直線傾斜角、斜率、斜率公式,直線方程的各種表示方法

1、僅供個(gè)人參考承接上次課：傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角a叫做直線l的傾斜角關(guān)鍵：直線向上方向；x軸的正方向；小于平角的正角.注意：當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度.斜率：一條直線的傾斜角Ot(c(=")的正切值叫做這條直線的斜率.記為k=tana.2當(dāng)uW(0,")時(shí)，kA0,k隨a的增大而增大，k也隨a的增大而增大；2當(dāng)aw(女,n)時(shí)，k<0,k隨a的增大而增大，但k隨a的增大而減??；TT當(dāng)a=0時(shí)，k=0;當(dāng)0(=時(shí)，斜率不存在。2斜率公式：已知直線上兩點(diǎn)巳(為，山),巳&*)(為*x

2、2)的直線的斜率公式：k=2二.x2-x例題1：如圖，圖中的直線11、l2、13、的斜率分別為kl,k2卜3,則(D)A.ki<k2<k3B.k3<ki<k2C.k3<k2<kiD.ki<k3<k2例題2：若經(jīng)過P(2,m)和Q(mi4)的直線的斜率為i,則m=(A)A1B、4C、1或3D、i或4例題3:若A(3,2),B(9,4),C(x,0)三點(diǎn)共線，則x=(B)A、1B、一1C、0D、7例題4:直線經(jīng)過原點(diǎn)和(一1,1),則它的傾斜角為(B)A、45°B、135°C、45°或135°D、45°

3、;例題5：若經(jīng)過點(diǎn)P(1a,1+a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(-2,1)學(xué)習(xí)小結(jié)：1 .任何一條直線都有唯一確定的傾斜角，直線斜角的范圍是0,180).2 .直線斜率的求法：利用傾斜角的正切來求；利用直線上兩點(diǎn)以用,%),已懷.)的坐標(biāo)來求；當(dāng)直線的傾斜角a=90。時(shí)，直線的斜率是不存在的-不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考3.直線傾斜角、斜率、斜率公式三者之間的關(guān)系:直線的傾斜角a直線的斜率k直線的斜率公式士7E義取值范圍題型一：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率例題1:經(jīng)過下列兩點(diǎn)直線的斜率是否存在，若存在，求其斜率(1)(1,1),(-1,-2)(1,-1),(-2,

4、4)(3)(-2,-3),(-2,3)題型二：求直線的傾斜角例題2：設(shè)直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為a，如果將L繞坐標(biāo)遠(yuǎn)點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線L1那么L1的傾斜角為(D)A.:45B.1-135C.135：為a十45 口；當(dāng)叫,為正135.不得用于商業(yè)用途例題3:變式：已知直線L1的傾斜角為a,則L1關(guān)于x軸對(duì)稱的直線L1的傾斜角=題型三：斜率與傾斜角關(guān)系例題4：當(dāng)斜率k的范圍如下時(shí)，求傾斜角a的變化范圍：題型四：利用斜率判定三點(diǎn)共線例題5:已知三點(diǎn)A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一條直線上，求a的值。利用斜率相等即可即AB的斜率=BC的斜率用兩點(diǎn)式計(jì)算斜

5、率(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5)(5-a)(2a-1)=9-2a2+11a-5=92a2-11a+14=0:a=7/2或a=2題型五：平行于垂直的判定例題6:已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使直線CD_LAB,且CB/AD.解：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)k的取值范圍。題型六:綜蝠用3%=乙,kAB一例題7：變式：若于建1a(3,1)以-2,k),C(8,1)能夠成三角形，求實(shí)數(shù)kAD=-,kBC二一2,kAD=kBCx-1解：能夠成三角受駟到珪3得AC垂直y軸l2x+y=1是y=1D(0,1)則kw1例題8:已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2)

6、,過點(diǎn)P(2,-1)的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，求直線L的斜率k的取值范圍例題1.下列命題正確的個(gè)數(shù)是(C)1)若a是直線L的傾斜角，則0OMa<180»2)若k是直線的斜率，則kWR3)任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率4)任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角A.1B.2C.3D.4例題2.直線L過(a,b),(b,a)兩點(diǎn)，其中a#b,ab¥0則(D)A.L與x軸垂直B.L與y軸垂直C.L過原點(diǎn)和一，三象限D(zhuǎn).L的傾斜角為135例題3.已知點(diǎn)A(1,1+2V3),B(1,1)，直線L的傾斜角是直線AB的傾斜角的一半，則L的斜率為(B)A.1B'3C.J3D.

7、不存在.3例題4.直線L經(jīng)過二、三、四象限，L的傾斜角為a,斜率為k,則(B)例題5.若A(1a,5),B(a,2a),C(0,a)三點(diǎn)共線,則a=2例題6.已知四邊形ABCD勺頂點(diǎn)為A(m,n),B(6,1),C(3,3),D(2,5)，求m和n的值，使四邊形ABC型直角梯形。解：有兩種情況1、AB/CD角A=90=角D(5-3)/(2-3)=(n-1)/(m-6)2m+n=13(n-5)/(m-2)=1/2m=18/5n=29/52、AD/BC角A=90=角B(n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/32m+3n=19(n-1)/(m-6)=3/23m-2n=16m=86/13

8、n=25/13兩直線平行與垂直的判定：平行：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平行，即l1/l2k1=k2-垂直：兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直.1,k1即l1l2=k2=k1k2=-1學(xué)習(xí)小結(jié)：1 .l1I2uk1=k2或l1,l2的斜率都不存在且不重合.2 .l1_Ll2=kLk=T或k1=0且l2的斜率不存在，或k2=0且l1的斜率不存在.直線的點(diǎn)斜式方程：直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0),且斜率為k,則方程y-y0=k(x-%)為直線的點(diǎn)

9、斜式方程.直線的斜截式方程：直線l與y軸交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距.直線y=kxb叫做直線的斜截式方程.例題1、過點(diǎn)(5,2)且在兩坐標(biāo)軸截距相等的直線方程是_2x-5y=0或y-2=-(x-5)_.例題2、經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條？請(qǐng)求出這些直線的方程。6.y-?=-2(x-13)13直線的兩點(diǎn)式方程：直線的兩點(diǎn)式方程：已知直線上兩點(diǎn)P(x1,X2),P2(X2，y2)且(Xi=X2，yi=丫2),則通過這兩點(diǎn)的直線方程為y-y1=xx1(x1#",y1#y2),由于這個(gè)直線方程由兩點(diǎn)確定，所以我們把它y2-yix2一

10、為叫直線的兩點(diǎn)式方程直線的截距式方程.:已知直線l與x軸的交點(diǎn)為A(a,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,b),其中a#0,b¥0,則直線l的方程-=1叫做直線的截距式方程.ab例題1、已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)R(1,2),P2(3,5),求直線l的方程.例題2、已知兩點(diǎn)P(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1=x2,y1。y2),求通過這兩點(diǎn)的直線方程。y-v=(x-xj例題x2x13、已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程。5x3y-6=0,x13y5=0直線BC：(y+3)/(y-2)=(x-3)/(x-

11、0)即5x+3y-6=0直線BC的中點(diǎn)坐標(biāo)：x=(3+0)/2=3/2y=(-3+2)/2=1/2即點(diǎn)(3/2,1/2)直線BC邊中線所在的直線方程：(y0)/(y+1/2)=(x+5)/(x3/2)即x+13y+5=0學(xué)習(xí)小結(jié)：1,直線方程的各種形式總結(jié)為如下表格:直 線 名 稱已知條件直線方程使用范圍占 八、斜式k存在斜 截 式k存在兩占 八、式（x，y1）（x2, 2截 距 式Ax+By+C=0 (A, B不同日為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已 知 A(xi，yi),B(x2，y2), 則 AB 的中點(diǎn) M( x, y), 則x2 xiy2 yix 二,y =2

12、2.例題1、過點(diǎn)P(2, 1) 作直線l交x, y正半 軸于AB兩點(diǎn)，當(dāng) |PA|，|PB|取到最 小值時(shí)，求直線l的 方程.直線的一般式 方it：直線的一般式方程： 關(guān)于x, y的二元一 次 方 程例題1、在方程Ax+By + C = 0中，A, B, c為何值時(shí)，方程表示的直線(1)平行于x軸；(2)平行于y軸；(3)與x軸重合；(4)與y重合。解：(1) A=0 且 BW0 且 CW0 (2) B=0 且 Aw 0 且 Cw0(3) A=0 且 BW0 且 C=0 (4) B=0 且 Aw 0 且 C=0例題2、根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：1 斜率是一,經(jīng)過點(diǎn)A(8,2

13、)；2經(jīng)過點(diǎn)B(4,2),平行于x軸；在x軸和y軸上的截距分別是3 _3；2， 經(jīng)過兩點(diǎn) B(3, -2), P2(5, -4).一1斛：(1) y=x 2；x 2y-4=0 2(2) y =2;y-2 =0(3)1y =1；2x - y -3 = 03(4)y 2 x -3=；-22x y -1 = 0兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo):已知方程組A1x+Biy+G=0(1)Ax+B2y+G=0(2)當(dāng)A,A2,B,B全不為零時(shí)，方程組的解的各種情況分別對(duì)應(yīng)的兩條直線的位置關(guān)系解：在直線上另(1)XB(2)XB1得(AB2A2B1)x=BC2B2C11、當(dāng)A1B2A2B1W0時(shí)，方程組有唯一解，相交：且當(dāng)A

14、4=B1B2時(shí)，兩直線垂直2、當(dāng)A1B2A2B1=0,B1C2RGW0時(shí)，方程組無解，平行3、當(dāng)A1B2A2B1=0,B1QB2C1=0時(shí)，方程組有無窮多解，重合例題1、判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：(1) 11:x-y=0,l2：3x+3y10=0(2) I.3x-y+4=0,I2：6x2y=0(3) 11:3x+4y-5=0,12：6x+8y10=0解：(1)相交交點(diǎn)坐標(biāo)1,;33（2）平行，無交點(diǎn)（3）同一條直線，無窮多解例題2、求經(jīng)過兩條直線x+2y1=0和2xy7=0的交點(diǎn)，且垂直于直線x+3y5=0的直線方程解：解法一：解方程組2xj7=°得,X=3

15、x+2y1=0y=-1，這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1）又二直線x+2y-5=0的斜率是1/3，所求直線的斜率是3,所求直線方程為y+1=3（x3）即3x-y10=0解法二：所求直線在直線系2x-y-7+入（x+2y1）=0中經(jīng)整理，可得（2+入）x+（2入1）y入-7=02二-=3解得入=1/7因此，所求直線方程為3x-y-10=02-1兩點(diǎn)間的距離：兩點(diǎn)之間距離公式：已知平面上兩點(diǎn)巳（為，%）,P2（x2,y2）,則RP2=J（x2%）2+（y2y1）2.特殊地：P（x,y）與原點(diǎn)的距離為OP=JK7.點(diǎn)到直線的距離：已知點(diǎn)P（x0,y0）和直線l:Ax+By+C=0,則點(diǎn)P到直線l的距

16、離為：Ax0By。Cd二A2B2注意：點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)的連線的最短距離；在運(yùn)用公式時(shí)，直線的方程要先化為一般式平行線間的距離：已知兩條平行線直線11Ax+By+G=0,I2:G-C2Ax+By+C2=0,則I1與I2的距離為d=-（.'-A2B2注意：應(yīng)用此公式應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：（1）把直線方程化為一般式方程；（2）使x,y的系數(shù)相等.僅供個(gè)人參考不得用于商業(yè)用途例題1、已知點(diǎn)P(x。,y。)，直線l：Ax+C=0,求點(diǎn)P到直線】的距離.X0-(-C)A例題2、已知點(diǎn)P(x。，y。)，直線l：By+C=0,求點(diǎn)P到直線的距離.y0-(-C-)B例題3、已知點(diǎn)P(x&

17、#176;,y°),直線l:Ax+By+C=0,求點(diǎn)P到直線上的距離.例題4、點(diǎn)P(3,-2)到直線的距離為例題5、兩條平行線間的距離是例題6、求平行線2x7y+8=0和2x7y6=0的距離.解：在直線2x7y6=0上任取點(diǎn)P(x°,y°),則2x°7y°6=0,點(diǎn)P(x°,y°)到直線2x-7y+8=0的距離是d|Sx0-7y9+8|6-bo14-755莉+(-7f45353?例題7、直線經(jīng)過原點(diǎn)，且點(diǎn)M(5,0)到直線l的距離等于3,求l的方程解：3x±4y=0例題8、直線l過點(diǎn)(1,2)且兩點(diǎn)(2,-3),(

18、4,-5)至ijl的距離相等，求l的方程解：x+y-3=0或3x+y-5=0例題9、ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3,-1),/B,/C的內(nèi)角平分線所在的直線方程分別為x=0和y=x,求頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)t解：A點(diǎn)關(guān)于x=0的對(duì)稱點(diǎn)為(-3,-1),A點(diǎn)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(-1,3)都在BC上BC的方程為x-2y+1=0所以B(0,0.5)、C(1,1)例題10、已知點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面積資,A亞運(yùn)h的高為M；用!s好：一；1HB?n:IABI=J(1?3)2+(3?1)2=2J2,AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到AB的距離.AB邊所在的直線方程為x+y-4=0.因此/叱醇$僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcom