線代期中考試卷及答案詳解

1、2012線性代數(shù)期中考試試卷及答案詳解一、單項(xiàng)選擇題 (每小題4分，共20分)1. 下列各式中，哪個(gè)是5階行列式det(aij)的項(xiàng)××××××××××××××××××××× ( B )(A) (B) (C) (D) 解 根據(jù)n階行列式的定義，行列式的算式中，每一項(xiàng)都是不同行、不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，并且?guī)в蟹?hào)：(1) 若行標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，則該項(xiàng)的符號(hào)取決于列標(biāo)排列的逆序數(shù)的奇偶性；(

2、2) 若列標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，則符號(hào)取決于行標(biāo)排列的逆序數(shù)的奇偶性；(3) 若行標(biāo)、列標(biāo)排列都不是標(biāo)準(zhǔn)排列，則符號(hào)取決于行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性(或者，交換一般項(xiàng)中的元素，使行標(biāo)成為標(biāo)準(zhǔn)排列，再根據(jù)列標(biāo)排列的逆序數(shù)判斷). 題中每個(gè)選項(xiàng)都是5階行列式不同行、不同列的5個(gè)數(shù)的乘積，因此，需進(jìn)一步判斷各項(xiàng)是否帶有正確的符號(hào).選項(xiàng)(A)錯(cuò)誤。其行標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t(23415)=3, 故，列標(biāo)排列為奇排列，(或者，由于將列標(biāo)排列23415變成標(biāo)準(zhǔn)排列12345需要進(jìn)行奇數(shù)次對(duì)換，也可得23415為奇排列)。所以選項(xiàng)(A)缺少“-”.選項(xiàng)(B)正確。其行標(biāo)和列標(biāo)排列都不

3、是標(biāo)準(zhǔn)排列，方法一：行標(biāo)排列和列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和t(31452)+t(35214)=4+6=10，得符號(hào)為“+”；方法二，交換相乘的元素，使行標(biāo)成為標(biāo)準(zhǔn)排列，得a15a24a33a42a51，此時(shí)列標(biāo)排列54321為偶排列，故取“+”.同理，選項(xiàng)(C)和(D)錯(cuò)誤，都應(yīng)帶“-”.2. 已知n階行列式D=1，將D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，得行列式，則的值為×××××××××××××××××××××

4、;××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××

5、;××××××××××××× ( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n(n-1)/2 (D) (-1)n/2解 將D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，相當(dāng)于對(duì)D先作轉(zhuǎn)置(這不會(huì)改變行列式的值)，再作上下翻轉(zhuǎn)即交換n(n-1)/2次相鄰行的位置，每次交換都改變行列式的符號(hào)，因此，應(yīng)選(C).參見(jiàn)“行列式的性質(zhì)”布置的思考題，或者教材習(xí)題一第7題的解答.3. n階行列式Dn=0的必要條件是×××××××

6、××××××××××××××××××××××××××××××××××××× ( D )(A) 有一行(列)元素全為零 (B) 有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例(C) 各列元素之和皆為零 (D) 以Dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解

7、解 選項(xiàng)(A)(B)(C)都是Dn=0的充分條件(但不是必要條件). 只有選項(xiàng)(D)為充分必要條件.4. 已知A, B均為n階方陣，E是n階單位矩陣，則下列命題中正確的是××××××××××××××××××××××××××××××××××××

8、;×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××× ( D )(A) 若

9、A¹B，則½A½¹½B½ (B) 若(A-E)(B-E)=O，則A=E或B=E(C) A2-B2=( A+B)( A-B) (D) A2-E=( A+E)( A-E)解 答案為(D).選項(xiàng)(A)錯(cuò)誤，反例：, 選項(xiàng)(B)錯(cuò)誤?！皟蓚€(gè)非零矩陣的乘積可以是零矩陣”，例如，因此， (A-E)(B-E)=O Þ A-E=O或B-E=O，反例：, 選項(xiàng)(C)錯(cuò)誤。因?yàn)?A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A, B可交換時(shí)，才會(huì)有(A+B)(A-B)=A2-B2.選項(xiàng)(D)正確。因?yàn)锳E=EA=A，即A, E可交換

10、，所以，(A+E)(A-E)=A2-AE+EA-E2=A2-E.5. 設(shè)A, B均為n階可逆矩陣，則下列命題中正確的是×××××××××× ( A )(A) (A2)-1=(A-1)2 (B) (kA)-1=kA-1 (k¹0) (C) (A+B)-1= A-1+B-1 (D) A-1BA=B解 選項(xiàng)(A)正確。根據(jù)方陣的冪的定義以及可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，有(A2)-1=(AA)-1 = A-1A-1 =(A-1)2選項(xiàng)(B)錯(cuò)誤。應(yīng)該是(kA)-1=k-1A-1 (k¹0)選

11、項(xiàng)(C)錯(cuò)誤。A, B均為n階可逆矩陣時(shí)，A+B不一定可逆；即使A+B可逆，(A+B)-1也不一定是A-1+B-1。反例：, ，或者, 選項(xiàng)(D)錯(cuò)誤。矩陣乘法一般不滿足交換律，故A-1BA ¹ A-1AB = B。二、填空題 (每小題4分，共20分)1. 行列式 = 2013！.解 =注：以上計(jì)算過(guò)程使用了分塊法計(jì)算行列式的公式： (注意A,B必須是方陣)以及副對(duì)角行列式的計(jì)算公式2. 行列式= (-1)n-1(n-1) . 解 = (-1)n-1(n-1)注：本題行列式的特點(diǎn)是：各行(列)元素之和都相等.3. =解 用左乘矩陣A，相當(dāng)于將A的各行向上移動(dòng)一行，故=另外，用右乘矩陣

12、A，相當(dāng)于將A左右翻轉(zhuǎn)，故=注：參見(jiàn)“矩陣的運(yùn)算”所布置的思考題，或者第二章習(xí)題講義“要點(diǎn)和公式”中的Part II“一些特殊矩陣的乘積”.4. 已知，則A -1 = 解 利用副對(duì)角陣的求逆公式：5. 已知A是4階可逆矩陣，且½A½=2，則½A-1½= 1/2 ，½A*½= 8 . 解 利用可逆矩陣的性質(zhì)“½A-1½=½A½-1”以及伴隨矩陣的性質(zhì)“½A*½=½A½n-1 ”，可得 ½A-1½=2-1，½A*½=24

13、-1=8.注：也可按如下方式求½A*½：因?yàn)锳A*=ïAïE，將½A½=2代入，得AA*=2E，等號(hào)兩邊取行列式，有ïAïïA*ï=ï2Eï，即2ïA*ï=24，于是½A*½=8.三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1. 設(shè)n階爪形行列式, 求D中所有元素的代數(shù)余子式之和.解 將D的第1行元素全部替換為1，并按第1行展開(kāi)，得D的第1行元素的代數(shù)余子式之和為 將D的第2行元素全部替換為1，并按第2行展開(kāi)，得D的第2行元素的代數(shù)余子式之和為

14、(兩行元素成比例)同理，D的第3, 4, n行元素的代數(shù)余子式之和也都是0.于是，D的所有元素的代數(shù)余子式之和為. 注1 如果改變行列式D的某一行(列)元素，行列式雖然變了，但該行(列)元素的代數(shù)余子式不會(huì)改變。注2 本題利用了行列式按行(列)展開(kāi)法則： 或 (i=1,2,n)2. 問(wèn)：只有零解時(shí)，k必須滿足什么條件？解 此方程組為齊次線性方程組，并且方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，根據(jù)“方程組只有零解 Û 系數(shù)行列式D¹0”，有，即k¹ 1/4.3. 設(shè)方陣， (1) 求ïAï的值，并指出當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，A是可逆矩陣；(2) 當(dāng)A可逆時(shí)，求A-1.

15、解 對(duì)矩陣A分塊，(1) 當(dāng)且僅當(dāng)a¹0時(shí)，½A½¹0，此時(shí)A為可逆矩陣.(2) 根據(jù)分塊法求逆矩陣的公式，其中，于是，A-1注1 解答中使用了分塊法計(jì)算行列式的公式(參見(jiàn)第一章習(xí)題講義“要點(diǎn)和公式”)注2 本題要求熟記分塊法求逆矩陣的公式. 雖然也可以用公式A-1=½A½-1A*，但計(jì)算過(guò)程繁瑣，容易出錯(cuò). 注3 另外，求出逆矩陣后，最好驗(yàn)算是否有AA-1=E.4. 設(shè)方陣，求Ak (k為正整數(shù)). 解 .于是，其中 注 當(dāng)矩陣的任意兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，該矩陣可分解為列矩陣和行矩陣的乘積.5. 已知A,B都是2階方陣，且A*

16、 BA = 2A* B + E，其中，A* 是A的伴隨矩陣，E為2階單位矩陣，求矩陣B.解 對(duì)A* BA = 2A* B + E 兩端左乘A，得AA*BA=2AA*B+A根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)AA* =ïAïE，有 ïAïBA=2ïAïB+A 由于，于是BA=2B+A Þ B(A-2E)= A 其中，由于，故A-2E可逆，其逆矩陣(A-2E)-1=，于是注 求二階可逆矩陣的逆矩陣時(shí)，可以用“兩調(diào)一除”公式.四、證明題（每小題8分，共16分）1. 設(shè)A是n階反對(duì)稱矩陣，n為奇數(shù)，證明：齊次線性方程組Ax=O有非零解.證 A是n階反

17、對(duì)稱矩陣 Û AT=-A.對(duì)上式兩邊取行列式，有ïATï =ï-Aï Þ ïAï =(-1)nïAï 由于n為奇數(shù)，故ïAï = -ïAï，即ïAï=0. 因此，當(dāng)A是奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣時(shí)，齊次線性方程組Ax=O的系數(shù)行列式等于0，于是該方程組有非零解. 注 A是方陣，所以Ax=O是“方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)”的齊次線性方程組，于是，要證明Ax=O有非零解，就是證ïAï=0.2. 已知A, B均為n階方陣，且AB=A+B.

18、 (1) 證明：A-E和B-E均可逆，且互為逆矩陣；(2) 證明：如果A可逆，則A+B也可逆.證 (1) AB=A+B Þ AB-A-B+E=E Þ (A -E)(B -E)=E Þ A-E和B-E均可逆，且互為逆矩陣 (定理：“若A和B均為n階方陣，且AB=E，則BA=E.亦即，A,B均可逆，且互為逆矩陣”)(2) AB=A+B Þ A(B-E) =B 已知A可逆，又由(1)知B-E可逆，所以B= A(B-E)可逆 (定理：n階可逆矩陣的乘積仍是n階可逆矩陣). A和B可逆，所以AB可逆. 由于A+B= AB，故A+B可逆.也可按如下方式證明： A可逆 Û ïAï¹0，于是AB=A+B Þ (A-E)B =A Þ ïA -E