(IV)第九章第一講多元函數(shù),偏導數(shù)及微分

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應用及其應用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一講第一講 多元函數(shù)，偏導數(shù)及微分多元函數(shù)，偏導數(shù)及微分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、二元函數(shù)的概念一、二元函數(shù)的概念 定義定義1. 設非空點集,R2DDyx),(點集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集Dyx,yxfzzDf),(),()(稱為函數(shù)的值域值域 .映射RDf :稱為定義在 D 上的 2 元函數(shù)元函數(shù) , 記作,),(yxfz 1. 二

2、元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域為1),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(RyxxyzOO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 2、二元函數(shù)的極限、二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0Ayxfyxyx),(lim),(),(00例例1. 設)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求:),(lim)0,0(),(yxfyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若當點),

3、(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設 P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點 (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時yxP不存在 .例例2. 討論函數(shù)函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3、 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義 . 設 二 元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)

4、在 D 上,0DP 聚點如果存在否則稱為不連續(xù),0P此時稱為間斷點 .則稱 2元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點.在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切二元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .11lim)0,0(),(yxyxyx解解: : 原式) 11(1)1(lim2)0, 0(),(yxxyyxyx21例例3 3. .求111lim)0, 0(),(yxyx1111yxyx目錄

5、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練練. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 22)0, 0(),(limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準則得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1、 偏導數(shù)概念及其計算偏導數(shù)概念及其計算2 、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù) 二、偏 導 數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1.),(yxfz 在點), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在

6、點),(),(00的偏導數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:一、一、 偏導數(shù)定義及其計算法偏導數(shù)定義及其計算法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0),(dd0yyyxfy同樣，可定義對 y 的偏導數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x ,

7、 y ) 處對 x,xzxfxz則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù), 也簡稱為偏導數(shù)偏導數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或 y 偏導數(shù)存在 ,yzyfyz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點 (x , y , z) 處對 x 的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導數(shù)定義為(請自己寫出)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,

8、00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 . 求223yyxxz解法解法1xz)2, 1 (xz解法解法2) 2, 1(xz在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:x

9、zyzxxzyxln1 練練. 求222zyxr的偏導數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù)設 z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導數(shù) . 按求導順序不同, 有下列四個二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):目錄 上頁 下頁 返

10、回 結(jié)束 類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導數(shù)為11nnxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxe22例例6. 求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導數(shù)及 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),()()(00連續(xù)都在點和若y

11、xx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則定理定理.例如例如, 對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù) ,當三階混合偏導數(shù)在點 (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時, 有而初等證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f (

12、x, y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz稱為函數(shù)),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，的全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.yBxA目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(oyBxAzyBxAfz dd(2) 偏導數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx當函數(shù)可微時 :得

13、zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點連續(xù)偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微可微 ,則該函數(shù)在該點的偏導數(shù)yzxz,yyzxxzzd必存在,且有定理定理2 (充分條件)yzxz,若函數(shù)),(yxfz 的偏導數(shù),),(連續(xù)在點yx則函數(shù)在該點可微分.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 計算函數(shù)在點 (2,1) 處的全微分. yxze解解:xz22e2) 1 , 2(,e) 1 , 2(yzxzyxzde2ded22) 1 , 2(例例8. 計算函數(shù)的全微分. zyyxue2sin解解: u

14、dxd1yyd)cos(221 zyzydeyz,eyxyyxxe)d2d(e2yx zyze目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(例9,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對稱性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 目錄

15、上頁 下頁 返回 結(jié)束 .d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz 練練已知第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念n 元函數(shù)元函數(shù)),(21nxxxf常用常用二元函數(shù)二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)三元函數(shù)DP)(Pfu nR目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 APfPP)(lim0,0 ,0 時，當00 PP有有)( APf2. 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限3. 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)4. 偏導數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關(guān)5. 偏導數(shù)的計算方法 求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求