、函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)

1、另解：要使函數(shù)有意義，必須:xl： -1函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)一、定義域是函數(shù)y=f(x)中的自變量x的范圍。例2求下列函數(shù)的定義域:求函數(shù)的定義域需要從這幾個方面入手： f (x)4 - x2 - 12x - 3x - 4(1)分母不為零 f(x)=(2)偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)。(3)對數(shù)中的真數(shù)部分大于00 f (x) =11f1 x0 f (x) = (x1) .|x-x(4)指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于0,且不等于1常用的求值域的方法：(1)直接法(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)(3)函數(shù)單調(diào)性法(4)配方法(5)換元法(包括三角換元)(6)反函數(shù)法(逆求法)(7)分離常數(shù)法(8)判別式法(9)復(fù)合

2、函(6 ) x0中 x*0二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍。數(shù)法(10)不等式法(11)平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。1x- 1¥3xT7解：要使函數(shù)有意義，必須：4-x2> 1即：J3mxmJ3二函數(shù) f (x) = ； J4 - x2 - 1 的定義域為:_%'&&要使函數(shù)有意義，必須:(5) y=tanx 中 乂*卜冗+九/2； y=cotx 中 xwk九 等等。2 3x - 4> 0 > 4或x < -1;x+12#0x#-3H x#1=x :-城 - 3 ： x _ -1m£x 一 4三、

3、典例解析，定義域為： x| x：-城 - 3 ：二 x _ -1或x _ 4'x" 0 _1要使函數(shù)有息義，必須：1 + #0 =x1 + 豐 01、x1，函數(shù)的7E義域為：x|x-R且x；0,-1, 21、定義域問題例1求下列函數(shù)的定義域：f11x= 0 f(x)=: f (x) =y13x + 2 ； f(x) = 4x+1+x : -1 x2x-22 -x“11 ，一 1 一一解：.x-2=0 ,即x=2時，分式 無意義，x -2而x¥2時，分式有意義，這個函數(shù)的定義域是x|x#2.x - 23x+2<0,即x<-2時，根式J'3x +2無

4、意義,3x + 1= 0x - x# 02 要使函數(shù)有意義，必須:x# -1二 ,x< 0而3x+2 >0,即x之2時，根式<3x +2才有意義，312.這個函數(shù)的定義域是 x | x - -. 定義域為： | x -1 或 - 1 ：二 x :二 0;3當(dāng)x+1之0且2x#0,即x之1且x#2時，根式 Jxr和分式 同時有意義,要使函數(shù)有意義，必須:；x-2 + 3之 03x+7*0x R7 x ;32 - x.這個函數(shù)的定義域是 x | x之-1且x # 2例3若函數(shù)y =ax2 -ax +1的定義域是 R,求實數(shù)a的取值范圍.即x< _工或x> -定義域為：

5、x|x¥-3313V x > 0.- 0 < < x < 2 + <20<x<6+V2函數(shù)f (Jx _2)的定域義為：x|0< x< 6+ 4解：.定義域是等價于優(yōu)=a 0210 ： a _ 2a -4a - - 0a11例4若函數(shù)y = f (x)的定義域為1 , 1,求函數(shù)y = f (x十一)f (x -)的定義域. 44解：要使函數(shù)有意義，必須：/1 ,-1 < x - _ 141-1 <x 14一5.3- 3x5例7已知f(2x 1)的定義域為0 , 1,求f(x)的定義域因為2x1是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因

6、此由2x-1, x q0,1求得的值域1, 1是 f(x)的定義域。已知f(3x 1)的定義域為 1, 2),求f(2x+1)的定義域。-之2)2(提示：定義域是自變量x的取值范圍)練習(xí)：已知f(x 2)的定義域為1, 1,求f(x)的定義域若y=f(x)的定義域是 b,2，則函數(shù)f ( x+1)+ f ( 2x-1)的定義域是 ()例5已知f(x)的定義域為1, 1,求f(2x 1)的定義域。分析：法則f要求自變量在1,1內(nèi)取值，則法則作用在2x-1上必也要求2x-1 在1, 1內(nèi)取值，即一1Vx1司，解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義 域；或者從位置上思考f(2x 1)中2x1與f(x)中

7、的x位置相同，范圍也應(yīng)一 樣，.一1Vx1司，解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域。(注意：f(x)中的x與f(2x 1)中的x不是同一個x,即它們意義不同。)解：fx)的定義域為1, 1,-1<2x-1<1,解之 0*司，. f(2x 1)的定義域為0 ,1。-，_1 _1 函數(shù)y = f(x + ) f (x )的定義域為:44例6已知已知f(x)的定義域為1,1,求f(x 2)的定義域 答案：一1&2司=x2<1= - 1<1練習(xí)：設(shè)f(x)的定義域是7，J2,求函數(shù)f(jx-2)的定義域A. 1-1,1 B I- IC. I-,1D. 10,- I一 2

8、12一2,_ 12，一一1 x ,已知函數(shù)f (x)=L的定義域為A,函數(shù) y = f . f (x)l的定義域為B,則 1 x一A.AljB=B B.BWA c.aAb=Bd. A=B2、求值域問題利用常見函數(shù)的值域來求(直接法)一次函數(shù)y=ax+b(a豐0)的定義域為 R,值域為 Rk-反比例函數(shù)y = (k = 0)的定義域為x|x$0，值域為y|y豐0); x二次函數(shù)f (x) = ax2+bx + c(a¥0)的定義域為 R,22、當(dāng) a>0 時，值域為 y y>(4ac-b )；當(dāng) a<0 時，值域為 y|y<(4ac-b ).4a4a例1求下列函

9、數(shù)的值域解：要使函數(shù)有意義，必須：3Egx2EJ2 得：1WjxE2+J2_2 y=3x+2(-1 <x<1) f(x)=_ (1wxw3)3x-1y=x+(記住圖像)x解：. -1 <x<1,-3 <3x <3,.-1 <3x+2 <5,即-1 <y <5,.值域是-1 , 5略 當(dāng) x>0 , 1- y = x + = (Vx -)2 +222,xx當(dāng) x<0 時，y = (x + ) = 一 (J- x / )2 f. -x值域是(,2U2, +°°).(此法也稱為 配方法,頂點(diǎn)橫坐標(biāo) 2W 0,

10、5,當(dāng) x=0 時，y=1 ; x=2 時，y=-3, x=5 時，y=6, 在0,1上，ymin =-3 , ymax=6；值域為卜3 , 6.注：對于二次函數(shù) f (x) = ax2 bx - c(a40),若定義域為R時，當(dāng)a>0時，則當(dāng)x=_B時，其最小值v - - (4ac-b2)； ymin2a4a當(dāng)a<0時，則當(dāng)x = _-b時，其最大值v _ (4ac b2).2aymax - 4a若定義域為xw a,b,則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)間a,b.若x°w a,b,則f (xo)是函數(shù)的最小值(a>0)時或最大值(a<0)時， 再比較f(

11、a), f (b)的大小決定函數(shù)的最大(小)值 .一，1 函數(shù)y = x + 的圖像為： x二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：例2求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域： y =x24x+1 ；y = x24x +1, x w 3,4 y = x2 -4x +1, x w 0,1； y = x2 -4x +1,x w 0,5；解：: y =x2 -4x +1=(x-2)2-3, 頂點(diǎn)為(2,-3),頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為 2.拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R,，x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的值域是 y|y之-3 .頂點(diǎn)橫坐標(biāo) 2更3,4,當(dāng) x=3 時，y= -2 ; x=4 時，y=1;.在3,

12、4上，ymm =-2 , Ymax = 1；值域為-2 , 1.,頂點(diǎn)橫坐標(biāo) 2星0,1,當(dāng)x=0時，y=1; x=1時，y=-2,在0,1上，ymin =-2 , ymax = 1；值域為-2 , 1.若Xo正a,b,則a,b是在f(x)的單調(diào)區(qū)間內(nèi),數(shù)的最大(小)值.注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大(小)值;練習(xí):只需比較 f (a), f (b)的大小即可決定函當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論1、求函數(shù)y=3+V(23x)的值域解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知，故 3+，(2 3x) >3o.函數(shù)的值域為a二(2 3x) >0,2

13、_2、求函數(shù)y = x - 2x 5,x w幻5的值域b,51-2 -1 O-1-2-312 3 4 5 6x=1時，=5寸，ymin = 4Ymax = 20，值域為14,20求函數(shù)y=4x V 1-3x(x < 1/3)的值域。解：法一：(單調(diào)性法)設(shè)f(x)=4x,g(x尸-V1-3x ,(x < 1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù),從而 y=f(x)+g(x)= 4x V 1-3x同樣可得值域4 x + 1 = 4練習(xí):+|x+1的值域呢?解:在定義域為xw 1/3上也為增函數(shù)，而且 yWf（1/3）+g（1/3）=4/3, 因此，所求的函數(shù)值域為 y|y W4/3 。小

14、結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增 減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+V4-x的值域。（答案：yy>3）法二：換元法（下題講）例4 求函數(shù)y = x + 2 J1 x的值域解：（換元法）設(shè)、"=x = t ,則y = t2 +2t+1 （t之0）丫對稱軸t =1 w 0," ）,且開口向下二當(dāng) t =1 時，ymax=2.值域為（-巴2】點(diǎn)評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函 數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的

15、應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=Vx-1 - x的值域。（答案：y|y w 3/4例5（選）求函數(shù) y = Jx -3 + J5 -x的值域解：（平方法）函數(shù)定義域為：xw3,5】y2 = （x-3） （5。x） 2、2x2 8x75由 x w 3,5 ，得x2 +8x -15 w 0,1 】.y22,4 1:原函數(shù)值域為U2 ,21例6（選不要求）求函數(shù) y = x+J1-x2的值域解：（三角換元法）<-1 < x <1，設(shè) x=cos90,n y =cosH + sinl = cos +sin = 42sin。+） e1T, J2 14二原函數(shù)的值域為J , <2小結(jié)

16、：（1）若題目中含有 a <1,則可設(shè)a =sin 6 ,-二 WH W '（或設(shè) a =cos6 QWWn）22（2）若題目中含有a2 +b2 =1則可設(shè)a = cos,b =sin,其中0名日< 2幾(3)若題目中含有 <1- x2 ,則可設(shè)x=cos9 ,其中0E8 Wn(4)若題目中含有 J1+ x2 ,則可設(shè)x= tan0 ,其中一工<6 <22(5)若題目中含有 x+y = r (x > 0, y > 0,r > 0),則可設(shè) x = J r cos2H ,y = V?sin2H其中日w 0 , 土 i2 2 J例7 求y=|

17、x 3x+1 的值域 4, x ： -1解法一：(圖象法)可化為 y = 2-2x ,-1< x<34, x > 3觀察得值域y4M y M 4)解法二：（零點(diǎn)法）畫數(shù)軸 利用|a-b表示實數(shù)a,b在數(shù)軸上的距離 可得。-1解法三：(選)(不等式法) x-3 - x + 1 <|(x-3)-(x + 1) = 4x 3 x + 1 = (x + 1) 4 x+1 圭 |x 十（11,十妙）（三種方法均可）求函數(shù)y=9x3x + 2 （xwb,1）的值域（換元法）設(shè)3x = t ，則1 W t W 3原函數(shù)可化為y = t2 t+2, 二對稱軸t = q正1,3】二 t

18、= 1 時，Ymin =2 ; t = 3 時，ymax = 8二值域為b,8】例9求函數(shù)y =例1410 1例10求函數(shù) y = 2x （x <0）的值域解：（圖象法）如圖，值域為（0,1 x -1例11 求函數(shù)y =的值域x 2解法一：（逆求法）解出x , x =上也 觀察得 原函數(shù)值域為y y ¥ "1 - y解法二：（分離常數(shù)法） 由y = x +2 -3 二 1 二一*1 ,可得值域y y #"x +2x + 2小結(jié)：已知分式函數(shù);如果是條件定義域（對自變量有附加條件）3例12 求函數(shù)y=的值域3x 1解法一：（逆求法）: 3x =工 >0二

19、0 < y <1,原函數(shù)的值域為（0,1）1 - y小結(jié)：如果自變量或含有自變量的整體有確定的范圍，可采用逆求法。1t解法二：（換元法）設(shè)3x +1 =t ,二原函數(shù)的值域為（01 ）1） y = 0時，不成立二原函數(shù)的值域為 L1,1）解法二：（換元法）設(shè)x2+1 = t，則.原函數(shù)值域即得綜合 1）、2）值域y|-1£ y ：二 1cos2 三11,12 +t0 1t25t 一， 門'斛：（換兀法）令 t = x + 2 x = -（x -1）+ 1 ,則 y = i （t M 1）;3；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域為一 3ax b ，y = （c *

20、0）,如果在其自然定義域cx d,adb -a數(shù)化為y = a +J （ad #bc）,用復(fù)合函數(shù)法來求值域。c cx d3x 1-1貝 U y =13x 1，一2x-1,、練習(xí)：y= ; (ye (-1 , 1)21x2 - 1例13 函數(shù)y = 一一的值域x 1-.、,，21 y解法一：（逆求法）: x2=y 至0-1< y<11- y解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為（y 1）x2+0 +y+1= 01) y = 1時不成立2) y#1 時，之 0n 04(y 1)(y + 1)之 0= -1 < y < 1-1 M y ：二 1解法四：（三角換元法）丁 xw R

21、二設(shè)x=tan6 8w - ,- i<2 2；y = - -a' = 一 cos2121一二，二1 tan -,原函數(shù)的值域為 y | -1 W y < 15求函數(shù)y =2的值域2x -4x 3t2、八解法一：（判別式法）化為2yx2 4yx+（3y 5） = 0解：（換元法）令x + 1=t ,則原函數(shù)可化為ax2 bx c小結(jié)：已知分式函數(shù) y = 一2 （a2+d200），如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求dx ex f（、拈 二次式（選）y/T 一次式、八 一 一、，, 叱（或y =、）的形式，米用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最 一次式大最小值；如果不

22、滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)y=x + _a （x/0）的單調(diào)性去解。x練習(xí)：211、y = x + 2 + 9（x0 0）；x2 11、2解：x#。， y = x2+9 = （x ）2 + 11, . y>11. xx1另外，此題利用基本不等式解更簡捷：y=x2+ 9>2+9=11（或利用對勾函數(shù)圖像法）x y = x + j2-x； y = 2- 4x- x22） y#0時，之0得（4y） -8y（3y -5） ,0= 0 <y <5.0 ：二 y 三 5綜合 1）、2）值域y0 <y <55解法二：（復(fù)合函數(shù)法） 令2x2 4x+3 = t

23、,則y =5 tt =2（x -1）2 1 .1: 0 <y <5所以，值域y 0 < y W51 ,例15 函數(shù)y = x + +1的值域 X解法一：（判別式法）原式可化為 x2+（1y）x+1=0;以至0，（1y）24 之0 y >3mE y <-1原函數(shù)值域為（-=c ,-11J 3, 十）一 1解法二：（不等式法）1）當(dāng)x>0時，x十一至2, y至3x112） x <0時，x+= |（x） + < -2 y < -1x _（-x）綜合1）2）知，原函數(shù)彳1域為（七，1u 3, 十七）x2 2x 2例16 （選）求函數(shù)y = x一/二

24、（x > 1）的值域 x 1解法一：（判別式法）原式可化為 x2 +（2y）x+2 y = 0丫 之0 二（2 -y）2 -4（2 -y）之 0 = y 之2 或y M 2丫 x -1 , y - 2 舍去二原函數(shù)值域為b , 十七）2,解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為 y = （x 1）1 = x +1 + >2 " x > 1）x +1x +1當(dāng)且僅當(dāng)x =0時取等號，故值域為 2 , +8 ）2- 一x 2x 2 ，例17 (選) 求函數(shù)y = (-2 E x E 2)的值域x 11 ,y = t ： _ (-1< t < 3) t值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為2、y=2x2-54x + 30<y - 5.3、求函數(shù)的值域解：令 u=v2 x 之 0,則 x=2 u2,1 o 9原式可化為y = 2-u u - -(u ) ._,24u