全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(8)

1、、選擇題全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題1.設(shè) a< b< 0, a2+b2 = 4ab,則 ab 的值為【 a b、.62.已知 a= 1999x+2000, b= 1999x+2001 ,c= 1999x + 2002,則多項(xiàng)式a2+ b2+ c2abbc ca的值為【3.如圖,點(diǎn)E、F分別是矩形 ABCD勺邊AR BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)貝U S四邊形AGCDS矩形ABCD至少有一個(gè)值2_-2b+ , y=b-2c+ 2 z= c則x、y、z中、小于05.設(shè)關(guān)于x的方程ax2+(a + 2)x+9a=0,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根xn x2,Xi< 1V X2,那么a的取值范圍是【2

2、<a< 2 B 75、a<2< a< 0116 . A1A2A3A9是一"個(gè)正九邊形， AiA?=a, AA= b,則AA等于【】A va2 b2B 、da2 ab b2C > - a b D 、a+b2二、填空題7 .設(shè)xi、X2是關(guān)于x的一元二次方程 x2+ax+a= 2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(xi 2x2)(x 2 2xi) 的最大值為。8 .已知a、b為拋物線(xiàn)y=(x c)(x cd) 2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，avb,則a c c b 的值為。9 .如圖，在 ABC 中，/ ABC= 600,點(diǎn) P是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得/ APB= / BPC=

3、 / CPA 且 PA= 8, PC= 6,貝U PB=。10 .如圖，大圓 O的直徑 AB= acm,分另以 OA OB為直徑作。O、O O,并在。與。O和。Q的空隙間作兩個(gè)等圓。 O3和。，這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形 QQQQ的面積為 cmO3BO11 .滿(mǎn)足(n2 n 1) n+2= 1的整數(shù)n有 個(gè)。12 .某商品的標(biāo)價(jià)比成本高 p%當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過(guò) d%則d可以用p表示為。三、解答題213 .某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包,533天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，26天

4、完成，需付160000元?，F(xiàn)在工47程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？AC2CE214.如圖，圓內(nèi)接六邊形 ABCDE輔足AB= CD= EF,且對(duì)角線(xiàn) AR BE、CF交于一點(diǎn)Q,設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P。(1)QD AC CP求證：（2）求證：ED ECPE16 如果對(duì)一切 x 的整數(shù)值， x 的二次三項(xiàng)式ax2 bx c 的值都是平方數(shù) （即整數(shù)的平方）證明： （ 1） 2a 、 2b、 c 都是整數(shù)； （ 2 ） a 、 b、 c 都是整數(shù)，并且c 是平方數(shù)；反過(guò)來(lái)，如果（ 2 ）成立，是否對(duì)一切的 x 的整數(shù)值， x 的二次三項(xiàng)式ax2 bx c 的值都

5、是平方數(shù)？一、 選擇題(每小題5分，共30分)22a b .1. 設(shè) avbv0, a + b=4ab,則的值為()。a bA、3 B、/6C 、2 D 、3a b 2 L； ' Y 1:上二一心答案：a.由題意：0,且：b2. 已知 a=1999x + 2000, b= 1999x + 2001, c= 1999x+2002,bc ca的值為()。A、0B、1C 、2D 、3答案：原式二歹(a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2=訝1+1+4=3。3. 如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形 ABCD勺邊AR BC的中點(diǎn)，連AF、CE=3 o則多項(xiàng)式 a2+ b2+ c2 ab交于點(diǎn)g,則S

6、四邊形AGCDSg 形 ABCD"()。A、5 B、4C、總654答案：設(shè) S矩形ABC=1。因?yàn)镋、所以 Sa gc=Sa GB5 設(shè)為 X j S回所以S四邊形AGC=與.從而S2DC4g/AEBF是矩形ABCD43邊AR BC的中點(diǎn)， 1-櫛=耳>agaE=Sagb與設(shè)為 y。則，,得 2x+2y=月.1升2丁 =耳四邊形AGCD： S矩形ABC=2 : 3.4. 設(shè)a、b、c 為實(shí)數(shù)，x = a22b+一,y=b22c+一，z=c22a+一，則 x、y、z333中至少有一個(gè)值()。A、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0答案：由題意：x+y+z=a 2+b

7、2+c2-2a-2b-2c+=(a-1) 2+(b-1) 2+(c-1) 2+ -3>0,所以 x、V、z中至少有一個(gè)大于0.5. 設(shè)關(guān)于x的方程ax2+(a + 2)x + 9a= 0,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根xi、x2,且xi1vx2,那么a的取值范圍是()。A、 一 vavB、a> C 、a< D、 v a v0755711答案：由題知：(x i-1)(x 2-1)<0,即xix2-(x i+x2)+1<0,代入韋達(dá)定理并整理得1 1什2，<0,可知選(A).6. AAA-4是一個(gè)正九邊形， AA2=a, AA=b,則A1A5等于()O OOO1A、寸a b

8、 B、Vaab b C、一 a b D、a+b2答案：.延長(zhǎng)A1A2和AA相交于P,連結(jié) AA.易證：A PAA5和A PAA4均為正A ,且 PA=A2A4=AA=b。所以 AA=PA=a+b.填空題(每小題5分，共30分)7.設(shè)Xi、X2是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax + a=2 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(Xi2x2)(x 22xi)的最大值為答案：由A =(a-2) 2+4>0知 a為一切實(shí)數(shù).由韋達(dá)定理，得原式=9xix2-2(x i+x2)2=-2a 2+9a-18 < - -L-. o8. 已知a、b為拋物線(xiàn) y=(xc)(x cd)2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a< b ,則

9、|a c c b的值為所以a-c和b-c是方程答案：由題知:(a-c)(a-c由)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.9.t(t-d)-2=0( 即 12-dt-2=0)的兩實(shí)根.所以(a-c)(b-c)=-2<0.而 a<b,即 a-c<b-c.所以a-c<0,b-c>0. 所以原式=b-a.如圖，在4ABC中，/ABC= 60°,點(diǎn) P是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得/ APB= / BPC= /CPA且 PA= 8, PC= 6,貝U PB=10.PB答案：易證：A PAB A BCP所以-=,如圖，大圓 O的直徑AB= acm,分別以和。Q的空

10、隙間作兩個(gè)等圓。Q和。C4,得 PB=4'.OA OB為直徑作。O、O Q,并在。O與。Q這些圓互相內(nèi)切或外切,則四邊形 OQQQ的面積為 cm 2。答案：設(shè)。Q的半徑為x,則OO=+xQO=,O 3O =x.a所以(彳+x) 2=()2+Baa1(2 - x ) 2,解得x=石,易得菱形OQQQ的面積為 片a2.11 . 滿(mǎn)足(n 2n1) n+2= 1的整數(shù)n有 個(gè)。答案：由題設(shè)得 n2-n-1= ±1,有5個(gè)根:0,1,-1,2. 和-212 .某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p%當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過(guò) d%則d可以用p表示為。 lOO

11、r答案：設(shè)成本為 a,則 a(1+p%)(1-d%)=a,得 d=j-jjy.三、解答題(每小題20分，共60分)13 .某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，22天完成 需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承5公 36包，3一天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2一天完成，需付160000元。47現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？答案：設(shè)單獨(dú)完成，甲、乙、丙各需 a、b、c天.則解得 a=4, b=6, c=10（c>7,舍去）.又設(shè)每天付給甲、乙、丙的費(fèi)用分別為x、V、z(元工則QPD177000元，所以由乙承包解得 x=45500, y=295

12、00,所以甲4天完成的總費(fèi)用為182000元，乙6天完成的總費(fèi)用為A答案：(1)易證/ 3=/ 4,所以/ AEC=/ DEQ而/ ACEW 2,所以A AC& A QDE可得結(jié)論成立CP CQ(2)分析：易證/ 6=74,所以FC/ ED,所以可=百方y(tǒng))18000015/ 3(yz)15000020/7(zx)16000014.如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF蔭足 AB= CD- EF,且對(duì)角線(xiàn) AD BE CF交于一點(diǎn) Q設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P。B求證謂藍(lán)求證：CEFCCQ所以只需證言AC2CE2EQD AC'由有藥=存CQ所以只需證癥QD2近7，即 QD2=CQ<

13、EQ.這只需證A CQS A EQD.而由題設(shè)有/ 7=Z3+Z5=Z4+Z5,由有/ 9=/ EAC而 / EAC=/ 8=Z QCD,所以可證得A CQ及A EQD.15.如果對(duì)一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2+bx + c的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平 方）。證明：（1） 2a、2b、c都是整數(shù)；（2） a、b、c都是整數(shù)，并且 c是平方數(shù)；反 過(guò)來(lái)，如果（2）成立，是否對(duì)一切的x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2+bx + c的值都是平方數(shù)？答案：（1）由題設(shè)知，可分別令x=0、-1、1,得則有c=m2,2a=n 2+k2,2b=n 2-k2均為整數(shù).（其中m n、k為整數(shù)）（2）假設(shè)2b為奇數(shù)2t+1（t為整數(shù)）.取 x=4 得 16a+4b+m2=h2（h 為整數(shù)）.因2a為整數(shù)，從而16a可被4整除.所以 16a+4b=16a+4t+2 除以 4 余 2.所以16a+4b為偶數(shù).又因?yàn)?16a+4b=（h+m）（h-m）.若h、m的奇偶性不同，則16a+4b=（h+m）（h-m）為奇數(shù)，這與矛盾 若 h 、 m 的奇偶性