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1、精品文檔數(shù)列訓(xùn)練提高題【四區(qū)二?!咳绻麩o(wú)窮數(shù)列 an滿足下列條件: 史上酗 wan ;存在實(shí)數(shù)M,使 2an M .其中nw N,那么我們稱數(shù)列1口為G數(shù)列.(1)設(shè)數(shù)列bn 的通項(xiàng)為bn =5n -2n,且是C數(shù)列,求M的取值范圍;17(2)設(shè)冊(cè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,Sn是其前項(xiàng)和,C3= , S3=,證明:數(shù)列Sn44,是復(fù)數(shù)列;(3)設(shè)數(shù)列dn是各項(xiàng)均為正整數(shù)的 C數(shù)列,求證:dn 4)是 兌換系數(shù)”為a的兌換數(shù)列,求m和a的值;(2)若有窮遞增數(shù)列 %n是 兌換系數(shù)”為a的 兌換數(shù)列,求證:數(shù)列bn的前n項(xiàng)和c n -Sn = a ;2(3)已知有窮等差數(shù)列g(shù)的項(xiàng)數(shù)是no(no 3)

2、,所有項(xiàng)之和是B,試判斷數(shù)列是否是兌換數(shù)列”?如果是的,給予證明,并用n0和B表示它的 兌換系數(shù)”;如果不是,說(shuō)明理由.【青浦一模】設(shè) m 3,對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列an ,令b a1, a2,ak (k M m)中 最大值,稱數(shù)列bn 為On的“創(chuàng)新數(shù)列”.例如數(shù)列3, 5,4,7的創(chuàng)新數(shù)列為3,5,5,7.考查自然數(shù)1,2,m (m3)的所有排列,將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列 g.(1)若m=4,寫出創(chuàng)新數(shù)列為 3, 4, 4, 4的所有數(shù)列 An;(2)是否存在數(shù)列g(shù) 的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列;若不 存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)是否存在數(shù)列g(shù),使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差

3、數(shù)列?若存在,求出滿足所有條件的數(shù)列 &n的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【盧灣一模】已知數(shù)列bn,若存在正整數(shù)T ,對(duì)一切nw N都有0卡=bn,則稱數(shù)列bn 為周期數(shù)列,T是它的一個(gè)周期.例如:數(shù)列a , a , a , a , 可看作周期為1的數(shù)列;數(shù)列a , b , a , b ,可看作周期為2的數(shù)列;數(shù)列a, b, c, a, b, c,可看作周期為3的數(shù)列a nJ(1)對(duì)于數(shù)列,它的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是an=4a 試再寫出該數(shù)列的一個(gè)通n b n為正偶數(shù).項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn ;1 (3)在數(shù)列中,若 a=2,b= ,c = 1 ,且它有一個(gè)形如 bn=Asin(mn+冷

4、+B的通項(xiàng)公21T式,其中A、B、0、邛均為實(shí)數(shù),A0, 0, |中|二,求該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公2【嘉定一模】定義 x1, x2,xn的“倒平均數(shù)”為 (nW N*).已知X1 X2Xn1 、一 an 數(shù)列an刖n項(xiàng)的倒平均數(shù)為 ,記cn = (n=N*).2n 4n 1(1)比較Cn與Cn書的大小;(2)設(shè)函數(shù)f (X) =_X2 +4X,對(duì)(1)中的數(shù)列酬,是否存在實(shí)數(shù) 九,使得當(dāng)XW九時(shí),f(x) 3),且bn是周期為3的周期數(shù)列,設(shè)Tn為bn前n項(xiàng)的 倒平均數(shù)”,求 愧工.【長(zhǎng)寧一?!繉?duì)數(shù)列 3 和幻,若對(duì)任意正整數(shù)n ,恒有bn E an ,則稱數(shù)列bn 是數(shù)列 G的下界數(shù)列”.(1)

5、設(shè)數(shù)列an =2n +1 ,請(qǐng)寫出一個(gè)公比不為1的等比數(shù)列bn,使數(shù)列bn是數(shù)列an的下界數(shù)列(2)設(shè)數(shù)列(3)設(shè)數(shù)列anan= 2n2 -3n +10, bn =一2 ,求證數(shù)列 I 是數(shù)列八口)的下界數(shù)列 2n - 71=f,bn = 2,n = N *恒成立的k的最小值.【楊浦二模】已知數(shù)列 An :4e2,|曰.如果數(shù)列Bn :“心,| ,bn滿足D =an ,bk =ak+ak -bkj,其中k=2,31|,n ,則稱Bn為An的生成數(shù)列”.(1)若數(shù)列A4:ai,a2,a3,a4的生成數(shù)列”是B4 :5, 2,7, 2 ,求4;(2)若n為偶數(shù),且An的生成數(shù)列”是Bn ,證明:B

6、n的生成數(shù)列”是A ;(3)若n為奇數(shù),且An的生成數(shù)列”是Bn,Bn的生成數(shù)列”是Cn,.依次將數(shù)列An,Bn, Cn,的第i(i =1,2,川,n)項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列 Q出白,鼎| .探究:數(shù)列 a是 否為等差數(shù)列,并說(shuō)明理由.【嘉定黃埔二?!繉?duì) n n N* ,定義函數(shù)fn(x) =-(x n)2+n , n -1 x n .(1)求證:y = fn(x)圖像的右端點(diǎn)與y = fn.(x)圖像的左端點(diǎn)重合;并回答這些端點(diǎn)在哪 條直線上.(2)若直線 y =(x與函數(shù) fn(x) = (x n)2 + n , n -1 x 2 , n w N*)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),試將kn表示成n的函

7、數(shù).(3)對(duì)n匚N , n 2 ,在區(qū)間0,n上定義函數(shù)y= f(x),使得當(dāng)m -1 x m ( m=N ,且 m=1 , 2 ,,n)時(shí),f (x) = fm(x).試研究關(guān)于 x 的方程 f (x) =hx ( 0 x是an的控制數(shù)列,如1,3, 2, 5, 5的控制數(shù)列是1, 3, 3, 5, 5(1)若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列 an的控制數(shù)列為2, 3, 4, 5, 5,寫出所有的an(2)設(shè)3是的控制數(shù)列,滿足ak+bm+=C (C為常數(shù),k =1,2,., m),求證:bk =ak ( k =1,2,., m)1n(n 1(3)設(shè) m=100,常數(shù) a w ,1 I,若 an =an

8、2 (1)2 n, bn是an的控制數(shù)列,2求(b1 -a1) M -a?) . . (600 -&00)【2012 理】對(duì)于數(shù)集 X =1, x1, x2,,xn,其中 0 x1 x2丫,存在或三丫,使得 .上a a2 = 0,則稱X具有性質(zhì)P .例如 -1,1,2具有性質(zhì)P .(1)若x2,且1,1,2, x具有性質(zhì)P,求x的值;(2)若X具有f質(zhì)P ,求證:1 w X ,且當(dāng)xn a 1時(shí),x1 = 1 ;(3)若X具有性質(zhì)P ,且x1 =1、x2 =q ( q為常數(shù)),求有窮數(shù)列x1, x2; , xn的通 項(xiàng)公式.【2012徐匯理】(1)因?yàn)閿?shù)列:1,2,4, m(m4)是“兌換系數(shù)

9、”為 a的“兌換數(shù)列”所以 a -m,a -4,a -2,a -1 也是該數(shù)列的項(xiàng),且 a-ma-4a-2a-1故 am=1,a4=2 即 a=6,m=5.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差為d ,因?yàn)閿?shù)列bn是項(xiàng)數(shù)為no項(xiàng)的有窮等差數(shù)列若 b Eb2 Wb3 111 | a -bno即對(duì)數(shù)列 0中的任意一項(xiàng)bi (1 i b2b3|bn0,abi=h+(n0i)d =bn卡Wbn也成立,由“兌換數(shù)列”的定義可知,數(shù)列bn是“兌換數(shù)列”;又因?yàn)閿?shù)列bn所有項(xiàng)之和是B,所以b =(b1也。)n0 = ,即a = 2B22nO(3)假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列cn,設(shè)它的公比為q(q1),因?yàn)閿?shù)列1為遞增數(shù)列,所以

10、C1 C2 C3 IH Cn 111則 a-c1 . a-c2 . a-c3 a-cn 川又因?yàn)閿?shù)列 Q)為“兌換數(shù)列,則aGwg(i =1,2,11),所以ag是正整數(shù)故數(shù)列g(shù)必為有窮數(shù)列,不妨設(shè)項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng),則g +Cn4f_i = a(1i 1矛盾;n 1n ,2 -右 n 24.由 C1+Cn =C2+Cn/,得 C1Ciq+cq -c1q=0即(q 1)(1qn) =0 ,故 q=1,與 q1 矛盾綜合得,不存在滿足條件的數(shù)列;cn:.【青浦一模】(1)由題意,創(chuàng)新數(shù)列為 3, 4, 4, 4的所有數(shù)列0有兩個(gè),即3, 4, 1, 2 和 3, 4, 2, 1.(2)存在數(shù)列 tn )

11、的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列*n)的創(chuàng)新數(shù)列為en,因?yàn)閑m為前m個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè),所以em = m .若en為等比數(shù)列,設(shè)公比為 q ,因?yàn)閑0,且 dN當(dāng)d = 0時(shí),en為常數(shù)列滿足條件,即為數(shù)列m,m,,m (或?qū)懲?xiàng)公式 en =m(n =1,2,m),此時(shí)數(shù)列g(shù) 是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)排列,共有 Pmm/個(gè)數(shù)列;當(dāng)d =1時(shí),符合條件的數(shù)列en只能是1,2,m,此時(shí)數(shù)列 匕是1,2,m,有1個(gè);當(dāng) d 之2時(shí),1 em =e1 +(m1)d Ae1+2(m1) =e+m + m 2 又 m3二m -2 0. em m這與en = m矛盾,所以此時(shí)en不存在.綜上滿足條件的數(shù)列的個(gè)

12、數(shù)為Prml+1個(gè)(或回答(m-1)!+1個(gè)).【盧灣一?!浚?) an =11 +(-1)* +:1 +(1)n或 an =a |sin | +b|cos段 |等.(3 分)n -1(2)當(dāng) n =3k+1 時(shí),& =(a+b + c)+a; (5 分)3 n -2當(dāng) n=3k+2 時(shí),Sn =(a+b+c)+a+b; (7 分)3當(dāng) n =3k+3 時(shí),Sn=n(a+b+c) ( k e N). (9 分)322 二(3)由題思, 金0 ,應(yīng)有 一 =3 得。=一 (10分) 3十曰2二于是 bn = Asin(n + 中)+B ,2仃Asin(,十中)+b=2,(1)3,一14仃 -1一

13、把 b=2, b2=, b3=_1 代入上式得 Msin(+) + B=-, (2) (12 分)232Asin(2n +中)+B = 1, (3)由(1)(2)可得Acos(P=Y3 ,再代入(1)的展開式,可得公sin中+B= ,與(3)聯(lián)立得B=1, 2242(13 分)3Asin中=一一,于是tan5=-3 ,因?yàn)閨中|一 ,所以邛=一一,(14分) 223于是可求得 A = 73. (15分)故 b =/3sin(2n 一三)+1 (n n N*)n332,、一 ,、 一 2n ::1* 一或與成 bn = V3sin(3k +1)一一十一 (k WZ ,nw N ). (16 分)

14、332n 1【嘉定一?!浚?)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,由題意得 =,Sn 2n 4所以Sn = 2n2 +4n ,(1分)當(dāng)n=1時(shí),a1 =S1 =6 ,當(dāng)n主2時(shí),an = Sn Sn/=4n + 2 ,而a1也滿足此式.所以 an =4n +2 ( n N *).(1 分)-4n 22所以cn =竺_上=4_,(1分)n 1 n 1cn 1 - Cnn 2 (n 1)(n 2) 0 ,因此cn cn書.(1分)(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù) Z,使得當(dāng)xEZ時(shí),f (x) 0, (2分)解得xW1或x23. (1分)所以存在最大的實(shí)數(shù) 九=1,使得當(dāng)xW九時(shí),f (x) cn對(duì)任意nW N*恒

15、成立.(1分)(3)由 b1 = 1 , b2 = b ,得 th =| b -11, ( 1 分) 若 b 至1 ,則 b3 =b 1 , b4-b21=1 , b =|2 b| ,因?yàn)閎n周期為 3 ,故b5 =b2 =b,所以 |2b| = b,所以 2b = b, 2 b = b (舍),故 b = 1 .此時(shí),bn為1, 1, 0, 1, 1, 0,.符合題意.(1分)若b 1 ,則 b3 =1 b , b4 =|b3 b2 |1 -2b|,因?yàn)閎n周期為 3,故 b4=b = 1,所以|1 2b| = 1 ,即1 2b =1或1 2b = 1,解得b = 0或b =1 ,均不合題意

16、.(1分)2k , n =3k,設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn ,則對(duì)nw N * ,有Sn =2k , n = 3k1 ,(1分) 2k -1 , n = 3k -2.即Sn2n了 ,12n +232n +13n =3k ,n =3k -1,n = 3k -2.所以Tn = 323n2n +23n2n 1n =3k ,n =3k-1,n = 3k - 2.因此lim Tnn 在an1)1 xnbn =(一)等,答案不唯一;271丁,當(dāng)n = 1時(shí)an最小值為9, 8bn7 11I 2 2111二 2(11),則 a3 父 a2 父 a1 一 ,2精品文檔因此,(3)Tn =(1- 22)(1 -

17、32)(12) n222 4 (n-1)(n 1)322nPn = n 7不等式為2nk -2(n2 + 7)k -2(n2 7)設(shè)n+1 = t,t23,則n 1t2一 2-2(n7)2(t - 2t 8)182(t -2)8當(dāng)t之3時(shí),t t單調(diào)遞增, t = 3時(shí),t + 8取得最小值,因此n=4時(shí),bn最大值為6,所以,bn an ,數(shù)列n )是數(shù)列n 的下界數(shù)列”;r n 1 n 332(n2 + 7) max _ 22,二 k 的取小值為 藥.【楊浦二?!?1)解:由題意得:bi=a4=5 ; b2 = 2 =a2+a1 5 ;b3 =7 =a3 al +5; b4=2 = a4+

18、ai5 A4:2,1,4,5 .(2)證法一:證明:由已知,bi= a (ai an ) ,b2= ai + a2 bi= a24 (ai - an ).因此,猜想 bi =ai (-i)i(al -an).當(dāng)i =i時(shí),bi =ai -(ai -an),猜想成立; 假設(shè) i =k(k wn*)時(shí),bk =ak +(-i)k(ai -an).當(dāng) i = k + i 時(shí),bk書=ak +ak書- bk=ak ak i -ak ( -i)k(ai -an)=ak aki-ak -(-i)k(ai - an)=ak i , (-i)k i(ai -an)故當(dāng)i = k+i時(shí)猜想也成立.由、 可知,對(duì)

19、于任意正整數(shù)i,有bi =ai+(。(4an).設(shè)數(shù)列Bn的“生成數(shù)列”為 Cn,則由以上結(jié)論可知Ci =b +(T)i(bi -bn) =ai +(i)i (ai an) +(i)i(bi bn),其中 i =i,2,3,|, n .由于 n 為偶數(shù),所以 bn =an +(-i)n(ai -an) =q , ii所以 Ci =ai +(T) (ai an) +(i) (an -ai) =ai ,其中 i =i,2,3,lll,n.因此,數(shù)列Cn即是數(shù)列An.證法二:因?yàn)閎i an,bi+ b2= ai+ a2 ,b2+ b3= a2+ a3,bn=+ bn= an* an ,由于n為偶數(shù),

20、將上述n個(gè)等式中的第2,4,6, | |,n這n個(gè)式子都乘以i,相加得 2bi -(bi.b2)(b2b3) - IH-(bn Jbn)=an -(aia2)(a2a3) TH - (an/an)即-bn = a1, bn = a1由于 ai =bn, a =b二十b au (i =2,3|, n),根據(jù)“生成數(shù)列”的定義知,數(shù)列入是Bn的“生成數(shù)列”.(3)證法一:證明:設(shè)數(shù)列Xn,Yn,Zn中后者是前者的“生成數(shù)列”.欲證Q成等差數(shù)列,只需證明Xi,y,z成等差數(shù)列,即只要證明 2兇=Xi+Zi(i=1,2,3,|,n)即可.12分由(2)中結(jié)論可知 yi = xi十(1)(x1 -xn)

21、,Zi =,(-i)i(yi -yn)=Xi (-l)i(Xi -xn) - (-l)i(yi - yn)=Xi (-l)i(xi -xn) (-1)ixn -xn-(-1)n(xi -xn)=Xi (-1)i(X1 -xn) (-1)i(X1 -xn)=為 +2(4函xn),所以,Xi +Zi =2Xi +2(1)|(為xn) =2yi ,即為,yi,乙成等差數(shù)列,所以Q是等差數(shù)列.證法二:因?yàn)?bi =a+ai b/(i =2,3, 4j|,n),所以 bi -ai =(by-aT)(i = 2,3, 4,|,n).所以欲證Q成等差數(shù)列,只需證明 。1成等差數(shù)列即可.對(duì)于數(shù)列An及其“生成

22、數(shù)列Bn,因?yàn)?b1 = an,。+ 電=a+ a2,b2+ b3 = a2 + a3,bn 二 *bn - an. a an,n -1由于n為奇數(shù),將上述n個(gè)等式中的第2,4,6, HI, n-1這n_個(gè)式子都乘以1,2相加得b1 -(b1 - b2) (b2 bs)- HL (bn4 bn) =an -(& a?) a3)TH . (an J an)即 bn = an -a1 - an =2an -a1.設(shè)數(shù)列Bn的“生成數(shù)列”為 Cn,因?yàn)閎i = an , ci = bn = 2an ai,所以2bl =a +ci ,即ai,bi,ci成等差數(shù)列同理可證,6,041;641,01|也成

23、等差數(shù)列.即Ci是等差數(shù)列.所以Ci成等差數(shù)列【嘉定黃埔二?!?1)由33)=門得丫 =公J)圖像右端點(diǎn)的坐標(biāo)為(n,n),由售中(團(tuán)=門得 y = fn4(x)圖像左端點(diǎn)的坐標(biāo)為(n, n),故兩端點(diǎn)重合.并且對(duì)n n N ,這些點(diǎn)在直線 y=x上.(2)由題設(shè)及(1)的結(jié)論,兩個(gè)函數(shù)圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),即方程-(x-n)2+n = knx在n -i x n上有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.整理方程得 x2 +(kn-2n)x+ n2-n =0 ,由 & =(kn -2n)2 4(n2 -n) =0 ,解得 kn =2n 2 -n ,此時(shí)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1 , x2相等,由x1+x2=2nkn,

24、得二2(22 彳=n)T=因?yàn)?n -1 x1 =x2 2 , nW N *).(3)當(dāng) nA 2時(shí),1kn 3時(shí),對(duì)于2 & i & n-1,總有1kn K ,亦即直線y = knx與函數(shù)fi (x)的圖 像總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(直線y=knx在直線y=x與直線y=Kx之間).對(duì)于函數(shù)f1(x)來(lái)說(shuō),因?yàn)? kn 2 ,所以方程knx= f1(x)有兩個(gè)解:x1 = 0 , x2 =2-kn/0,1).此時(shí)萬(wàn)程f (x) =knx ( 0 x n , nW N )的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 2(n 1) + 1=2n1 . 當(dāng)n=2時(shí),因?yàn)?ck22,所以方程k2x = f1 (x)有兩個(gè)解.此時(shí)方程

25、f(x)= k2x(0 x2, n = N時(shí),方程f(x)=knx( 0 x n , nu N )的頭數(shù)解的個(gè)數(shù)為 2n -1 .【2007上海理】(1)設(shè) 伏)的公差為/ ,則勿=瓦+3d=2+3-=11,解得d二3, 數(shù)列也為“花(2)4-i=ci+c+- +cu+ti+ + +Su= 2(q+%i +%S小廣 口伏一 13),4x132-50, 當(dāng)上二13時(shí),8就_取得最大值.S北的最大值為626.(3)所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是:9上“MM汽LH21;2叫產(chǎn)幻u,丸尸,產(chǎn)1;2f?叫.冊(cè)/小兒-,2叫嚴(yán)1.對(duì)于,當(dāng)粗32m8時(shí), S蒯* 二 1 + 2 +23 + 2初二產(chǎn).當(dāng)15叭用W

26、 2007時(shí),S蒯廣1+2+2? + 2 m + 2而,+ 2”刖_ 2 m + 2-1 2。-30。9 _ m 2廉41)對(duì)于,當(dāng)赭,2008時(shí),O = 2W-1當(dāng)15叭用W2D07時(shí),&順=2M-產(chǎn)-加-1 對(duì)于,當(dāng)用,20口8時(shí),當(dāng)蝮-2M頌 . 當(dāng) 15。芯2呻時(shí),&順=2。2MMs-3 對(duì)于,當(dāng)龍匕20口8時(shí),名雕二2一 2挽/期. 當(dāng)15。(鹿莖2007時(shí),%&= 2戡+2加聯(lián)捉一2【2012 上海文】(1)數(shù)列an為:2, 3, 4, 5,1; 2, 3, 4, 5, 2; 2, 3, 4, 5, 3;2, 3, 4, 5, 4; 2, 3, 4, 5, 5.因?yàn)閎k=maxai

27、,a?, aj ,bk由=maxa1,a2,,ak,ar,所以di -bk.因?yàn)閍k +bm書=C,為書+bm* =C,所以ak書ak =bm”由一bmA至0 ,即ak+8分因此,bk =ak.10 分(3)對(duì) k =1, 2,25 , a4k .=a(4k3)2+(4k3); a,k1 = a(4k 2)2 + (4k 2);a4ki =a(4k -1)2 -(4k -1) ; a4k = a(4k)2 (4k).12分比較大小,可得a,kN .a4k工.因?yàn)?2a1,所以 a4k工a4k_2 = (a 1)(8k 3) 0 ,即 a4k a4k_2 .15分從而 b4 k J3a4k J3

28、 ,b4k _2= a4k _2,b4k 1 = a4k_2,b4k= a4k .因此 (bi - ai)(b2 - a2) (bioo - aioo)=伯3-a3)(b7- a7)(bio-ao)(b4ka4k)(89-a99)= (a2 -a3) 3 -a7) 3 -裕) (a4k _2 一 a4k).(a98 - a99)2525=Z (a4k/ a4k)=(1 a) (8k -3)=2525(1 - a).18分k 1k 1【2012上海理】(1)選取a; =(x, 2), 丫中與a;垂直的元素必有形式(1,b).2分所以x=2b,從而x=4.4分(2)證明:取 a1 =(x1, x1) w Y .設(shè) a2 =(s, t) w Y 滿足 02 =0.由(s+t)x1 =0 得 s+t =0,所以 s、t 異號(hào).因?yàn)?1是X中唯一的負(fù)數(shù),所以 s、t中之一為-1,另一為1,故1WX.7分假設(shè)xk=1,其中1kn,則。、(;*”選取 a1 =(x1, xn) w Y ,并設(shè) a2 =(s, t) w Y 滿足 ,a2 = 0 ,即 sx, +txn = 0 ,則s、t異號(hào),從而s、t之中恰有一個(gè)為-1.若s=-1,則2,矛盾; 若 t =-1,則 xn = sx1

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