“三角形的中位線(xiàn).”教學(xué)案例分析(周海慶)

1、三角形的中位線(xiàn)教學(xué)案例分析上泉九年一貫制學(xué)校周海慶授課教材：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（北師大版）九年級(jí)上冊(cè)第三章證明（三）第一節(jié)平行四邊形（第三課時(shí)）。一、設(shè)計(jì)思路（一）教材分析本課時(shí)所要探究的三角形中位線(xiàn)定理是學(xué)生以前從未接觸過(guò)的內(nèi)容。因此，在教學(xué)中通過(guò)創(chuàng)設(shè)有趣的情境問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)直觀(guān)與抽象的結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，大膽探索新穎獨(dú)特的證明方法和思路，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”這一過(guò)程，體會(huì)合情推理與演繹推理在獲得結(jié)論的過(guò)程中發(fā)揮的作用，同時(shí)滲透歸納、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生理解三角形中位線(xiàn)定理不僅指出了三角形的中位

2、線(xiàn)與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，而且為證明線(xiàn)段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（倍分關(guān)系）提供了新的思路，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。（二）學(xué)情分析本班學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)，接受新知識(shí)的意識(shí)較強(qiáng)，對(duì)于本章有關(guān)平行四邊形的性質(zhì)和判定的內(nèi)容掌握較好，但知識(shí)遷移能力較差，數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用不夠靈活。因此，本節(jié)課著眼于基礎(chǔ)，注重能力的培養(yǎng)，積極引導(dǎo)學(xué)生首先通過(guò)實(shí)際操作獲得結(jié)論，然后借助于平行四邊形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行探索和證明。在此過(guò)程中注重知識(shí)的遷移同時(shí)重點(diǎn)滲透轉(zhuǎn)化、類(lèi)比、歸納的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的優(yōu)勢(shì)得以發(fā)揮，劣勢(shì)得以改進(jìn)，從而提高學(xué)生的整體水平。（三）教學(xué)目標(biāo)1. 知識(shí)目標(biāo)1）了解三角形中位線(xiàn)的概念

3、。2）掌握三角形中位線(xiàn)定理的證明和有關(guān)應(yīng)用。2. 能力目標(biāo)1） 經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證能力。2） 能夠用多種方法證明三角形的中位線(xiàn)定理，體會(huì)在證明過(guò)程中所運(yùn)用的歸納、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。3）能夠應(yīng)用三角形的中位線(xiàn)定理進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，逐步提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。3. 情感目標(biāo)通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作、觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、推理、猜想、論證等自主探索與合作交流的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生真正體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。（四）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)的概念與三角形中位線(xiàn)定理的證明.教學(xué)難點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)定理的多種證明。（五）教學(xué)方法

4、與學(xué)法指導(dǎo)對(duì)于三角形中位線(xiàn)定理的引入采用發(fā)現(xiàn)法，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)探索、猜測(cè)等自主探究的方法先獲得結(jié)論再去證明。在此過(guò)程中，注重對(duì)證明思路的啟發(fā)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提倡證明方法的多樣性，而對(duì)于定理的證明過(guò)程，則運(yùn)用多媒體演示。（六）教具和學(xué)具的準(zhǔn)備教具：多媒體、投影儀、三角形紙片、剪刀、常用畫(huà)圖工具。學(xué)具：三角形紙片、剪刀、刻度尺、量角器。二、 教學(xué)過(guò)程1. 一道趣題課堂因你而和諧問(wèn)題：你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎？這四個(gè)全等三角形能拼湊成一個(gè)平行四邊形嗎？（板書(shū)）（這一問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生積極主動(dòng)地加入到課堂教學(xué)中，課堂氣氛變得較為和諧，課堂也鮮活起來(lái)了。）學(xué)

5、生想出了這樣的方法：順次連接三角形每?jī)蛇叺闹悬c(diǎn)，看上去就得到了四個(gè)全等的三角形如圖中，將AAD或E點(diǎn)沿順（逆）時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180可得平行四邊形 ADFE。問(wèn)題：你有辦法驗(yàn)證嗎？2. 一種實(shí)驗(yàn)課堂因你而生動(dòng)學(xué)生的驗(yàn)證方法較多，其中較為典型的方法如下：生1:沿DE DR EF將畫(huà)在紙上的 ABCB開(kāi)，看四個(gè)三角形能否重 合。生2:分別測(cè)量四個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度，判斷是否可利用“ SS6來(lái)判 定三角形全等。生 3：分別測(cè)量四個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的邊及角，判斷是否可用“SAS、 ASA或AA6判定全等。引導(dǎo)：上述同學(xué)都采用了實(shí)驗(yàn)法，存在誤差，那么如何利用推理論證的方法驗(yàn)證呢？3. 一種探索課堂因你而鮮活師：把連

6、接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)（板書(shū)）問(wèn)題：三角形的中位線(xiàn)與第三邊有怎樣的關(guān)系呢？在前面圖1 中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？（學(xué)生的思維開(kāi)始活躍起來(lái)，同學(xué)之間開(kāi)始互相討論，積極發(fā)言）學(xué)生的結(jié)果如下：DE/ BC DF/ AC EF/ AB, AE=EQ BF=FC BD=AD ADADBfEF8 DEF DE=BC DF=AC EF=AB猜想：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（板書(shū)）師：如何證明這個(gè)猜想的命題呢？生：先將文字問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題然后證明。已知：DE是ABC勺中位線(xiàn)，求證：DE/BC、DE=BC學(xué)生思考后教師啟發(fā)：要證明兩條直線(xiàn)平行，可以利用“三線(xiàn)八角”的有關(guān)內(nèi)容

7、進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而要證明一條線(xiàn)段的長(zhǎng)等于另一條線(xiàn)段長(zhǎng)度的一半，可采用將較短的線(xiàn)段延長(zhǎng)一倍，或者截取較長(zhǎng)線(xiàn)段的一半等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化歸納。（學(xué)生積極討論，得出幾種常用方法，大致思路如下）生1:延長(zhǎng)DE至U F使EF=DE連接CF由MD國(guó) ACFE （SAS得 ADFC 從而 BDFC所以，四邊形DBC兩平行四邊形得 DFBC可得 DEBC （板書(shū)）生2:將AD或E點(diǎn)沿順（逆）時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 180° ,使得點(diǎn)A與點(diǎn)C 重合，即 ADECFE可得BDCF，得 平行四邊形DBCF得 DFBC 可得 DEBC生3:延長(zhǎng)DE至U F使DE=EF連接AF CF CD,可得ADCF得 DBCF得 DFBC可得

8、 DEBC生4:利用AADH/人8演相似比為1: 2即可得 DEBC師：還有其它不同方法嗎？4. 一種創(chuàng)新課堂因你而美麗生5:過(guò)點(diǎn)D作DF/BC交AC于點(diǎn)F貝U ADS ABC可得又E是AC中點(diǎn)可得因此 AE=AF即 E 點(diǎn)與F 點(diǎn)重合所以 DE/BC 且 DE=BC（筆者事先只局限于思考利用平行四邊形及三角形相似的性質(zhì)解決問(wèn)題，沒(méi)想到學(xué)生的發(fā)言如此精彩，為整個(gè)課堂添加了不少亮色。）師：很好，好極了！這種證法在數(shù)學(xué)中叫做同一法，連老師也沒(méi)想到。太棒了，大家要向生5 學(xué)習(xí)，用變化的、動(dòng)態(tài)的、創(chuàng)新的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看問(wèn)題，努力去尋找更好更簡(jiǎn)捷的方法。5. 一種思考課堂因你而添彩問(wèn)題：三角形的中位線(xiàn)與中線(xiàn)有什

9、么區(qū)別與聯(lián)系呢？容易得出如下事實(shí)：都是三角形內(nèi)部與邊的中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段但中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半，三角形的一條中位線(xiàn)與第三邊上的中線(xiàn)互相平分（學(xué)生交流、探索、思考、驗(yàn)證）6. 一種照應(yīng)課堂因你而完整問(wèn)題：你能利用三角形中位線(xiàn)定理說(shuō)明本節(jié)課開(kāi)始提出的趣題的合理性嗎？（學(xué)生爭(zhēng)先恐后回答，課堂氣氛活躍）7. 一種應(yīng)用課堂因你而升華做一做：任意一個(gè)四邊形，將其四邊的中點(diǎn)依次連接起來(lái)所得新四邊形的形狀有什么特征？（學(xué)生積極思考發(fā)言，師生共同完成此題目的最常見(jiàn)解法。）已知：四邊形ABCD點(diǎn)E、F、G H分別是四邊的中點(diǎn)，求證：四邊形 EFGK平行四邊形。證明：連結(jié)AC E、F分別是AR BC的

10、中點(diǎn)， . EF是ABC的中位線(xiàn)，EF/ AC且 EF=AC同理可得：GH AC且GH=AC . EFGH 四邊形EFGH平行四邊形。（板書(shū)）其它解法由學(xué)生口述完成。8. 一種引申課堂因你而讓人回味無(wú)窮 問(wèn)題：如果將上例中的“任意四邊形”改為“平行四邊形、矩形、菱形、 正方形”，結(jié)論又會(huì)怎么樣呢？（學(xué)生作為作業(yè)完成。 ）9. 一句 總結(jié) 課堂因你而彰顯無(wú)窮魅力學(xué)生總結(jié)本節(jié)內(nèi)容：三角形的中位線(xiàn)和三角形中位線(xiàn)定理。（另附作業(yè)）三、板書(shū)設(shè)計(jì)三角形的中位線(xiàn)1. 問(wèn)題2. 三角形中位線(xiàn)定義3. 三角形中位線(xiàn)定理證明4. 做一做5. 練習(xí)6. 小結(jié)四、課后反思本節(jié)課以“如何將一個(gè)任意三角形分為四個(gè)全等的三角形”這一問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，以平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理為橋梁，探究了三角形中位線(xiàn)的基本性質(zhì)和應(yīng)用。在本節(jié)課中，學(xué)生親身經(jīng)歷了“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的探究過(guò)程，體會(huì)了證明的必要性和證明方法的多樣性。在此過(guò)程中，筆者注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，同時(shí)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化、類(lèi)比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法的恰當(dāng)應(yīng)用，達(dá)到了預(yù)期的目的。本節(jié)課中學(xué)生的“同一法”給了我們很多的啟示：雖然在平時(shí)的教學(xué)中，