一一一 ，一一，1, 一 、，一一8:已知一次函數(shù)yi=kx+b和正比例函數(shù)y2= 2x的圖象父于點(diǎn) A( 2,m),又一次函數(shù)yi=kx+b的圖象過(guò)點(diǎn)B(1, 4).(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象寫出y1>y2的取值范圍.59:如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A( 1, 0)、蛻0, 2).(1)求一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)設(shè)線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo).10:如圖，已知直線 y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 4), B(0, 2),與x軸交于點(diǎn) C,經(jīng)過(guò)點(diǎn) D(1, 0)的 直線DE平行于OA,并與直線 AB交于點(diǎn)E.(1)求直線AB的解析式；(2)求直線DE的解析式；(3)求