高中數(shù)學極坐標與參數(shù)方程大題(詳解)

1、精品文檔考點專題分析解答:故曲線c的參數(shù)方程為f x=2cos ®戶 3sin6,(0為參數(shù)).對于直線l ：/k=2+t y=2-2t 參數(shù)方程極坐標系解答題1.已知曲線C： /+工!=1,直線l ：卜(t為參數(shù)) 4 9y=2 - 2t(I )寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程.(n )過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系.坐標系和參數(shù)方程.(I )聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取x=2cos & y=3sin。得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程；(n)設(shè)

2、曲線C上任意一點P (2cos 2 3sin 0).由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以sin30。進一步得到|PA| ,化積后由三角函數(shù)的范圍求得|PA|的最大值與最小值.22解：（I ）對于曲線 C:+ 支=1,可令 x=2cos 0、y=3sin 0,4 g12歡在下載由 得：t=x - 2,代入 并整理得：2x+y - 6=0;(n )設(shè)曲線 C上任意一點 P (2cos 0, 3sin 0).P到直線 l 的距離為 <1=14cos9 +3sin9 -6| .則 I PA I 史-丹,"S15sin (6+01) 其中“為銳角.sin30 5當sin (什a

3、) =-1時，|PA|取得最大值，最大值為 烏區(qū). 5當sin (什a) =1時，|PA|取得最小值，最小值為 空L點評:本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓練了點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.2 .已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標方程為:Psin (白-工)，曲線C的參數(shù)方程為：卜*2皿Q (“為參數(shù)).(I)寫出直線l的直角坐標方程；(n)求曲線C上的點到直線l的距離的最大值.考點： 參數(shù)方程化成普通方程.專題：坐標系和參數(shù)方程.分析：(1)首先，將直線的極坐標方程中消去參數(shù)，化為直角坐標方程即可；(2)首先，化簡曲線 C

4、的參數(shù)方程，然后，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解.解答解：(1) ,直線l的極坐標方程為：P sin ( 9 - ) = ?62p （2L?sin 0 - cos 0） ,222. V3112Z 1x - V3y+1=0.（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為： G二（”為參數(shù)）. l_y=2sinCL得（x-2） 2+y2=4,它表示一個以（2, 0）為圓心，以2為半徑的圓，圓心到直線的距離為：曲線C上的點到直線l的距離的最大值|£_|點評： 本題重點考查了直線的極坐標方程、曲線的參數(shù)方程、及其之間的互化等知識，屬于中檔題.3 .已知曲線G:產(chǎn)"*初± （t為參數(shù)），

5、C2:產(chǎn)“皿白（0為參數(shù)）.y=3+sinty=3sin9（1）化C, G的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=工，Q為G上的動點，求PQ中點M到直線G:讓"空（t為參數(shù)）距離的最2尸-2+1小值.考點： 圓的參數(shù)方程；點到直線的距離公式；直線的參數(shù)方程.專題： 計算題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.分析：（1）分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線G表示一個圓；曲線 G表示一個橢圓；（2）把t的值代入曲線 G的參數(shù)方程得點P的坐標，然后把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出 M

6、的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后,利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值.解答:解：（1）把曲線Ci：_ 4+cost（t為參數(shù)）化為普通方程得:(x+4) 2+ (y 3) 2=1,所以此曲線表示的曲線為圓心（-4, 3）,半徑把G：by=3sin R（。為參數(shù)）化為普通方程得:所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點,焦點在x軸上，長半軸為8,短半軸為3的橢圓；兀（2）把t=下代入到曲線G的參數(shù)方程得：P （ - 4, 4）,f j；=3+2-t把直線C3： :（t為參數(shù)）化為普通方程得：x- 2y-7=0,廠-2+設(shè) Q 的坐標為 Q

7、 (8cosO, 3sin 0),故 M (- 2+4cos 0, 2+sin 0)2所以M到直線的距離d4?？? -3條 -13|5二口口一二&) -13| (其中sin相，年江)V5V55 忸從而當cos 0=, sin 0=-J時，d取得最小值 555點評:此題考查學生理解并運用直線和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學問題，靈活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題.4 .在直角坐標系xOy中，以。為極點，x軸正半軸為極軸建立直角坐標系，圓C的極坐標方程為p二小”心£(，直線l的參數(shù)方程為'十(t為參數(shù))，直線l和圓C交于A, B兩點，P是圓C上不同于A,

8、 B的任意一點.y=- 142721(I )求圓心的極坐標；(n )求4PAB面積的最大值.考點專題分析解答:點評:參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程.坐標系和參數(shù)方程.(I )由圓 C的極坐標方程為 q -2/2c0e。+)，化為 p2=2/2 CP cos 9 一 sin 8 )，把口匚產(chǎn)：代入即可得出.sin9(II )把直線的參數(shù)方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d,再利用弦長公式可得|AB|=2 q” _ d2,利用三角形的面積計算公式即可得出.解：(I )由圓 C 的極坐標方程為 p =( 0 十T")，化為 p=2/-2 (P cos

9、日-p sin 9 ), 把S=P GOS0 代入可得：圓 C的普通方程為 x2+y2- 2x+2y=0,即(x- 1) 2+ (y+1) 2=2.y= P sin e圓心坐標為(1, - 1),，圓心極坐標為；(n )由直線l的參數(shù)方程L (t為參數(shù))，把t=x代入y=- 1+272t可得直線l的普通方程：Ly=- 1+2212揚-¥ - 口，圓心到直線l的距離1272+1-11 223-F- IABI=2正2產(chǎn)油A點P直線AB距離的最大值為1r+d=&4華提2, JT12710 W2 _W5s彳 父三一乂 一三三一2339本題考查了把直線的參數(shù)方程化為普通方程、極坐標化為

10、直角坐標方程、點到直線的距離公式、弦長公式、三 角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.5.在平面直角坐標系xoy中，橢圓的參數(shù)方程為 產(chǎn)后口 （8為參數(shù)）.以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極 ly=sin 6坐標系，直線的極坐標方程為 20 （B十二）二裾.求橢圓上點到直線距離的最大值和最小值.考點專題分析解答:點評:橢圓的參數(shù)方程；橢圓的應(yīng)用.計算題；壓軸題.由題意橢圓的參數(shù)方程為電800 （e為參數(shù)），直線的極坐標方程為2Q8s（g+）.將橢I y=sin93圓和直線先化為一般方程坐標，然后再計算橢圓上點到直線距離的最大值和最小值.解：將（日十三）二班化為普通方程為K-

11、舊¥一次而二0 （4分）點（聲。三日，sin 6 ）到直線的距離此口- -后1泥皿（6+?yAH=zz I。刀 J22所以橢圓上點到直線距離的最大值為 |2<&,最小值為 我.（10分）此題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實際情況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題.4x=l+-zt56.在直角坐標系xoy中，直線I的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若以。為極點，x軸正半軸為極軸建立極y=-l -5坐標系，曲線 C的極坐標方程為（4Jcos （葉二）.（1）求直線I被曲線C所截得的弦長；（2）若M （x, y）是曲線C上的動

12、點，求x+y的最大值.考點： 參數(shù)方程化成普通方程.專題： 計算題；直線與圓；坐標系和參數(shù)方程.分析：（1）將曲線C化為普通方程，將直線的參數(shù)方程化為標準形式，利用弦心距半徑半弦長滿足的勾股定理，即可求弦長.解答:（2）運用圓的參數(shù)方程，設(shè)出解：（1）直線I的參數(shù)方程為M,再由兩角和的正弦公式化簡，運用正弦函數(shù)的值域即可得到最大值.45（t為參數(shù)），消去t,y= -1 -5可得，3x+4y+1=0;由于 p=/cos (卅)=/2 (-cos 6 -6 ),即有 p2=(cos 0- psin 0,則有 x2+y2- x+y=0,其圓心為(,2- = ）,半徑為圓心到直線的距離 d=9+16

13、g故弦長為2-，:2=2 口 -L=J;2 1OCJ 5y-（2）可設(shè)圓的參數(shù)方程為:則設(shè)M( .：-22y=- (21 V2 .Vs，口 2 Sin9（。為參數(shù)）則 x+y=8 =sin (白日），考八、 專 題: 分 析: 解 答:點P的直角坐標把 p2=x2+y： y= psin 0 代入P 2+2V3Psinl 可得由于0 CR,則x+y的最大值為1.點評:本題考查參數(shù)方程化為標準方程，極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數(shù)的幾何意義及運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.7.選修4- 4:參數(shù)方程選講已知平面直角坐標系 xOy,以。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標

14、為 （為巧，二，），曲線C的極坐標方程為 p 2+2a/sP sin =1 -（I）寫出點P的直角坐標及曲線 C的普通方程；f-3+2t（n ）若Q為C上的動點，求PQ中點M到直線l :（t為參數(shù)）距離的最小值.1y= - 2+t參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程.坐標系和參數(shù)方程.（1）利用x= pcos 0, y= ©in。即可得出；（2）利用中點坐標公式、點到直線的距離公式及三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出,TT解（1） .P點的極坐標為（如，），曲線C的直角坐標方程為（2）曲線C的參數(shù)方程為（0為參數(shù)），直線l的普通方程為x- 2y - 7=0設(shè)Q （2cos6 , 一用2家

15、口8 ）,則線段pq的中點M （今cos 9 , sin ° ）那么點M到直線l的距離點M到直線l的最小距離為11遍710占八、評:本題考查了極坐標與直角坐標的互化、中點坐標公式、點到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的 單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于中檔題.8 .在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程J k=1 + cos<P(。為參數(shù)).以。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(I )求圓C的極坐標方程；(n)直線l的極坐標方程是 P(sin 0+/3COS 9 ) =3/3,射線OM上與圓C的交點為Q巳與直線l的交點為Q, 3求線段PQ

16、的長.考點專題分析解答:簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系.直線與圓.(I)圓C的參數(shù)方程產(chǎn)'1+8口0為參數(shù)).消去參數(shù)可得：(X-1) 2+y2=1 .把x= pcosy= psin。代入化簡即可得到此圓的極坐標方程.(II )由直線l的極坐標方程是 /sin附上元口5 9 |)=簿，射線OM.可得普通方程：直線15 E六 W5, 射線OMXq工 分別與圓的方程聯(lián)立解得交點，再利用兩點間的距離公式即可得出.解：(I)圓C的參數(shù)方程1X1+匚丁中為參數(shù)).消去參數(shù)可得：(x 1) 2+y2=1.產(chǎn)與in/把x= pcos & y= psin 0代入化簡得：f=2cos

17、0,即為此圓的極坐標方程.可得普通方程：直線l y+Vs戈二班，射線OM=« H.IPQI=/U)"+(醇挈)"=2(II )如圖所示，由直線l的極坐標方程是 p(sin時氏口58 ) =3乃，射線OM兩點間的距離公式等基礎(chǔ)知點評：本題考查了極坐標化為普通方程、曲線交點與方程聯(lián)立得到的方程組的解的關(guān)系、識與基本方法，屬于中檔題.9 .在直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為*'"3。口0” (”為參數(shù))，以原點。為極點，x軸正半軸為極軸，建| y=sin<I立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為 psin (+z)=4®.4(1)求

18、曲線G的普通方程與曲線 C2的直角坐標方程；考點專題分析(2)設(shè)P為曲線Ci上的動點，求點 P到G上點的距離的最小值，并求此時點P的坐標.簡單曲線的極坐標方程.坐標系和參數(shù)方程.(1)由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)方程化為直角坐標方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式x= pcos 0> y= psin 0,把極坐標方程化為直角坐標方程.(2)求得橢圓上的點 P (VscosCI , sind)至1直線x+y 8=0的距離為d= 場 = 擊,可得d的最小值，以及此時的a的值，從而求得點解答:點評:到直線x+y - 8=0的距離為的坐標.解：(1)由曲線Ci：川樂口“，可得萬爾豆，兩

19、式兩邊平方相加得: 戶總11cl即曲線C1的普通方程為：二1.由曲線 G： p sin (白 )二蟲五得：(sin 9 +cos G )即 psin 卅 pcos (=8,所以 x+y 8=0,即曲線C2的直角坐標方程為：x+y - 8=0.(2)由(1)知橢圓Ci與直線C2無公共點，橢圓上的點d= 案 " V2 'TTq I，當同口(仃十一丁)二1時，d的最小值為3*2,此時點P的坐標為. 上J 乙本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.號I10 .已知直線l的參數(shù)方程是J 口 （t為參數(shù)），圓C的極坐

20、標方程為 k2cos （況馬）.（I ）求圓心C的直角坐標；（n）由直線1上的點向圓C引切線，求切線長的最小值.考點： 簡單曲線的極坐標方程.專題：計算題.分析： （I）先利用三角函數(shù)的和角公式展開圓C的極坐標方程的右式，再利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用pcos 0=x, psin打y, p=x+y ,進行代換即得圓 C的直角坐標方程，從而得到圓心C的直角坐標.（II ）欲求切線長的最小值，轉(zhuǎn)化為求直線1上的點到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標系中算出直線1上的點到圓心的距離的最小值，再利用直角三角形中邊的關(guān)系求出切線長的最小值即可.解答：解：（1） . P B - V2sin 日，p

21、 J丑p cos 白-sin 日，圓C的直角坐標方程為 寞？ + y ° 一近工+產(chǎn)。，（II ） .直線1的普通方程為x-y+4V2=0,吟-亨）.（5分）圓心C到直線1距離是直線1上的點向圓C引的切線長的最小值是 鏟-:WVi （10 分）點評： 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化.貨二十11 .在直角坐標系xOy中，以。為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線 1的參數(shù)方程為,（t為參數(shù)），曲尸蟲線C1的方程為p（ p- 4sinm=12,定點A （6, 0）,

22、點P是曲線G上的動點，Q為AP的中點.（1）求點Q的軌跡G的直角坐標方程；（2）直線1與直線C2交于A, B兩點，若|AB|凄。求實數(shù)a的取值范圍.考點： 簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程.專題：坐標系和參數(shù)方程.Q的軌跡C2的直分析： （1）首先，將曲線 C化為直角坐標方程，然后，根據(jù)中點坐標公式，建立關(guān)系，從而確定點 角坐標方程；（2）首先，將直線方程化為普通方程，然后，根據(jù)距離關(guān)系，確定取值范圍.解答：解：（1）根據(jù)題意，得曲線Ci的直角坐標方程為：x2+y2- 4y=12,設(shè)點 P （x'，y）, Q （x, y）,根據(jù)中點坐標公式，得代入 x2+y2- 4y=12,

23、得點Q的軌跡G的直角坐標方程為：(x-3) 2+ (y-1) 2=4, (2)直線l的普通方程為：y=ax,根據(jù)題意，得解得實數(shù)a的取值范圍為：0 ,二.4點評： 本題重點考查了圓的極坐標方程、直線的參數(shù)方程，直線與圓的位置關(guān)系等知識， 考查比較綜合，屬于中檔題,解題關(guān)鍵是準確運用直線和圓的特定方程求解.12 .在直角坐標系xoy中以。為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系.圓G,直線C2的極坐標方程分別為p=4sin 0, pcos(2 工)=2四.4(I )求Ci與G交點的極坐標；PQ的參數(shù)方程為(t CR為參數(shù))，求a, b(n )設(shè)P為G的圓心，Q為Cl與C2交點連線的中點，已知直線的值.

24、考點： 點的極坐標和直角坐標的互化；直線與圓的位置關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程.專題：壓軸題；直線與圓.分析：(I)先將圓Cl,直線C2化成直角坐標方程，再聯(lián)立方程組解出它們交點的直角坐標，最后化成極坐標即可；(II )由(I)得，P與Q點的坐標分別為(0, 2), (1, 3),從而直線PQ的直角坐標方程為 x - y+2=0,由參 數(shù)方程可得y=-x-+1,從而構(gòu)造關(guān)于a, b的方程組，解得a, b的值.22解答： 解：(I)圓G,直線C2的直角坐標方程分別為 x2+ (y-2) 2=4, x+y - 4=0,精品文檔。與C2交點的極坐標為(4, 2L). (2/2, ). 24(II)由(

25、I)得，P與Q點的坐標分別為(0, 2), (1, 3),故直線PQ的直角坐標方程為 x-y+2=0,由參數(shù)方程可得y=x-+1,ab - 1欺速下載解得 a=- 1, b=2.點評:本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程、把參數(shù)方程化為普通方程的方法，方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13 .在直角坐標系xOy中，l是過定點P (4, 2)且傾斜角為”的直線；在極坐標系(以坐標原點。為極點，以x軸非負半軸為極軸，取相同單位長度)中，曲線C的極坐標方程為 k4cos。(I )寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標方程；(n)若曲線C與直線相交于不同的兩點M N,求|PM|+|PN|的取

26、值范圍.解答：解：(I)直線l的參數(shù)方程為E+tMsS。為參數(shù)). y=2+tsin<I曲線C的極坐標方程 p=4cos 0可化為p2=4pcos 0.把x= pcos & y= psin。代入曲線C的極坐標方程可得 x2+y2=4x,即(x2) 2+y2=4.(II )把直線l的參數(shù)方程為 卜力+tc口曰境 。為參數(shù))代入圓的方程可得：t2+4 (sin a+cosa) t+4=0 .y=2+tsinCC 曲線C與直線相交于不同的兩點M N2 .=16 (sin a+cos a) - 16>0, .sin acos a>0,又 aq。,兀)， QtE 4).又 11

27、+t 2= 4 (sin o+cos a) , 11t2=4. .|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t2|=4|sin a+cos o|=( Q+(),“E 3 4)，(口吟)E C 等)， 2444 .sin (d+2)E (q,1. .|PM|+|PN|的取值范圍是 (4，46.(t為參數(shù))，以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標點評：本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標方程、直線與圓相交弦長問題，屬于中檔題.14 .在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為系，OC的極坐標方程為 p=2>/3sin 0.(I )寫出OC的直角坐標方程；(n) P為直線l上一動點

28、，當 P到圓心C的距離最小時，求 P的直角坐標.考點：點的極坐標和直角坐標的互化.專題：坐標系和參數(shù)方程.分析：（I）由。C的極坐標方程為p=2百sin 0.化為p2=2/5口號in9 I,把 p二工4V代入即可得出；.P sin©（II ）設(shè)P （3岐3 岑工），又C （0, 訴）.利用兩點之間的距離公式可得 |PC|=J2+1?,再利用二次 函數(shù)的性質(zhì)即可得出.解答： 解：（I）由。C的極坐標方程為 2lsin 9.p2=2V3P sin?，化為 x2+y2=2而y,配方為耳。廠而）2=3.（II）設(shè) P3岐t,冬），又 C正）|.1Pd= J1嶺）上（爭訴）金行，因此當t=0時

29、，|PC|取得最小值2M 此時P（3，0）點評： 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理 能力與計算能力，屬于中檔題.15.已知曲線C的極坐標方程為k6cos 為曲線G的極坐標方程為。工（pCR）,曲線Ci,C2相交于A,B兩點.（I ）把曲線G, G的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；（II ）求弦AB的長度.考點專題分析解答:點評:簡單曲線的極坐標方程.計算題.（I）利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用pcos 0=x, psin 0=y, p2=x2+y2,進行代換即得曲線 G及曲線C的直角坐標方程.（n）利用直角坐標方程的形式，先求

30、出圓心（3, 0）到直線的距離，最后結(jié)合點到直線的距離公式弦AB的長度.兀I解：（I）曲線 C2：（pen4表示直線y=x,2曲線 G：k6cos 0,即 p =6 pcos 0所以 x2+y2=6x 即（x - 3） 2+y2=9（11）;圓心（3, 0）到直線的距離r=3 所以弦長 AB=3，2"pj=Sj±.，弦AB的長度32.本小題主要考查圓和直線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及利用圓的幾何性質(zhì)計算圓心到直線的距等基本方法，屬于基礎(chǔ)題.精品文檔16.在直角坐標系xOy中，以。為極點,x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的極坐標方程為psin( e畫也42rcos 816欠0迎下載圓C的參數(shù)方程為(。為參數(shù)，r>0)rsin 8求圓心C的極坐標；l的最大距離為3.當r為何值時，圓C上的點到直線考點專題分析簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系.計算題.(1)利用兩角差的余弦公式及極坐標與直角坐標的互化公式可得直線本關(guān)系，消去?？傻们€C的普通方程，得出圓心的直角坐標后再化面極坐標即可.(2)由點到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的有界性求得點 最后列出關(guān)于r的方程即可求出r值.l的普通方程；利用同角三角函數(shù)的基P到直線l的距離的最大值,解答:解：(