數(shù)學(xué)建模模擬試題

1、數(shù)學(xué)建模模擬試題一、 填空題（每題5分，滿分20分）： 1. 設(shè)開(kāi)始時(shí)的人口數(shù)為，時(shí)刻的人口數(shù)為，若人口增長(zhǎng)率是常數(shù)，那麼人口增長(zhǎng)問(wèn)題的馬爾薩斯模型應(yīng)為 .2. 設(shè)年利率為0.05，則10年后20萬(wàn)元的現(xiàn)值按照復(fù)利計(jì)算應(yīng)為 .3. 所謂數(shù)學(xué)建模的五步建模法是指下列五個(gè)基本步驟，按一般順序可以寫(xiě)出為 .4. 設(shè)某種商品的需求量函數(shù)是而供給量函數(shù)是，其中為該商品的價(jià)格函數(shù)，那麼該商品的均衡價(jià)格是 .二、 分析判斷題（每題10分，滿分20分）： 1. 從下面不太明確的敘述中確定要研究的問(wèn)題，需要哪些數(shù)據(jù)資料（至少列舉3個(gè)），要做些甚麼建模的具體的前期工作（至少列舉3個(gè)） ，建立何種數(shù)學(xué)模型：一座高層

2、辦公樓有四部電梯，早晨上班時(shí)間非常擁擠，該如何解決。 2. 某公司經(jīng)營(yíng)的一種產(chǎn)品擁有四個(gè)客戶，由公司所轄三個(gè)工廠生產(chǎn)，每月產(chǎn)量分別為3000，5000和4000件.公司已承諾下月出售4000件給客戶1，出售3000件給客戶2以及至少1000件給客戶3，另外客戶3和4都想盡可能多購(gòu)剩下的件數(shù).已知各廠運(yùn)銷一件產(chǎn)品給客戶可得到的凈利潤(rùn)如表1所示，問(wèn)該公司應(yīng)如何擬訂運(yùn)銷方案，才能在履行諾言的前提下獲利最多？ 表1單位：元/件 客戶 利潤(rùn)工廠1 2 3 412365 63 62 6468 67 65 6263 60 59 60 上述問(wèn)題可否轉(zhuǎn)化為運(yùn)輸模型？若可以則轉(zhuǎn)化之（只需寫(xiě)出其產(chǎn)銷平衡運(yùn)價(jià)表即可）

3、，否則說(shuō)明理由。三、 計(jì)算題（每題20分，滿分40分）： 1. 有一批貨物要從廠家A運(yùn)往三個(gè)銷售地B、C、D，中間可經(jīng)過(guò)9個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)站從A到的運(yùn)價(jià)依次為3、8、7；從到的運(yùn)價(jià)為4、3；從到的運(yùn)價(jià)為2、8、4；從到的運(yùn)價(jià)為7、6；從到的運(yùn)價(jià)為10、12；從到的運(yùn)價(jià)為13、5、7；從到的運(yùn)價(jià)為6、8；從到的運(yùn)價(jià)為9、10；從到的運(yùn)價(jià)為5、10、15；從到的運(yùn)價(jià)為8、7。試?yán)脠D模型協(xié)助廠家制定一個(gè)總運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)輸路線。 2. 試求如表2所示運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)運(yùn)輸方案和最小運(yùn)輸費(fèi)用： 表2單位：百元/噸 銷地 運(yùn)價(jià)產(chǎn)地 B1 B2 B3 B4產(chǎn)量A1A2A33 5 2 94 7 5 126 9 10 112

4、01525銷量10 20 15 15 四、 綜合應(yīng)用題（本題滿分20分）： 試建立方桌問(wèn)題在四條腿腳呈長(zhǎng)方形情形時(shí)的數(shù)學(xué)模型，以說(shuō)明方桌能否在地面上放穩(wěn)的問(wèn)題。 （ 提示：要求按照五步建模法進(jìn)行建模工作，本題至少應(yīng)給出前四個(gè)步驟。） 數(shù)學(xué)建模模擬試題參考解答 一、填空題（每題5分，滿分20分）：1. 2. 3. 問(wèn)題分析，模型假設(shè)，模型建立，模型求解，模型分析； 4. 80. 二、分析判斷題（每題10分，滿分20分）：1. 1）要研究的問(wèn)題：如何設(shè)置四部電梯的?？糠绞?，使之發(fā)揮最大效益 .2分 2）所需資料為：每天早晨乘電梯的總?cè)藬?shù)、各層上、下電梯的人數(shù)、電梯的速度、樓層的高度、層數(shù)等 .5分

5、 3）要做的具體建模前期工作：觀察和統(tǒng)計(jì)所需資料，一般講，需要統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天的相關(guān)資料 .8分 4）可以建立概率統(tǒng)計(jì)模型，亦可在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立確定性模型 10分 2. 可以轉(zhuǎn)化為運(yùn)輸模型，具體做法如下： 首先確定總的產(chǎn)銷量. 總產(chǎn)量顯然為12000件；總需求量中，客戶3的需求量在保證已承諾給客戶1和2的供給量7000件條件下，最多是5000件，而客戶4則最多可得4000件。因此，總需求量按最高需求應(yīng)為16000件，因而可視問(wèn)題為供小于求的運(yùn)輸問(wèn)題 4分 其次，為產(chǎn)銷平衡，虛設(shè)一個(gè)工廠4，其產(chǎn)量為4000件 6分 再次，為確定需求量，將有最低需求與額外需求量的客戶分別視為兩個(gè)客戶，并確定各自需

6、求量，注意最低需求量不能由虛設(shè)工廠供給，從而可設(shè)其利潤(rùn)值是-M（M是一個(gè)充分大的正數(shù)）. .8分 綜合上述討論得產(chǎn)銷平衡運(yùn)價(jià)表如下： 表1 單位：元/件 客戶利潤(rùn)工廠1 2 3 3' 4供給量123 465 63 62 62 6468 67 65 65 6263 60 59 59 60 -M -M -M 0 03000500040004000 需 求 量 4000 3000 1000 4000 4000 10分三、計(jì)算題（每題20分，滿分40分）：1. 建立圖模型如圖1-1. 圖1-1 .10分 利用雙標(biāo)號(hào)法計(jì)算結(jié)果如圖1-2. 圖1-2 15分 再利用逆向搜索法便可得到運(yùn)輸路線有：

7、， ； 或 . 20分 （注意，到C的路線只給出一條者扣2分） 2. 易見(jiàn)，這是一個(gè)產(chǎn)銷平衡且為最小值類型的運(yùn)輸問(wèn)題。我們有 (1) 利用最小元素法可得初始方案如表1，表1 銷地 運(yùn)價(jià)產(chǎn)地 B1 B2 B3 B4產(chǎn)量A1A2A3 3 5 2 9 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25銷量 10 20 15 15 .5分 （2）使用閉回路法可得負(fù)檢驗(yàn)數(shù)為 =-1，故令 進(jìn)基 .10分 （3）使用閉回路法進(jìn)行調(diào)整知 出基，便得新的運(yùn)輸方案如表2 15分 表2 銷地 運(yùn)價(jià)產(chǎn)地 B1 B2 B3 B4產(chǎn)量A1A2A3 3 5 2 9 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 2

8、5銷量 10 20 15 15 （4）再進(jìn)行檢驗(yàn)知，所有檢驗(yàn)數(shù) ，故得最優(yōu)運(yùn)銷圖如圖1-3： 圖1-3 最小費(fèi)用為385（百元）。 20分四、綜合應(yīng)用題（本題滿分20分）：1. 問(wèn)題分析 所謂方桌可否在地面上放穩(wěn)，可視為其四個(gè)桌腳可否同時(shí)著地，從而可將問(wèn)題歸結(jié)為桌腳與地面的距離是否同時(shí)為零，故構(gòu)造這個(gè)距離函數(shù)是建模的關(guān)鍵，而證明四個(gè)距離函數(shù)同時(shí)為零這個(gè)命題是建模的最終目的。 .5分 2. 模型假設(shè) (1) 四條桌腿同長(zhǎng),視四個(gè)桌腳為四個(gè)幾何點(diǎn),四腳的連線呈長(zhǎng)方形； (2) 地面的高度是連續(xù)變化的，即將地面看作數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面； (3) 地面是相對(duì)平坦的，在任何位置，至少有三個(gè)桌腿同時(shí)著地。 .10分 3. 模型建立 如圖1-4，以長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)A、C兩桌腳開(kāi)始時(shí)位于橫軸上，則問(wèn)題與旋轉(zhuǎn)角度 有關(guān)。注意到假設(shè)3，設(shè)A、B兩個(gè)桌腳與地面距離之和為 ，另外兩個(gè)桌腳與 地面距離之和為 則 與 中至少有一個(gè)為零，當(dāng) 時(shí)不妨假設(shè) 圖1-4 。又由假設(shè)2，以上兩個(gè)函數(shù)均為旋轉(zhuǎn)角度的連續(xù)函數(shù)，于是有命題： 已知 則 ，使得 上述命題即為所建立的數(shù)學(xué)模型。 15分 4. 模型求解 只須證明上述命題即可。 將桌子旋轉(zhuǎn)